高考数学热点深度解读专题一函数与导数.doc

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1、高考数学热点深度解读专题一函数与导数函数是高中数学的核心内容，许多知识都可以与之建立起联系且围绕函数这一主题展开，函数的思想方法贯穿于数学各部分的知识中，最能体现“能力立意”的高考命题思想；而导函数最为研究函数的性质单调性、最值起到了不可替代的巨大作用，两者结合，形成了高中函数一个完整的体系。一、内容与要求1高中阶段研究的基本初等函数主要有一次函数（正比例函数）、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数；各类函数的五大性质：定义域、值域（最值、极值、边界）、周期性、奇偶性（对称性）、单调性是高考的重点与热点，是试卷命题的中心，也是体现考试说明抽象概括能力、推理论证能力及运算

2、求解能力的良好载体，试题都在中、难档；2以函数知识为依托，渗透基本数学思想方法。函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。纵观近几年各省高考试卷，从老版本教材到新课标教材，选择填空题、解答题均有涉及，以及本函数为背景的应用题和综合题是每一年高考“能力立意”的首选素材。备考过程中，除应熟悉常见的函数图像外，还应加强函数与方程、图像与曲线的区别与统一性认识，加强对函数图像与图像变换的理解与应用；3新课标考试说明明确要求“注重数学的应用意识和创新意识的考查”。“函数”一节为这一要求提供了良好的载体。函数知识与社会现实，经济建设，科技发展密切相关，以社会热点为背景考查函数应用题，

3、有利于培养学生应用数学的意识，有助于提高学生应用数学的能力和创新实践能力；4导数已成为高考命题的重要内容，通过导数可以实现与不等式、方程、解析几何等多个知识点的交汇。导数的概念与运算式应用导数的前提基础；导数问题的研究过程中，渗透着多种重要的思想方法，如数形结合、分类讨论、等价转化等；利用导数研究函数的单调性与极值成为各省市必要的题型二、09年各省市考查重点统计2009年高考各省市都从多方面考查了函数与导数的知识，在此列出没有太大的意义！总结出几乎考遍了函数的所有可考查的知识，分别是：定义域、值域、解析式、分段函数、奇偶性、单调区间、周期性、（同底的指对函数）反函数、指对幂比较大小、曲线的切线

4、、函数图像、图像变换、指对幂函数、函数与方程思想、导数的几何意义、极值、函数与不等式、函数与数列等综合应用、函数实际应用模型等等三、典题再现考点1函数定义域、值域、解析式例1：（1）函数的定义域为 （2）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 思路点拨：（1）函数定义域问题只要保证函数解析式的各部分有意义，往往解一些不等式组即可；（2）看似导数求切线的应用，但函数没有明确的解析式，需先求出解析式再求切线分析解答：（1）由得或,定义域为；（2）由得，即，切线方程为，即 解后点拨：对于函数定义域的考查很少单独去考查，往往隐含在某些函数的解答题的考查过程中，尤其注意在考查对数函数是必须注意其定

5、义域，一些同学往往在对对数求导之前不注意定义域，求导后形式变了就很难再会注意到定义域；同样对于值域问题，同学们特别注意指数函数的值域、“勾子”函数的值域，值域问题也往往渗透于某些思想方法或解答题过程中，如利用换元法时新元的取值范围实际上就是一个函数的值域问题；函数解析式一般较少考查，高考中对未告知函数解析式的函数一般会就地来研究抽象函数的性质，而不会追问这样的抽象函数的解析式是什么！ 来源:Zxxk.Com考点2分段函数例2：定义在上的函数满足，则 思路引导：分段函数的求值问题实际是认清什么时候选择那段解析式；从中的2009可以看出需要分析出函数类似于周期性的一些性质简化“2009”这样的一个

6、大数。分析解答：由已知得,所以函数在时其值以6为周期重复性出现.,所以解后点拨：本题主要考查了分段函数，但并不是简单的分段函数求值、分段函数不等式问题，还涉及到对数的运算、周期性的判定；只有三者合一才能准确的解出此题。此题的关键是当时函数呈现出周期的规律性，很多同学没有耐性，未能准确推出其周期是本题失分的最主要原因。考点3.函数图像例3：（1）函数在区间内的图象是 （2）为了得到函数的图像，需要把函数的图像上所有的点如何变换 思路引导：（1）本题并不是让同学直接来画函数图象，从下面的四个备选图形，可以需要研究函数的单调性、取值变化；（2）主要考查函数图象的平移变换：左右平移、上下平移。分析解答

7、：（1）当时，所以原函数可化为；当时，原函数可化为；所以图像为D（2）向左平移3个单位得到，然后再向下平移1个单位得，即解后点拨：图像变换问题可分为两类,一是函数图像的平移变换，二是函数图像的对称变换；这是高考的重点内容；解答此类问题的关键是深刻理解图像变换的含义及其性质，把握住变换图像与变换后图像的函数抽象解析式及其相互关系。考点4.函数的性质单调性例4：已知函数若则实数的取值范围是 思路引导：对于，如果按照“分段函数分段考虑”来处理的话很显然非常的繁琐，虽然是分段函数，但其在R上仍然是连续单调增加的；所以根据单调性来处理分析求解：所以在单调递增，同理在单调增，又两图像段在处接轨，所以在R上

8、是增函数（也可画出函数图像得到），从而有，解得解后点拨：本题主要考查分段函数的单调性问题的运用以及一元二次不等式的求解。函数的单调性是高考的常考点，高考一是考察函数单调性的论证和判断；二是考查单调性在比较函数值大小、解抽象不等式、求函数值域或参数范围等等问题中的应用；考点5.函数的性质奇偶性例5：已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围是 思路引导：利用函数的奇偶性、单调性，并借助函数图象可解；分析解答：由于是偶函数,故，得，再根据的单调性得解得解后点拨：函数的奇偶性包含两个方面，一是函数奇偶性定义的应用，常结合求函数解析式或参数值进行考查，二是对具有奇偶性的函数图像对称性的应用，主要解决函

9、数图像的识读和判断。考点6.函数的性质周期性例6：已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,试比较 的大小关系 思路点拨：一般比较大小我们可以借助于函数的单调性来处理，但要比较的的三个函数值并不是处在某一个单调区间内，所以需要先将它们都转化到同一个单增或减区间内，利用函数的周期性可以做到这一点。分析解答：因为满足,所以,所以函数是以8为周期的周期函数, 则,又因为在R上是奇函数， ,得,来源:学科网而由得,又因为在区间0,2上是增函数,所以,所以,即解后点拨：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问题；考点7：函数与方程思想、函数

10、零点问题例7：已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围.思路引导：函数中前系数不定，需要对其分类讨论，若函数为二次函数，则在上函数有几个零点又成为分类的标准；分析解答：若 , ,显然在上没有零点, 所以 令 , 解得 当 时, 恰有一个零点在上; 当，即时，在上也恰有一个零点； 当在上有两个零点时, 则 或解得或综上所求实数的取值范围是或解后点拨：函数与方程思想、零点存在定理、一元二次方程根的分布这部分知识在于对函数的相关思想的灵活考查！考点8.导数的几何意义例8：若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 思路引导：“求切线设切点”利用导函数知识可求解。分析解答：设过的直线与相切于

11、点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，来源:学科网当时，由与相切可得；综上有等于或 解后点拨：对于求切线问题，通法是：设切点，接着抓住切点处导函数值等于切线斜率可求出切点，进而解决切线问题。在这里提醒同学们注意“过某点的切线”与“在某点处的切线或是以某点为切点的切线”是不同的。考点9.导函数的应用求单调区间与极值例9：已知函数,其中 （1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.思路引导：利用导函数可解决三次函数的极值问题分析求解：（1）由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以 当时,x(-,x

12、1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)0来源:学科网ZXXK0f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值； （2）要使在区间上单调递增,需使在上恒成立，即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 解

13、后点拨：主要考查三次函数利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值。运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题；考点10.函数、导数与不等式恒成立等综合问题例10：设函数（），其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的极大值和极小值；（3）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立。来源:学#科#网思路引导：本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方（1）解：当时，得，且，；所以，曲线在点处的切线方程是，整理得。（2）解：；令，解得或。来源:学科网ZXXK由于，以下分两种情况讨论来源:Zxxk.Com若，当变化时，的正负如下表：来源:学科网因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且若，当变化时，的正负如下表：因此，函数在处取得极小值，且；函数在处取得极大值，且；（3）证明：由，得，当时，。由（2）知，在上是减函数，要使，只要；即来源:学.科.网设，则函数在上的最大值为要使式恒成立，必须，即或所以在区间上存在，使得对任意的恒成立。来源:学科网