2021_2021学年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课时素养评价含解析新人教A版必修.doc

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1、平面向量数量积的物理背景及其含义 (20分钟35分)1.对于向量a,b,c和实数,下列命题中为真命题的是()A.若ab=0,则a=0或b=0B.若a=0,则=0或a=0C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若ab=ac,则b=c【解析】选B.A错,当a与b的夹角为时,ab=0;C错,a2=b2即|a|=|b|;D错,数量积不能约分;只有B对.2. 在RtABC中,C=90,AC=4,则=()A.-16B.-8C.8D.16【解析】选D.设CAB=,所以AB=.=|cos =4cos =16.【补偿训练】在ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则(+)等于()A.-B.-

2、C.D.【解析】选A.由题意,结合图形有(+)=2=-=-=-.3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,b=0,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150【解析】选C.因为b=ab+bb=0,所以ab=-|b|2.设a与b的夹角为,则cos =-,故=120.4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为()A.-6B.6C.3D.-3【解析】选B.因为cd,所以cd=0,所以(2a+3b)(ka-4b)=0,所以2ka2-8ab+3kab-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.5.(2020平顶山高一检测)已知|a|=

3、4,|b|=6,且ab=12,则向量a在向量b的方向上的投影为.【解析】设a与b的夹角为,因为ab=|a|b|cos =12,又|b|=6,所以|a|cos =2,即a在b方向上的投影为2.答案:26.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)(a+b)=,且ab=.(1)求向量a,b的夹角.(2)求|a-b|.【解析】(1)因为(a-b)(a+b)=,所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=. 又|a|=1,所以|b|=.因为ab=,所以|a|b|cos =,所以cos =,所以向量a,b的夹角为45.(2)因为|a-b|2=(a-b)2=|a|2-2|a|b|cos +|b|2=,所以|

4、a-b|=. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.点O是ABC所在平面上的一点,且满足=,则点O是ABC的()A.重心B. 垂心C. 内心D. 外心【解析】选B.因为=,所以(-)=0,即=0,所以,同理 ,所以O是ABC的垂心.2.如图,e1,e2为互相垂直的两个单位向量,则|a+b|=()A.20B.C.2D.【解析】选C.由题意,知a=-e1-e2,b=-e1-e2,所以a+b=-2e1-4e2,所以|a+b|=2.3.(2020潍坊高一检测)在ABC中,BAC=60,AB=3,AC=2,若D为BC的中点,E为AD的中点,则=()A.-B.-C.D.-【解析】选A.根

5、据题意,=(+)=-+=-+(-)=-+,所以=-+=-32+4=-.4.在ABC中,C=90,|=6,点P满足|CP|=2,则的最大值为()A.9B.16C.18D.25【解析】选B.取AB的中点D,连接CD,因为C=90,AB=6,所以|CD|=|AB|=3.设与的夹角为,则=(+)(+)=+(+)+=+(+)=22+2=4+2=4+2|cos =4+223cos =4+12cos ,所以当=0时,的最大值为16.【补偿训练】在ABC中,已知=,|=3,|=3,M,N分别是BC边上的三等分点(M靠近B,N靠近C),则的值是()A.B.C.6D.7【解析】选B.方法一:因为=,|=3,|=3

6、,所以=|cosBAC=33cosBAC=,所以cosBAC=.因为BAC(0,),所以BAC=,所以ABC是等边三角形,即|=3.因为M,N分别是BC边上的三等分点,所以=+=+,=+=+=-,所以=-+-|2,因为=,=33cos 120=-,=33cos 60=,所以=-+-1=.方法二:=+=+=+,=+=+(-)=+,=+=(32+32)+=4+=.5.任意四边形ABCD内有一点O满足+=0,则O点的位置是()A.对角线的交点B.对边中点连线的交点C.BD的中点D.AC的中点【解析】选B.如图,分别取四边形ABCD各边的中点E,F,G,H.所以+=2,+=2;因为+=0,所以2+2=

7、0=-,即O是EG的中点,同理O是FH的中点,所以点O为两组对边中点连线的交点.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知圆O是ABC的外接圆,M是BC的中点,AB=4,AC=2,则=.【解析】因为M是BC的中点,所以=,又O是ABC的外接圆圆心,所以=|cosBAO=|2=8,同理,所以=|2=2,所以=+=4+1=5.答案:57.(2020鞍山高一检测)已知平面向量,|=1,|=2,(-2),则|2+|的值是.【解析】|=1,|=2,由(-2),知(-2)=0,2=1,所以|2+|2=42+4+2=4+2+4=10,故|2+|=.答案:8.已知|a|=3,|b|=4,且(a-2b)(2a+

8、b)4,则a与b的夹角的取值范围是.【解析】(a-2b)(2a+b)=2a2+ab-4ab-2b2=29-3|a|b|cos -216=-14-334cos 4,所以cos -,又0,所以.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【解析】当夹角为时,也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此时夹角不是钝角.设2te1+7e2=(e1+te2),0,则所以由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得cos =0,所以(2te1+7e

9、2)(e1+te2)0,化简得2t2+15t+70.解得-7t0,又|a|2=4,|b|2=9,ab=3,所以32+13+30,解得或.但是当=1时,向量a+b与a+b共线,其夹角不是锐角,故的取值范围是(1,+).10.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影为-1.(1)求a与b的夹角.(2)求(a-2b)b.(3)当为何值时,向量a+b与向量a-3b互相垂直?【解析】(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.又a在b方向上的投影为|a|cos =-1,所以cos =-=-,因为0,所以=.(2)(a-2b)b=ab-2b2=-1-2=-3.(3)因为a+b

10、与a-3b互相垂直,所以(a+b)(a-3b)=a2-3ab+ba-3b2=4+3-1-3=7-4=0,所以=.1.(2019江苏高考)如图,在ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若=6,则的值是.【解析】如图,过点D作DFCE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知BF=FE=EA,AO=OD.6=3(-)=(+)(-)=(+)=-+=,得=,即|=|,故=.答案:2. 如图,在直角ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角取何值时,最大?并求出这个最大值.【解析】设与的夹角为,则=(-)(-)=-+=-a2-+=-a2-(-)=-a2+=-a2+a2cos .故当cos =1,即=0(与方向相同)时,最大,其最大值为0.