重点重积分的计算方法,交换累次积分次序.ppt

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1、重点重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。：重积分的计算方法，交换累次积分次序。难点难点：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。基本要求基本要求理解重积分理解重积分概念概念，基本，基本性质性质熟练掌握重积分的熟练掌握重积分的计算计算方法方法掌握累次积分的换序法掌握累次积分的换序法掌握各种坐标系下的面积元、体积元掌握各种坐标系下的面积元、体积元能用重积分解决立体能用重积分解决立体体积体积、曲面、曲面面积面积等问题。等问题。一、引入（问题的提出）一、引入（问题的提出）曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.),(y

2、xfz D柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.xyo6 yxDD 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤：步骤：2、近似：、近似：用小平顶柱用小平顶柱体体积近似表示小曲体体积近似表示小曲顶柱体的体积；顶柱体的体积；xzyoD),(yxfz i),(ii1、分割、分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域；先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域；.),(lim10iiniifV 4、取极限：、取极限：曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积3、求和：、求和：用所有小平用所有小平顶柱体体积之和近似表顶柱体体积之和近似表示曲

3、顶柱体的体积；示曲顶柱体的体积；( ,).iiiiVf 求平面薄片的质量求平面薄片的质量 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量xyo),(iii.),(lim10iiniiM 二、二重积分的概念二、二重积分的概念定定义义 设设),(yxf是是有

4、有界界闭闭区区域域D上上的的有有界界函函数数，将将闭闭区区域域D任任意意分分成成n个个小小闭闭区区域域1 ，,2 ，n ，其其中中i 表表示示第第i个个小小闭闭区区域域，也也 表表 示示 它它 的的 面面 积积 ， 在在 每每 个个i 上上 任任 取取 一一 点点),(ii ，作作乘乘积积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并并作作和和 iiniif ),(1，如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，

5、记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .说明：说明：(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.（3）二重积分的几何意义）二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，则其值

6、与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式故可采用一种便于计算的划分方式 在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域，这些小区域中除去靠分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，则面积元素为则面积元素为dxdyd xyo故二重积分可写为故二重积分可写为 DDdxdyyxfdyxf),(),( niiiiDofdyxf1),(),(lim 存在存在（4）三、二重积分的性质三、二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分

7、与定积分有类似的性质）性质性质.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 性质性质.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 对区域具有可加性对区域具有可加性)(21DDD 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，1Dd性质性质若在若在D上上),(),(yxgyxf 则有则有.),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 性质性质 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 D 的的面面积积，则则 DMdyxf

8、m),(（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）|( , )|( , ) |( , )|f x yf x yf x y性质性质 ),(),(fdyxfD（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）解解区区域域 D的的面面积积 , ab在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede deDyx)(22 ab.2aeab 例例 2 2 估估计计 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D： 20, 10 yx.解解,16)(1),(2 yxyxf区域面积区域面积2 ,在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的

9、的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,oxy121D于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(. 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示四、小结四、小结二重积分的定义二重积分的定义（和式的极限）（和式的极限）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）二重积分的性质二重积分的性质 （

10、与定积分类似）（与定积分类似）解答解答: 1、都表示某个和式的极限值，且此值只、都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关与被积函数及积分区域有关 2、不同的是、不同的是定积分的积分区域为区间定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数被积函数为定义在区间上的一元函数，而，而二重二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数在平面区域上的二元函数思考思考: 二重积分定义与定积分定义比较，它们二重积分定义与定积分定义比较，它们的相同之处与不同之处的相同之处与不同之处?练练 习习 题题一、一、填空题填空题: :

11、1 1、 当函数当函数),(yxf在闭区域在闭区域D上上_时时, ,则其在则其在D上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在 . . 2 2、 二 重 积 分二 重 积 分 Ddyxf ),(的 几 何 意 义 是的 几 何 意 义 是_._. 3 3、 若若),(yxf在 有 界 闭 区 域在 有 界 闭 区 域D上 可 积上 可 积 , , 且且21DDD , ,当当0),( yxf时时, , 则则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf ; ; 当当0),( yxf时时, , 则则 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf . . 4 4、 Ddyx )sin(22_ , ,其中其中

12、 是圆域是圆域 2224 yx的面积的面积 , , 16. .二二、利利用用二二重重积积分分定定义义证证明明: : DDdyxfkdyxkf ),(),(. .( (其其中中k为为常常数数) ) 三三、比比较较下下列列积积分分的的大大小小: : 1 1、 DDdyxdyx 322)()(与与, ,其其中中D是是由由圆圆 2) 1()2(22 yx所所围围成成 . . 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(与与, ,其其中中D是是矩矩形形 闭闭区区域域: :10 , 53 yx . . 四四、估估计计积积分分 DdyxI )94(22的的值值, ,其其中中D是是圆圆 形形区区域域: :422 yx . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、连续；、连续；2 2、以、以),(yxfz 为曲顶为曲顶, ,以以D为底的曲顶柱体体积为底的曲顶柱体体积 的代数和；的代数和； 3 3、,； 4 4、 . .三、三、1 1、 DDdyxdyx 32)()(； 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(. .四、四、 100)94(3622dyx. .