2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专项测评试题(含详细解析).docx

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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专项测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC50米，A

2、CB46，则小河宽AB为多少米（）A50sin46B50cos46C50tan46D50tan442、如图，AB是的直径，点C是上半圆的中点，点P是下半圆上一点（不与点A，B重合），AD平分交PC于点D，则PD的最大值为（ ）A B C D3、在RtABC中，C =90，sinA=，则cosA的值等于( )ABCD4、球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（ ）A米B米C米D米5、如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东的B处，则该船行驶的路程为（ ）A80海里B120海里C海里D海里6、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点

3、处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）ABCD7、在RtABC中，C90，AC4，BC3，则下列选项正确的是（）AsinABcosACcosBDtanB8、如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则A的正切值是（）ABC2D9、一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米AB3CD以上的答案都不对10、如图，在扇形AOB中，AOB90，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA2，则阴影部分的面积为（）A BCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、规定： ，据此判

4、断下列等式成立的是：_（写出所有正确的序号）cos（60） ，sin75，2、如图，在正方形中，点为边中点，连接，与对角线交于点，连接，且与交于点，连接，则下列结论：；其中正确的是_（填序号即可）3、计算：2cos60+（1）0_4、如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，C经过A，B，D，O四点，OAB120，OB4，则点D的坐标是_5、cos30的相反数是 _三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，某学校新建了一座雕塑CD，小林站在距离雕塑3.5米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为60，看雕塑底部C的仰角为45，求雕塑CD的高度（最后结果精确到

5、0.1米，参考数据：）2、在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到O的弦AB，则称线段AB是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”（1）如图，线段CD，EF，GH中是O的以直线l为对称轴的“反射线段”有 ；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），若线段AB是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标若将“反射线段”AB沿直线yx的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为yM，求S（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足M

6、N1，若MN是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积（4）已知点M，N是在以（2，0）为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足MN，若MN是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围3、图1、图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF30cm，CE：CD1：3，DCF45，CDF30，请根据以上信息，解决下列问题（1）求AC的长度：（2）直接写出拉杆端点A到水平滑杆ED所在直线的距离 cm

7、4、如图，在中，动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动过点P作交AC或BC于点Q，分别过点P、Q作AC、AB的平行线交于点M设与重叠部分的面积为S，点P运动的时间为秒（1）当点Q在AC上时，CQ的长为_（用含t的代数式表示）（2）当点M落在BC上时，求t的值（3）当与的重合部分为三角形时，求S与t之间的函数关系式（4）点N为PM中点，直接写出点N到的两个顶点的距离相等时t的值5、小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明点A处测得热气球底部点C，中部点D的仰角分别为和，已知点O为热气球中心，点C在上，且点在同一平面内，根据以上提供

8、的倍息，求热气球的直径约为多少米？（参考数据：）（结果精确到）-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据三角函数的定义求解即可【详解】解：在中，米，故选：C，【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义2、A【分析】根据点C是半圆的中点，得到AC= BC，直径所对的圆周角是90得到ACB=90，同弧所对圆周角相等得到APC=ABC=45，AD平分PAB得到 BAD = DAP，结合外角的性质可证CAD = CDA，由线段的和差解得PD=P-CD=P-1，由此可知当CP为直径时，PD最大，最后根据三角函数可得答案【详解】解：点C是半圆的中点， AC= BCAB是直径ACB=

9、90CAB = CBA= 45同弧所对圆周角相等APC=ABC=45AD平分PAB BAD = DAPCDA= DAP+ APC = 45+ DAPCAD= CAB+BAD = 45+ BADCAD = CDAAC=CD=1PD=P-CD=P-1当CP为直径时，PD最大RtABC中，ACB = 90，CAB = 45， CP的最大值是 PD的最大值是 -1，故选：A【点睛】本题考查了同弧所对圆周角相等、直径所对的圆周角是90、角平分线的性质、三角形外角的性质、三角函数的知识，做题的关键是熟练掌握相关的知识点，灵活综合的运用3、A【分析】由三角函数的定义可知sinA=，可设a=4，c=5，由勾股

10、定理可求得b=3，再利用余弦的定义代入计算即可【详解】解：sinA=，可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3，cosA=，故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键4、A【分析】过铅球C作CB底面AB于B，在RtABC中，AC=5米，根据锐角三角函数sin31=，即可求解【详解】解：过铅球C作CB底面AB于B，如图在RtABC中，AC=5米，则sin31=，BC=sin31AC=5sin31故选择A【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键5、D【分析】过点A作ADBC于点D，分别在 和中，利用锐角三角函数，即可求解【详解】解：过点

11、A作ADBC于点D，根据题意得： 海里，ADC=ADB=90，CAD=45，BAD=60，在 中， 海里，在 中， 海里， 海里，即该船行驶的路程为海里故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键6、B【分析】利用勾股定理逆定理得出CDB是直角三角形，以及锐角三角函数关系进而得出结论【详解】解：如图，连接BD，由网格利用勾股定理得：是直角三角形，故选：B【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、余弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键7、B【分析】根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出sinA，cosA，cosB和tanB即可【详

12、解】解：由勾股定理得：，所以，即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误故选：B【点睛】本题主要是考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握每个锐角三角函数的定义，是求解该类问题的关键8、D【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解【详解】解：连接BD，则BD，AD2，则tanA故选D【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键9、B【分析】根据坡度即可求得坡角的正弦值，根据三角函数即可求解；【详解】坡比在实际问题中的应用解：坡度为1：7，设坡角是，则sin=，上

13、升的高度是：30米故选B【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，准确分析计算是解题的关键10、B【分析】连接OC、AC，作CDOA于D，可证AOC为等边三角形，得出OAC60，可求CD=ODtan60=，可求SOAC，求出BOC30，再求出，S扇形OAC，可得阴影部分的面积（）【详解】解：连接OC、AC，作CDOA于D，OAOCAC，AOC为等边三角形，OAC60，CDOA，CDO=90，OD=AD=，CD=ODtan60=，SOAC，BOC30，S扇形OAC，则阴影部分的面积（），故选：B【点睛】本题考查扇形面积，等边三角形判定与性质，锐角三角函数，掌握扇形面积，等边三角形判定与性质，锐角

14、三角函数是解题关键二、填空题1、【解析】【分析】根据规定运算法则可得，由此可判断；根据和规定的运算法则即可判断；根据和规定的运算法则即可判断；根据和规定的运算法则即可得【详解】解：，等式不成立；，等式成立；，等式成立；，等式成立；综上，等式成立的是，故答案为：【点睛】本题考查了正弦和余弦，掌握理解规定的三角函数运算法则是解题关键2、【解析】【分析】证ADEBCE和ADFCDF导角可知正确，利用三角函数表示出线段长，可得正确；证DCHBDH，可得正确，根据DCHHDC，可得错误【详解】解：四边形ABCD是正方形，点E是DC的中点，ABADBCCD，DECE，BCEADE90，ADEBCE（SAS

15、）CBEDAE，BEAE，ADDC，ADFCDF45，DFDF，ADFCDF（SAS），DAEDCF，DCFCBE，CBE+CEB90，DCF+CEB90，CHE90，CFBE，故正确；点为边中点， ，DAEDCFCBE，设，则，则，ADFCDF（SAS），FACF，解得，故正确；，DEHDEB，DEHBED，EDHDBE，DBE+CBE45，EDH+HDB45，HDBEBCECH，DCHBDH，即，故正确；，DAEDBH，DCHHDC，故错误， 故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形和相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的性质进行推理证明3、2【解析】【分析】本题涉及零指数

16、幂、特殊角的三角函数值等考点针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【详解】解：2cos60+（1）0=1+1=2故答案为：2【点睛】本题考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是掌握零指数幂、特殊角的三角函数值等考点的运算4、 (0，4)【解析】【详解】先利用圆内接四边形的性质得到BDO60，解直角三角形求出OD，可得结论【分析】解：四边形ABDO为圆的内接四边形，OAB+BDO180，BDO18012060，DOB90，在RtABO中，tanBDO，OB4OD4，D（0，4）故答案为：（0，4）【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的

17、性质，解直角三角形等知识，解题的关键是证明BDO605、#【解析】【分析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数【详解】解：cos30=，所以其相反数为故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念三、解答题1、米【解析】【分析】首先分析图形：根据题意构造两个直角三角形、，再利用其公共边求得、，再根据计算即可求出答案【详解】解：在中，米，在中，米，则米故塑像的高度大约为米【点睛】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是要先将实际问题抽象成数学模型分别在两个不同的三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系2、（1）2；（2）

18、；（3）;（4）或【解析】【分析】（1）的半径为1，则的最长的弦长为2，根据两点的距离可得，进而即可求得答案；（2）根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求得的坐标；由可得当时，yM，设当取得最大值时，过点作轴，根据题意，分别为沿直线yx的方向向上平移一段距离S 后的对应点，则，根据余弦求得进而代入数值列出方程，解方程即可求得的最大值，进而求得的范围；（3）根据圆的旋转对称性，找到所在的的圆心，如图，以为边在内作等边三角形，连接，取的中点,过作的垂线，则即为反射轴,反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆，反射轴l是该圆的切线，求得半径为，根据圆的面积公

19、式进行计算即可；（4）根据（2）的方法找到所在的圆心,当M点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动，进而即可求得反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围【详解】（1）的半径为1，则的最长的弦长为2根据两点的距离可得故符合题意的“反射线段”有2条；故答案为：2（2）如图，过点作轴于点，连接 A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），且，的半径为1，且线段AB是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，由可得当时，yM如图，设当取得最大值时，过点作轴，根据题意，分别为沿直线yx的方向向上平移一段距离S 后的对应点，则， 过中点，作直线交轴于点,则即为反射轴yM，即即

20、解得（舍）（3）的半径为1，则是等边三角形，根据圆的旋转对称性，找到所在的的圆心，如图，以为边在内作等边三角形，连接，取的中点,过作的垂线，则即为反射轴, 反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆，反射轴l是该圆的切线当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积为（4）如图，根据（2）的方法找到所在的圆心,设则,是等腰直角三角形,当M点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，是的中位线,即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动若MN是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，则为的切线设与轴交于点，同理可得反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围为或【点睛】本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识

21、，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键3、（1）（40+40）cm；（2）（20）cm【解析】【分析】（1）过点F作FGDE于点G，分别利用三角函数求出FG和DG，然后求出CD，进而求出CE，即可求出DE，最后根据AC2DE即可求出AC；（2）作AHED延长线于H，根据AHACsin45求出AH即可【详解】解：（1）过点F作FGDE于点G，FGDFGC90，在RtDGF中，CDF30，FGFDsin303015（cm），DGFDcos303015（cm），在RtCGF中，DCF45，CGFG15（cm），CDCG+DG15+15（cm），

22、CE：CD1：3，CECD（15+15）5+5（cm），DEEC+CD5+5+15+1520+20（cm），DEBCAB，ACAB+BC2DE2（20+20）40+40（cm），即AC的长度为（40+40）cm（2）作AHED延长线于H，在RtAHC中，ACH45，AHACsin45（40+40）20+20（cm），故答案为：（20）【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直

23、角三角形或矩形（3）寻找直角三角形，并解这个三角形4、（1）；（2）；（3）当，；当时，（4），【解析】【分析】（1）根据C=90，AB=5，AC=4，得cosA=，即，又因为AP=4t，AQ=5t，即可得答案；（2）由AQPM，APQM，可得，证CQMCAB，可得答案；（3）当时，根据勾股定理和三角形面积可得；当，PQM与ABC的重合部分不为三角形；当时，由S=SPQB-SBPH计算得；（4）分3中情况考虑，当N到A、C距离相等时，过N作NEAC于E，过P作PFAC于F，在RtAPF中，cosA = ，解得t = ，当N到A、B距离相等时，过N作NGAB于G，同理解得t = ，当N到B、C距

24、离相等时，可证明AP=BP=AB=，可得答案【详解】（1）如下图：C=90，AB=5，AC=4，cosA=PQAB，cosA=动点P从点A出发，沿AB以每秒4个单位长度的速度向终点B运动，点P运动的时间为t(t0)秒，AP=4t，AQ=5t，CQ=AC-AQ=4-5t，故答案为：4-5t；（2）AQPM，APQM，四边形AQMP是平行四边形当点M落在BC上时，APQM，CQMCAB，当点M落在BC上时，；（3）当时，此时PQM与ABC的重合部分为三角形，由（1）（2）知：，PQ=AQ2-AP2=3t，PQM=QPA=90S=12QMPQ=123t4t=6t2，当Q与C重合时，CQ=0，即4-5

25、t=0，t=45当，PQM与ABC的重合部分不为三角形，当时，如下图：AP=4t，PB=5-4t，PMACPHAC=BHBC=PBAB，即PH4=BH3=5-4t5PH=4(5-4t)5,BH=3(5-4t)5，ACBC=tanB=PQPB，43=PQ5-4t，PQ=4(5-4t)3，S=SPQB-SBPH，=12PBPQ-12BHPH=12(5-4t)4(5-4t)3-123(5-4t)54(5-4t)5 =51275t2-25615t+323综上所述：当，；当时，（4）当N到A、C距离相等时，过N作NEAC于E，过P作PFAC于F，如图：N到A、C距离相等，NEAC，NE是AC垂直平分线，

26、AE=AC= 2，N是PM中点，PN=PM=AQ=52t AF=AE- EF=2- 52t在RtAPF中，cosA = 45=2-45t4t 解得t = 当N到A、B距离相等时，过N作NGAB于G，如图：AG=AB=PG=AG-AP=-4tcosNPG=cosA= PGPN=45 而PN=PM=AQ=t52-4t52t=45 解得t = 当N到B、C距离相等时，连接CP，如图：PMAC，ACBCPMBC，N到B、C距离相等，N在BC的垂直平分线上，即PM是BC的垂直平分线，PB= PC，PCB=PBC，90-PCB= 90-PBC，即PCA=PAC，PC= PA，AP=BP=AB=，t=AP4=58 综上所述，t的值为或或58【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及平行四边形、三角形面积、垂直平分线等知识，解题的关键是分类画出图形，熟练应用锐角三角函数列方程5、热气球的直径约为9米【解析】【分析】过点E作，过点D作，利用三角函数的定义计算即可；【详解】过点E作，过点D作，在中，在中，设热气球的直径为x米，则，解得：；故热气球的直径约为9米【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，准确计算是解题的关键