2021_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.4幂函数课时素养评价含解析新人教B版必修第二册.doc

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1、幂函数(15分钟30分)1.已知幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+)上单调递增,则实数m的值为()A.-1B.3C.-1或3D.1或-3【解析】选B.幂函数y=(m2-2m-2)在(0,+)上单调递增,所以m2-2m-2=1,解得m=3或m=-1;又m2+m-10,所以m=3时满足条件,则实数m的值为3.【补偿训练】已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+)上单调递减,则m的值为()A.-1B.2C.-1或2D.-2【解析】选A.幂函数f(x)=(m2-m-1)xm-1在(0,+)上单调递减,所以解得所以m的值为-1.2.函数y=的图像是()【解析】选B.幂函数过点(1,1)

2、,排除A,D,当x1时,tnB.ntmC.tmnD.mnt【解析】选D.幂函数f(x)=xa的图像过点(3,9),所以3a=9,a=2;所以m=,n=,t=-loga3=-log23-log23,所以mnt.5.已知点在幂函数y=f(x)的图像上,则f(x)的解析式是_,f=_.【解析】设幂函数y=f(x)=x,为常数;把点的坐标代入解析式,得=,解得=3,所以幂函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3.f=-.答案:f(x)=x3-6.已知幂函数f(x)=x的图像过点,求函数g(x)=(x-1)f(x)在区间上的最小值.【解析】由幂函数f(x)=x的图像过点,可得2=,解得=-1,即有f(x

3、)=,函数g(x)=(x-1)f(x)=1-在区间上单调递增,所以g(x)的最小值为g=1-2=-1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020沈阳高一检测)若幂函数f(x)的图像过点(2,),则函数y=f(x)+1-x的最大值为()A.1B.C.2D.【解析】选B.设f(x)=x,因为f(x)的图像过点(2,),所以f(2)=2=,则=,则f(x)=,y=+1-x=-+,故其最大值为.2.已知幂函数y=f(x)的图像过点(,2),且f(m-2)1,则m的取值范围是()A.m3B.1m3C.m3【解析】选D.设幂函数f(x)=x(为常数),由它的图像过点(,2),可得(

4、)=2,解得=3,所以f(x)=x3;再根据f(m-2)1,得(m-2)31,解得m3,所以m的取值范围是m3.3.若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图像过点(2,4),则函数g(x)=loga(x+m)的单调增区间为()A.(-2,+)B.(1,+)C.(-1,+)D.(2,+)【解析】选B.由题意得:m+2=1,解得:m=-1,故f(x)=xa,将(2,4)代入函数的解析式得,2a=4,解得a=2,故g(x)=loga(x+m)=log2(x-1),令x-10,解得x1,故g(x)在(1,+)上单调递增.4.在同一坐标系内,函数y=xa(a0)和y=ax-的图像可能是()【解析】

5、选C.当a0,y=xa在(0,+)上是减函数,所以B,D均错误.对于A,C,若a0,则y=ax-是增函数,且-1,则f(x)1D.若0x1x2,则1时,1,即f(x)1,所以C正确.当0x1x2时,-f=-=-=-0.即1,1,0,所以xx-,即x-x-0,所以x-x-=-4.答案:-48.(2020台州高一检测)若函数f(x)同时满足:(1)对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;(2)对于定义域上的任意x1,x2,当x1x2时,恒有,0.则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中:f(x)=; f(x)=x2; f(x)=;f(x)=则被称为“理想函数”的有_(填相应的

6、序号).【解析】若f(x)是“理想函数”,则满足以下两条:(1)对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数;(2)对于定义域上的任意x1,x2,当x1x2时,恒有0,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,所以x1f(x2),即函数f(x)是减函数,故f(x)为定义域上的单调递减的奇函数.f(x)=在定义域上是奇函数,但不是减函数,所以不是“理想函数”;f(x)=x2在定义域上是偶函数,所以不是“理想函数”;f(x)=不是奇函数,所以不是“理想函数”;f(x)=在定义域R上既是奇函数,又是减函数,所以是“理想函数”.答案:四、解答题(每

7、小题10分,共20分)9.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-1为偶函数.(1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)=f(x)-ax-3在1,3上不是单调函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意m2-5m+7=1,解得m=2或3,因为f(x)是偶函数,故f(x)=x2.(2)g(x)=f(x)-ax-3=x2-ax-3,g(x)的对称轴是x=,若g(x)在1,3上不是单调函数,则13,解得:2a6.10.(2020北京高一检测)已知幂函数f(x)=(m-1)2在上单调递增.(1)求m值及f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=-+2ax+1-a在上的最大值为3,求实数a的值.【解

8、析】(1)幂函数f(x)=(m-1)2在上单调递增,故解得m=0,故f(x)=x3.(2)由于f(x)=x3,所以函数g(x)=-+2ax+1-a=-x2+2ax+1-a,函数的图像为开口方向向下的抛物线,对称轴为x=a,由于在上的最大值为3,当a2时,g(x)在上单调递增,故g(x)max=g(2)=3a-3=3,解得a=2.当a0时,g(x)在上单调递减,故g(x)max=g=1-a=3,解得a=-2.当0a2时,g(x)在上单调递增,在上单调递减,故g(x)max=g=a2+1-a=3,在(0,2)上无解,综上所述:a=2.1.(2020牡丹江高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函

9、数,当x时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=()A.12B.20C.28D.-14【解析】选A.当x3时,不等式f(mlog3k)+f(log3k)2-log3k+30恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为f=3+2=-3x3-2x=-f(x),所以f(x)是奇函数.(2)f(x)是上的增函数,(3)由(1)(2)知f(x)是奇函数且是上的增函数,因为f(mlog3k)+f(log3k)2-log3k+30恒成立,所以ff,即mlog3k-(log3k)2+log3k-3,令log3k=t,因为k3,所以t1,由mt-t2+t-3,可得m-+1,令g=-+1,t.因为函数g是上的增函数,上的减函数,所以g(t)max=g=1-2.故实数m的取值范围是.【补偿训练】已知幂函数g(x)过点,且f(x)=x2+ag(x).(1)求g(x)的解析式.(2)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由.【解析】(1)设幂函数的解析式g(x)=x(为常数).因为幂函数g(x)过点,所以2=,解得:=-1,所以g(x)=.(2)由(1)得:f(x)=x2+.当a=0时,f(x)=x2.由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x),可知f(x)为偶函数.当a0时,由于f(-x)=(-x)2+=x2-x2+=f(x),且f(-x)=(-x)2+=x2-=-f(x),所以f(x)是非奇非偶函数.