2021_2021学年高中数学第一章解三角形1.2.2解三角形的实际应用举例_高度角度问题同步作业含解析新人教A版必修5_.doc

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1、解三角形的实际应用举例高度、角度问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.长江某地南北两岸平行,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸,假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小为|v2|=4 km/h.设v1和v2的夹角为(0180),北岸的点A在A的正北方向,游船正好到达A处时,cos =()A.B.-C.D.-【解析】选D.设船的实际速度为v,船速v1与河道南岸上游的夹角为,如图所示,要使得游船正好到达A处,则|v1|cos =|v2|,即cos =,又由=-,所以cos =cos(-)=-cos =-.2.2018年国庆节期间,某

2、数学教师进行了一次“说走就走”的登山活动,从山脚A处出发,沿一个坡角为45的斜坡直行,走了100 m后,到达山顶B处,C是与B在同一铅垂线上的山底,从B处测得另一山顶M点的仰角为60,与山顶M在同一铅垂线上的山底N点的俯角为30,两山BC,MN的底部与A在同一水平面,则山高MN=()A.200 mB.250 mC.300 mD.400 m【解析】选D.如图,由题可知,AB=100,A=45,M=30,MBN=90,MNB=60,所以BC=100,BN=200,MN=400.【解后反思】解三角形的实际应用题型,首先是模型的建立,本题要根据题目条件,画出正确的几何图形模型,再根据题目的条件,利用解

3、三角形的知识,进行目标的求解.在本题中,可以根据条件的特殊性,直接利用三角形的几何特征求解.3.如图所示,为测一树的高度,在地上选取A,B两点,从A,B两点分别测得望树尖的仰角为30,45,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为()A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+3)m【解析】选A.设树高为x m,则BP=x m.在ABP中,AB=60,BP=x,A=30,APB=15.由正弦定理得=,即=,解得x=30(1+).4.如图所示,长为4 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处2 m的地面上,另一端B在离堤足C处3 m的石堤上,石堤的倾斜

4、角为,则坡度值tan 等于()A.B.C.D.【解析】选C.由题意可得,在ABC中,AB=4 m,AC=2 m,BC=3 m,且+ACB=.由余弦定理可得,AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即42=22+32-223cos(-),解得cos =,所以sin =,所以tan =.5.一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后,又得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为()A.20(+)海里/小时B.20(-)海里/小时C.20(+)海里/小时D.20(-)海里/小时【解析】选B.设货轮的速度为每小时v海里,货轮从M处

5、航行30分钟到达N处,则MN=0.5v海里,MS=20海里,SMN=45,MNS=105,则NSM=30.根据正弦定理得:=,v=20(-)海里/小时.6.2017年9月16日05时,第19号台风“杜苏苪”的中心位于A地,它将以每小时30千米的速度向西偏北60的方向移动,距台风中心t千米以内的地区都将受到影响.若距A地正西方向900千米的B地16日08时开始受台风影响,则t的值为()A.90B.90C.90D.90【解析】选A.如图所示,在AEB中,AB=900千米,AE=330=90(千米),BE=t千米,则由余弦定理可得t2=9002+902-290090cos 60=9002+902-9

6、0090,所以t=90千米.二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,已知A,B,C三地,其中A,C两地被一个湖隔开,测得AB=3km,B=45,C=30,则A,C两地的距离为_.【解析】根据题意,由正弦定理可得=,代入数值得=,解得AC=3.答案:3 km8.如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角,在山坡的A处测得DAC=15,沿山坡前进50 m到达B处,又测得DBC=45,根据以上数据得cos =_.【解析】因为DBC=45,DAC=15,所以BDA=30,在ABD中,由正弦定理有=,所以=,计算得出BD=25(-),在

7、BCD中,由正弦定理有=,所以=,计算得出sinBCD=-1,所以cos =sin(-BCD)=sinBCD=-1.答案:-1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2019无锡高一检测)如图,在O处有一港口,两艘海轮B,C同时从港口O处出发向正北方向匀速航行,海轮B的航行速度为20海里/小时,海轮C的航行速度大于海轮B.在港口O北偏东60方向上的A处有一观测站,1小时后在A处测得与海轮B的距离为30海里,且A处对两艘海轮B,C的视角为30.(1)求观测站A到港口O的距离;(2)求海轮C的航行速度.【解析】(1)因为海轮B的速度为20海里/小时,所以1小时后,OB=20海里,又AB=30海里

8、,AOB=60,所以AOB中,由余弦定理知:AB2=OA2+OB2-2OAOBcos AOB即302=OA2+202-2OA20cos 60,即OA2-20OA-500=0,解得:OA=10+10海里.(2)AOB中,由正弦定理知:=,解得:sin OAB=,ABC中,BAC=30,ABC=60+OAB,所以ACB=90-OAB,所以sin ACB=sin =cos OAB=.在ABC中,由正弦定理知:=,解得:BC=,所以OC=OB+BC=20+.即海轮C的速度为海里/小时,10.如图,在海岸A处发现北偏东45方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75方向,距A处2海里的C

9、处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,以B处向北偏东30方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.【解题指导】设缉私船追上走私船需t小时,进而表示出CD和BD,进而在ABC中利用余弦定理求得BC,在BCD中,根据正弦定理可得sinBCD的值,进而求得BCD=30,BDC=30求得BD的值,再利用BD=10t=求得t的值.【解析】如图所示,设缉私船追上走私船需t小时,则有CD=10t,BD=10t.在ABC中,因为AB=-1,AC=2,BAC=45+75=120,根据余弦定理可求得BC=,CBD=90+30=120.在

10、BCD中,根据正弦定理可得sinBCD=,因为CBD=120,所以BCD=30,BDC=30,所以BD=BC=,则有10t=,t=0.245(小时)=14.7(分钟).所以缉私船沿北偏东60方向,需14.7分钟才能追上走私船.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如图,要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45,30.在水平面上测得BCD= 120,C,D两地相距600 m,则铁塔的AB高度是() A.120 mB.480 mC.240mD.600 m【解析】选D.设AB=x,则BC=x,BD=x.在BCD中,

11、由余弦定理知cos 120= =-,解得x=600 m,(x=-300舍去).故铁塔的高度为600 m.2.在地面上某处,测得塔顶的仰角为,由此处向塔走30 m,测得塔顶的仰角为2,再向塔走10 m,测得塔顶的仰角为4,则角的度数为()A.15B.30C.45D.60【解析】选A.如图,因为PAB=,PBC=2,所以BPA=,故PB=AB=30 m,又因为PBC=2,PCD=4,所以BPC=2,所以PC=BC=10m.在BPC中,根据余弦定理PC2=PB2+BC2-2PBBCcos 2,将PC=BC=10 m,PB=30 m代入,得:(10)2=302+(10)2-23010cos 2,得co

12、s 2=,又0290,所以2=30,所以=15.3.如图,一栋建筑物AB的高为(30-10)m,在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD,在它们之间的地面上一点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A和塔顶C的仰角分别为15和60,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30,则通信塔CD的高为()A.(60+20) mB.(30+10) mC.60 mD.20 m【解析】选C.作AECD,垂足为E,在RtABM中,AM=20(m).在AMC中,AMC=105,ACM=30,由正弦定理得=,所以AC=(60+20) m,在RtAEC中,CE=ACsin 30=(30+10) m,所以CD=30-10+30+10=

13、60(m).4.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75,现要将其倾斜角改为30,则坡底要伸长()A.1千米B.千米C.千米D.2千米【解析】选B.如图,BAO=75,C=30,AB=1,所以ABC=BAO-BCA=75-30=45.在ABC中,=,所以AC=千米.5.如图,为测量出山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75,从C点测得MCA=60,已知山高BC=100 m,则山高MN为()A.100 mB.150 mC.200 mD.250 m【解析】选B.在RtABC中,CAB=45,BC=100 m,所以AC=

14、100 m.在AMC中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45,由正弦定理得=,因此,AM=100 m.在RtMNA中,AM=100 m,MAN=60,由=sin 60,得MN=100=150 m.二、填空题(每小题5分,共20分)6.如图所示,某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面C处和D处,已知CD=6 000 m,ACD=45,ADC=75,目标出现于地面B处时测得BCD=30,BDC=15,则炮兵阵地到目标的距离是_m.(结果保留根号).【解析】因为ACD=45,ADC=75,所以CAD=60,在ACD中,由正弦定理可得=,所以AD=6 000=2 000(m).在BCD中

15、,由正弦定理得=,所以BD=3 000(m).在RtABD中,由勾股定理得AB2=BD2+AD2,所以AB=1 000(m).答案:1 0007.如图,要在山坡上A,B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高,由A,B两处测得塔顶C的仰角分别为60和45,AB长为40 m,斜坡与水平面成30角,则铁塔CD的高为_m.【解析】由题意得ABC=45-30=15,DAC=60-30=30,所以BCA=30-15=15,所以AC=AB=40 m.又BDC=30+90=120,所以在ACD中,=,所以CD=40=(m).答案:8.如图,在山底测得山顶仰角CAB=45,沿倾斜角为30的斜坡走300米至D点,又测得

16、山顶仰角为75,则山高BC=_米.【解析】因为由山底测仰角CAB=45,沿倾斜角为30的斜坡走300米至D点,又测得山顶仰角为75,所以BDE=75,DAC=30,可得DBE=90-75=15,ABD=45-15=30,所以ADB=180-30-15=135,由正弦定理可得=可得AB=300米,由等腰直角三角形的性质可得BC=300=300(米).答案:3009.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距6海里的C处的乙船,乙船立即朝北偏东(+30)的方向沿直线前往B处营救,则sin 的值为_.【解

17、析】连接BC,由已知得AC=6,AB=10,BAC=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=100+36-2106=196,所以BC=14,由正弦定理得=,即=,解得sin C=,所以sin =.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)10.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60方向相距20(+1)海里的海面上有一台风中心,影响半径为20海里,正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心在基地东北方向时对基地的影响最强烈且(+1)小时后开始影响基地持续2小时,求台风移动的方向.【解析】如图所示,设预报时台风中心为B,开始影响基地时

18、台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20,AC=20.由题意知AB=20(+1),DC=20,BC=(+1)10.在ADC中,因为DC2=AD2+AC2,所以DAC=90,ADC=45.在ABC中,由余弦定理的推论得cosBAC=.所以BAC=30.又因为B位于A南偏东60方向,60+30+90=180,所以D位于A的正北方向.又因为ADC=45,所以台风移动的方向为向量的方向,即北偏西45方向.11.某海轮以30公里/小时的速度航行,在点A测得海上面油井P在南偏东60,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30,海轮改为北偏东60的航向再行

19、驶40分钟到达C点.(1)求PC间的距离;(2)在点C测得油井的方位角是多少?【解题指导】(1)在ABP中,根据正弦定理,求BP,再利用勾股定理算出PC的长,即可算出P,C两地间的距离;(2)根据内错角相等可证明CPAB,从而可得出结论.【解析】(1)在ABP中,AB=30=20,APB=30,BAP=120,根据正弦定理得:=BP=20,在PBC中,BC=30=20,由已知PBC=90PC=40.(2)在PBC中,PBC=90,BC=20,PC=40,所以sinBPC=,所以BPC=30.因为ABP=BPC=30,所以CPAB.所以点C测得油井P在C的正南40海里处.12.位于A处的雷达观测

20、站,发现其北偏东45,与A相距20海里的B处有一货船正匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45+ (045)的C处,AC=5.在离观测站A的正南方某处E,cosEAC=-. (1)求cos ;(2)求该船的行驶速度v海里/小时.【解题指导】(1) 先根据同角三角函数关系得sinEAC,再根据=-EAC,并利用两角差余弦公式得结果,(2)根据余弦定理求BC,再除以时间得速度.【解析】(1)因为cosEAC=-,所以sinEAC=,cos=cos=coscosEAC+sinsinEAC=-+=.(2)利用余弦定理BC2=AB2+AC2-2ABACcos=125,所以BC=5,该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5海里,该船的行驶速度v=15(海里/小时).