第23讲：高频考点分析之不等式、线性规划探讨.doc

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第23讲：高频考点分析之不等式、线性规划探讨江苏泰州锦元数学工作室 编辑12讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，38讲，对数学思想方法进行了探讨，912讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用。考查的特点是单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题；不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题居多；作为不等式与函数的综合应用，线性规划问题日显频繁。结合2012年全国各地高考的实例，我们从以下七方面探讨不

2、等式、线性规划问题的求解：1. 解高次、分式不等式和指数、对数不等式；2. 解绝对值不等式；3. 不等式问题中“最值法”和“单调性法”的应用；4. 不等式问题中“数形结合法”的应用；5. 不等式问题中“特殊值法”的应用；6. 基本不等式的应用；7. 线性规划问题。一、解高次、分式不等式和指数、对数不等式：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1. （2012年重庆市理5分）不等式的解集为【 】 A. B. C. D. 【答案】A。【考点】分式不等式的解法。【分析】化分式不等式为整式不等式求解：。故选A。例2. （2012年重庆市文5分）不等式 的解集是为【 】（A） （B） （C）（-

3、2，1）（D）【答案】C。【考点】其他不等式的解法。【分析】利用等价变形直接转化分式不等式为二次不等式求解即可： 。故选C。例3. （2012年江西省文5分）不等式的解集是 。【答案】。【考点】其它不等式的解法。【解析】不等式可化为，解得。不等式的解集为。例4. （2012年湖南省文5分）不等式的解集为.【答案】。【考点】一元二次不等式的解法。【解析】由，得，从而的不等式x2-5x+60的解集为。例5. （2012年山东省文5分）函数的定义域为【 】 A B C D 【答案】B。【考点】函数的定义域。分式、对数、二次根式有意义的条件。【解析】根据分式、对数、二次根式有意义的条件，得，解得。 函

4、数的定义域为。故选B。例6. （2012年重庆市文5分）设函数集合 则为21世纪教【 】育网（A） （B）（0，1） （C）（-1，1） （D）【答案】D。【考点】复合函数的概念，解一元二次不等式和指数不等式，集合及其运算。【分析】利用已知求出集合中的范围，结合集合，求出的范围，然后求解即可：由得，或，即或。或，即。由得，即，即。故选D。例7. （2012年上海市理14分）已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）【答案】（1）由，得。 由得。 ，解得。 由得，。 （2）当时，。由单调性可得。，所求反函数是，。【考点】对数函

5、数的概念、性质，反函数的求法。【解析】（1）由，结合对数函数的性质，列不等式组求解即可。（2）根据对数函数与指数函数互为反函数的性质求解。二、解绝对值不等式：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1. （2012年广东省理5分）不等式的解集为。【答案】。【考点】分类讨论的思想，解绝对值不等式。【解析】分类讨论：由不等式得，当时，不等式为，即恒成立；当时，不等式为，解得，；当时，不等式为，即不成立。综上所述，不等式的解集为。另解：用图象法求解：作出图象，由折点参考点连线；运用相似三角形性质可得。例2. （2012年上海市理4分）若集合，则= .【答案】。【考点】集合的概念和性质的运用，一

6、元一次不等式和绝对值不等式的解法。【解析】由题意，得，。例3. （2012年天津市理5分）已知集合，集合,且，则 , .【答案】，。【考点】集合的交集的运算及其运算性质，绝对值不等式与一元二次不等式的解法【分析】由题意，可先化简集合，再由集合的形式及直接作出判断，即可得出两个参数的值：=,又，画数轴可知，。例4. （2012年天津市文5分）集合中最小整数为 【答案】。【考点】绝对值不等式的解法。【分析】不等式，即，集合。 集合中最小的整数为。例5. （2012年山东省理4分）若不等式的解集为，则实数= 。【答案】2。【考点】绝对值不等式的性质。【解析】由可得，即，而，所以。例6. （2012年

7、江西省理5分）在实数范围内，不等式的解集为 。【答案】。【考点】绝对值不等式的解法，转化与划归、分类讨论的数学思想的应用。【解析】原不等式可化为或或，由得；由得；由得。原不等式的解集为。例7. （2012年陕西省文5分）若存在实数使成立，则实数的取值范围是 【答案】。【考点】绝对值不等式的性质及其运用。【解析】由题意知左边的最小值小于或等于3，根据不等式的性质，得，解得，。例8. （2012年湖南省理5分）不等式的解集为 【答案】。【考点】解绝对值不等式。【解析】令，则由得的解集为。例9. （2012年全国课标卷文5分）已知函数()当时，求不等式的解集；()若的解集包含，求的取值范围。【答案】

8、解：（1）当时，由得 或或。 解得 或。 ()原命题即在上恒成立， 在上恒成立，即在上恒成立。 。【考点】绝对值不等式的解法。【解析】()分段求解即可。 ()对于，把作未知求解。例10. （2012年辽宁省文10分）已知，不等式的解集为。 ()求a的值； ()若恒成立，求k的取值范围。【答案】解：（I）由得。 又不等式的解集为， 当时，不合题意； 当时，得。()由（I）得。记。 。【考点】分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，分类讨论思想的应用。【解析】（I）针对的取值情况进行讨论即可。 () 针对的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出k的取值范围。例11.（2012年江苏省1

9、0分）已知实数x，y满足：求证：【答案】证明：， 由题设。 【考点】绝对值不等式的基本知识。【解析】根据绝对值不等式的性质求证。三、不等式问题中“最值法”和“单调性法”的应用：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1. （2012年福建省文4分）已知关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】(0,8)。【考点】一元二次不等式的解法。【解析】关于x的不等式x2ax2a0在R上恒成立，则满足a242a0，解得0a0时，求k的最大值【答案】解：() f(x)的的定义域为，。 若，则，在上单调递增。 若，则当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增。 ()a=1，。

10、 当x0时，它等价于。 令，则。 由()知，函数在上单调递增。 ，在上存在唯一的零点。 在上存在唯一的零点，设此零点为，则。 当时，；当时，。 在上的最小值为。 又，即，。 因此，即整数k的最大值为2。【考点】函数的单调性质，导数的应用。【解析】()分和讨论的单调区间即可。 ()由于当x0时，等价于，令，求出导数，根据函数的零点情况求出整数k的最大值。例9. （2012年天津市理14分）已知函数的最小值为，其中.（）求的值；（）若对任意的,有成立，求实数的最小值；（）证明.【答案】解：（）函数的定义域为，求导函数可得. 令，得。当变化时，和的变化情况如下表：0极小值在处取得极小值。由题意，得。

11、（）当0时，取，有，故0不合题意。当0时，令，即。求导函数可得。令，得。当时， 0，在（0，+）上恒成立，因此在（0，+）上单调递减，从而对任意的），总有，即对任意的，有成立。符合题意。当时，0，对于(0， )，0，因此在(0， )上单调递增，因此取(0， )时，即有不成立。 不合题意。综上，实数的最小值为。【版权归锦元数学工作室，不得转载】（）证明：当=1时，不等式左边=2ln32=右边，所以不等式成立。当2时，。在（2）中，取，得，。综上，。【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，利用导数求闭区间上函数的最值。【分析】（）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利

12、用函数的最小值为，即可求得的值。（）当0时，取，有，故0不合题意。当0时，令，求导函数，令导函数等于0，分类讨论：当 时，0，在（0，+）上单调递减，从而对任意的），总有。当时，0，对于(0， )，0，因此在(0， )上单调递增。由此可确定的最小值。（）当=1时，不等式左边=2ln32=右边，所以不等式成立。当2时，由，在（）中，取得,从而可得，由此可证结论。例10. （2012年浙江省理14分）已知，函数（）证明：当时， （i）函数的最大值为； （ii）；（）若对恒成立，求的取值范围【答案】() 证明：()当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负

13、性不能判断，此时的最大值为：|2ab|a。综上所述：函数在0x1上的最大值为|2ab|a。() 设， ，令。当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，|2ab|a。综上所述：函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a，即|2ab|a0在0x1上恒成立。()解：由()知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大。11对x0，1恒成立，|2ab|a1。取b为纵轴，a为横轴则可行域为：和，目标函数为zab。作图如下：由图易得：当目标函数为zab过P(1，2)时，有所求ab的取值范围为：。【考点】

14、分类思想的应用，不等式的证明，利用导数求闭区间上函数的最值，简单线性规划。【解析】() ()求导后，分b0和b0讨论即可。() 利用分析法，要证|2ab|a0，即证|2ab|a，亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a。 （）由（）知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大根据11对x0，1恒成立，可得|2ab|a1，从而利用线性规划知识，可求ab的取值范围。例11. （2012年浙江省文15分）已知aR，函数（1）求的单调区间（2）证明：当01时， + 0.【答案】解：（1）由题意得， 当时，恒成立，此时的单调递增区间为；当时，此时函数

15、的单调递增区间为。（2）由于，当时，；当时，。设，则。则有0101减极小值增1。当时，总有。【考点】分类思想的应用，利用导数求闭区间上函数的最值和单调区间，不等式的证明。 【解析】（1）求出导数，分和讨论即可。 （2）根据，分和两种情形，得到，从而设出新函数，应用导数，证出，得到恒成立，即。例12. （2012年湖南省理13分）已知函数，其中0.（）若对一切R，1恒成立，求的取值集合.（）在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为，问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】解：（）若，则对一切，这与题设矛盾，又，故。令。当时，单调递减；当时，单调递增.当时，取最

16、小值。于是对一切恒成立，当且仅当令则。当时，单调递增；当时，单调递减，当时，取最大值。当且仅当即时，式成立。综上所述，的取值集合为。（）存在。由题意知，。令则。令，则。当时，单调递减；当时，单调递增，当，即。，。又。函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，存在使单调递增，故这样的是唯一的，且，故当且仅当时， 。综上所述，存在使成立.且的取值范围为。【考点】利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立, 分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法的应用。【解析】（）用导函数法求出取最小值，对一切R，1恒成立转化为，从而得出的取值集合。（）在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，

17、研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断。例13. （2012年湖北省文14分）设函数f(x)axn(1x)b(x0)，n为整数，a，b为常数曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为xy1.（）求a，b的值；（II）求函数f(x)的最大值；（III）证明：f(x).【答案】解：（）f(1)b，由点(1，b)在xy1上，可得1b1，即b0。f(x)anxn1a(n1)xn，f(1)a。又切线xy1的斜率为1，a1，即a1。a1，b0。（II）由（）知，f(x)xn(1x)xnxn1，f(x)(n1)xn1。令f(x)0，解得x，即f(x)在(0，)上有唯一零点x0。在上，f(x)0，f(x)

18、单调递增；在上，f(x)0，f(x)单调递减，f(x)在(0，)上的最大值为fn。（III）证明：令(t)lnt1(t0)，则(t)(t0)。在(0,1)上，(t)0，(t)单调递减；在(1，)上，(t)0，(t)单调递增，(t)在(0，)上的最小值为(1)0。 (t)0(t1)，即lnt1(t1)。令t1，得ln，即lnn1lne。n1e，即。由（II）知，f(x)，所证不等式成立。【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程。【解析】（I）由题意曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为xy1，故可根据导数的几何意义与切点处的函数值建立关

19、于参数的方程求出两参数的值。（II）由于f(x)xn(1x)xnxn1，可求 f(x)(n1)xn1，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最大值。（III）结合（II），欲证：f(x)由于函数f(x)的最大值fn，故此不等式证明问题可转化为证明 ，对此不等式两边求以e为底的对数发现，可构造函数(t)lnt1(t0)，借助函数的最值辅助证明不等式。例14. （2012年辽宁省文12分）设，证明： ()当时， ()当时，【答案】证明：()设， 则。 当时，单调递减。 又，。 当时，。() 由均值不等式，当0时，即。 令。则。 令。则当时，。 在（1，3）内是单调递减函数。又，在（1，3）内，。

20、在（1，3）内，。在（1，3）内是单调递减函数。又，在（1，3）内，。当时，。【考点】导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性。【解析】（I）用差值法构造函数，可得当时，可判断在时是单调递减函数，从而由得到出，进而得出结论。（II）由均值不等式，可得 。用差值法构造函数，可得。构造函数， 利用导数判断在（1，3）内是单调递减函数，从而得到出在（1，3）内是单调递减函数，进而得出结论。例15. （2012年重庆市理12分）设数列的前项和满足，其中. （I）求证：是首项为1的等比数列；（5分） （II）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.（7分）【答案】证明：（），。 。 ，。 ，。 。是首项

21、为1，公比为的等比数列。（II）当=1或=2时，易知成立。当时，成立。当时，。当时，上面不等式可化为，设，当时， 。当时，所要证的不等式成立。当时，令，则。在（0，1）上递减。在（0，1）上递增。当时，所要证的不等式成立。 当时，由已证结论得：。当时，所要证的不等式成立。综上所述，当且时，。当且仅当=1,2或时等号成立。【考点】数列与不等式的综合，数列与函数的综合，等比数列的性质，等比关系的确定。【分析】（I）根据，得，两式相减，即可证得是首项为1，公比为的等比数列。（II）当=1或=2时和当时， 成立。当时，分，三种情况分别证明即可。 本题也可用数学归纳法证明。四、不等式问题中“数形结合法”

22、的应用：典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1. （2012年湖南省理5分）已知两条直线 ：和：，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为 , ,当m 变化时，的最小值为【 】来源%&:中国*教育#出版网A B. C. D. 【答案】B。【考点】数形结合，函数的图象，基本不等式的应用。【解析】如图，在同一坐标系中作出，图像， 由，得，由，得。根据题意得。，。故选B。例2. （2012年重庆市理5分）设平面点集，则所表示的平面图形的面积为【 】（A） （B） （C） （D） 【答案】D。【考点】数形结合，函数的图

23、象，双曲线和圆的对称性。【分析】，或。 又， 满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分和。的图象都关于直线对称，和区域的面积相等，和区域的面积相等，即圆内部分和的面积之和为单位圆面积的一半，为。故选D。例3. （2012年全国课标卷文5分）当时，则a的取值范围是【 】 （A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)【答案】B。【考点】指数函数和对数函数的性质。【解析】设,作图。 当时，, 在时, 的图象在的图象上方。 根据对数函数的性质，。单调递减。 由时，得，解得。 要使时，必须。 a的取值范围是(，1) 。故选B。五、不等式问题中“特殊值法”的应用：典型例题：【版权归锦元数学

24、工作室，不得转载】例1. （2012年福建省理5分）下列命题中，真命题是【 】Ax0，0Bx，2xx2Cab0的充要条件是1Da1，b1是ab1的充分条件【答案】D。【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用。【解析】对于A，根据指数函数的性质不存在x0，使得0，因此A是假命题。对于B，当x2时，2xx2，因此B是假命题。对于C，当ab0时，不存在，因此C是假命题。对于D，a1，b1时 ab1，所以a1，b1是ab1的充分条件，因此D是真命题。故选D。例2. （2012年四川省文4分）设为正实数，现有下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则。其中的真命

25、题有 。（写出所有真命题的编号）【答案】。【考点】真命题的判定，特殊值法的应用。【解析】对于，为正实数，。 又，。故正确。对于，可以采用特殊值列举法：取，满足为正实数和的条件，但。故错误。对于，可以采用特殊值列举法：取，满足为正实数和的条件，但。故错误。对于，不妨设，由得，。为正实数，。故正确。且，。综上所述，真命题有 。例3. （2012年浙江省理4分）设，若时均有，则 【答案】。【考点】特殊元素法，偶次幂的非负数性质。【解析】时均有，应用特殊元素法，取，得。例4. （2012年四川省理14分）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表

26、示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（）由已知得，交点A的坐标为，对求导得。 抛物线在点A处的切线方程为，即。（）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到。当时,。当n=0，1，2时，显然。当时，对所有自然数都成立。满足条件的的最小值是。（）由（1）知，则，。下面证明：。首先证明：当0x1时，设函数，则。当时，；当时，在区间（0,1）上的最小值min=g。当0x1时，0,即得。由0a1知0ak1()，。从而。【考点】导数的应用、不等式、数列。【解析】（）根据抛物线与x轴正半轴相交于点A，可得A，进一步可求抛

27、物线在点A处的切线方程，从而可得（）由（）知，则 成立的充要条件是，即知，对所有n成立。当时，；当n=0，1，2时，由此可得的最小值。（）由（）知，证明当0x1时， 即可证明： 。例5. （2012年四川省文14分）已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由。【答案】解：（）由已知得，交点A的坐标为，对求导得。 抛物线在点A处的切线方程为，即。（）由（1）知，则成立的充要条件是。即知，对于所有的n成立，特别地，取n=1时，得到。当时,。当n=0时，。当时，对所有自然数都

28、成立。满足条件的的最小值是3。（）由（1）知，下面证明：。首先证明：当0x1时， ，设函数，则。当时，；当时，在区间（0,1）上的最小值min=g。当0x1时，0,即得。由0a1知0ak0时，不等式才成立，所以B不一定成立；对于C，命题显然正确；对于D，x211，01，所以D不成立.故选C。例5. （2012年陕西省文5分）小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则【 】A. B. = C. D. =【答案】A。【考点】基本不等式及其应用。【解析】设从甲地到乙地的路程为，则。 又，。 。故选A。例6. （2012年福建省理7分）已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的

29、解集为1,1（）求m的值；【版权归锦元数学工作室，不得转载】（）若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.【答案】解：（）因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm。又f(x2)0的解集为1,1，故m1。（）由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得， 当且仅当 时，等号成立。所以a2b3c9。【考点】带绝对值的函数，不等式的证明。【解析】（）由条件可得f(x2)m|x|，f(x2)0，故有|x|m的解集为-1，1，故m=1。（）由（）得1，从而 ，展开后可得，利用基本不等式证明它大于或等于9。例7. （2012年湖北省文5分）设 R，则

30、 “”是“”的【】A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件【答案】A。【考点】充分、必要条件的判定，基本不等式的应用。【解析】当时，而（当且仅当，且，即时等号成立），。当取,显然有,但。由不可以推得。综上，是的充分不必要条件。故选A。例8. （2012年四川省理4分）记为不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前3项依次为5,3,2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中的真命题有 _。（写出所有真命题的编号）【版权归锦元数学工作室，不得转载】【答案】。【考点】真命题的判定，对高斯函数的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用。【解析】对于，若，根据 当n=1时，x2=3, 同理x3=。 故正确。对于，可以采用特殊值列举法：当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1,此时数列从第二项开始为2，1，2，1，不成立。故错误。对于，由的定义知，而为正整数，故，且是整数。对于两个正整数、，当为偶数时；当为奇数时，不论是偶数还是奇数，有。和都是整数，。又当时，成立。当时，。故