高中数学知识点新.doc

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1、高中数学知识点函数1.函数的定义 （1）映射的定义： (2) 一一映射的定义：上面中是映射的是_,是一一映射的是_。 (3)函数的定义： 2.函数的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）奇偶性（在整个定义域内考虑） 定义： 判断方法：.定义法 步骤：a.求出定义域； b.判断定义域是否关于原点对称； c.求； d.比较或的关系。 图象法 已知： 若非零函数的奇偶性相同，则在公共定义域内为偶函数若非零函数的奇偶性相反，则在公共定义域内为奇函数常用的结论：若是奇函数，且，则；若是偶函数，则；反之不然。 （4）单调性（在定义域的某一个子集内考虑） 定义： 证明函数单调性的方法： .定义法 步骤：

2、 a.设； b.作差； （一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出） c.判断正负号。 用导数证明： 若在某个区间A内有导数， 则在A内为增函数； 在A内为减函数。求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法： d.复合函数在公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则为增函数； 若f与g的单调性相反，则为减函数。 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。一些有用的结论： a.奇函数在其对称区间上的单调性相同； b.偶函数在其对称区间上的单调性相反； c.在公共定义域内增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数

3、是减函数。 d.函数在上单调递增；在上是单调递减。 （5）函数的周期性 定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立 则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 例：（1）若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且 则关于 对称；的周期为 ；在（1，2）是 函数（增、减）；=，则 。 （2）设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间2，3上，=,则= 。3、函数的图象 1、基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。 2、图象的变换 （1）平移变换函数的图象是把函数平；函数的图象是把函数右平；函数的

4、图象是把函数平；函数的图象是把函数平。 （2）对称变换 函数与函数的图象关于直线x=0对称；函数与函数的图象关于直线y=0对称；函数与函数的图象关于坐标原点对称；如果函数对于一切都有，那么 的图象关于直线对称。函数与函数的图象关于直线对称。 与关于直线对称。 （3）伸缩变换的图象，可将的图象上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍。的图象，可将的图象上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍。例：（1）已知函数的图象过点（1，1），则的反函数的图象过点 。 （2）由函数的图象，通过怎样的变换得到的图象？3、函数、方程与不等式 1、“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当=0时，

5、“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。 设为方程的两个实根。若则；当在区间内有且只有一个实根，时，当在区间内有且只有两个实根时，若时 注意：根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。注意端点，验证端点。例：1、对于定义在R上的函数若其所以的函数值都不超过1，则m的取值范围 。 2、已知函数的定义域是一切实数，则 。 3、若关于x的方程有实根，则 。 4、设集合A=，B是关于x的不等式组的解集，试确定的取值范围，使。 5、已知方程的两个根为一个三角形两内角的正

6、切值，试求的取值范围。三角函数的概念、性质和图象复习要求（以下内容摘自考纲） 1. 理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算 2. 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义会求yAsin(xj)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式 3. 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数yAsin(xj)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题4.正弦函数、

7、余弦函数的对称轴，对称点的求法。5形如 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。6同一问题中出现，求它们的范围。如求的值域。7已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。如已知的值。8正弦定理： 余弦定理：，可归纳为表91. 表9-1 三角函数的图象三、主要内容及典型题例 三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、三角函数线、同角三角函数的关系式与诱导公式，以及两角和与差的三角函数，二倍角，降次公式等。 1. 三角函数的图象与性质和性质2. 三角函数作为基本初等函数，它必然具备函数的共性；作为个体，它又具有自身的个性特点例如周期性、弦函数的有界性，再如三角函数的单调

8、性，具有分段单调的特征通过复习对这些特性必须很好掌握，其中三角函数的周期性是高考中出现频率最高的试题根据考纲的要求，只需要会求经过简单的恒等变形可化为正弦、余弦、正切、余切函数及yAsin(xj)等形式的三角函数的周期，不必去研究周期函数的和、差、积、商的函数的周期 看一看历年来高考中出现的求三角函数周期的考题（例1），你应该对复习的要求有个基本的了解例 求下列三角函数的周期（根据历年全国高考有关考题(填空、选择题)改编注意 理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期 3. 弦函数的有界性：|s

9、inx|1,|cosx|1在解题中有着广泛的应用，忽视这一性质，常会出现错误。 例3 求下列函数的值域： 解法2 令tsinx，则f(t)t2t1， |sinx|1, |t|1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间1,1上的最值 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。5. “去负脱周化锐”，是对三角函数式进行角变换

10、的基本思路即利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间0o,360o)或0o,180o)内的三角函数脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数化锐. 同角三角函数之间的三种关系： (1)倒数关系：(2)商数关系： (3)平方关系：是进行三角式化简的最基本的公式，必须熟练掌握 其中九组三角诱导公式的规律可简记为：奇变偶不变，符号看象限此外在应用时，不论a取什么值，我们始终视a为锐角否则，将导致错误。 6. 三角函数的图象、单位图以及三角函数线，为我们提供了数形结合的解题方法，在解题中有着广泛的应用，应引起足够的重视 7.

11、 在函数yAsin(xj)k (A0, 0)中，A和确定函数图象的形状，j和k确定图象的位置 作函数yAsin(xj)k的图象，既可用“五点法”，也可用图象变换的方法图象的基本变换有振幅变换、周期变换，以及相位变换（左、右平移）和上下平移，前两种变换是伸缩变换，后两种变换是平移变换 对函数yAsin(xj)k (A0, 0, j0, k0),其图象的基本变换有： (1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的A1,伸长；A1,缩短 (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由的变化引起的1，缩短；1,伸长 (3)相位变换(横向平移变换)：是由的变化引起的j0,左移；j0，右移 (4)上下平移(纵向

12、平移变换): 是由k的变化引起的k0, 上移；k0,下移 于是，本题的答案为、 评析 本例所用的方法带有普遍性，用来解有关函数yAsin（xj）的图象是十分奏效的。导数知识点1.导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为2 导数的四则运算法则：（为常数）3.函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果0，则为增函数；如果0，则为减函数.常数的判定方法；如果函数在区间内恒有=0，则为常数.4. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有，则是函数的极大值，极小值同理）当函数在点处连续时，如果在附近的左

13、侧0，右侧0，那么是极大值；如果在附近的左侧0，右侧0，那么是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.5. 极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.6. 几种常见的

14、函数导数：I.（为常数） （） II. 导数常考题型一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。1 在区间上的最大值是 2 2已知函数处有极大值，则常数c 6 ；3函数有极小值 1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线在点处的切线方程是 2若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为 （1，0） 3若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 4求下列直线的方程： （1）曲线在P(-1,1)处的切线； （2）曲线过点P(3,5

15、)的切线；题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1已知函数的切线方程为y=3x+1 （）若函数处有极值，求的表达式； （）在（）的条件下，求函数在3，1上的最大值； （）若函数在区间2，1上单调递增，求实数b的取值范围 2已知三次函数在和时取极值，且(1) 求函数的表达式；(2) 求函数的单调区间和极值；(3) 若函数在区间上的值域为，试求、应满足的条件3设函数（1）若的图象与直线相切，切点横坐标为，且在处取极值，求实数 的值；（2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数总有两个不同的极值点 题型四：利用导数研究函数的图象1如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的

16、图象只可能是（ D ）（A） （B） （C） （D）2函数( A )xyo4-424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx-4-2o42243方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数 （1）求函数的单调区间、极值.（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.2已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间题型六：利用导数研究方程的根1已知平面向量=(,1). =(,).（1）若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t23)，=-k+t，

17、试求函数关系式k=f(t) ；(2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况.题型七：导数与不等式的综合1设在上是单调函数.（1）求实数的取值范围；（2）设1，1，且，求证：.2已知为实数，函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围（2）若，（）求函数的单调区间（）证明对任意的，不等式恒成立题型八：导数在实际中的应用1请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？2统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？题型九：导数与向量的结合1设平面向量若存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使（1）求函数关系式；（2）若函数在上是单调函数，求k的取值范围。