高二物理竞赛一维双原子链晶格振动课件.pptx

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1、1 1、一一维维双双原子链晶原子链晶格格振振动动1 1、模型、模型x0n4x02n2x0n2x00 xn4un4un2un u1 (na,t)0 xmumun2un4aun1 u2 (na d,t)un3n5um1un1un3un1x0n3x0n5x0m1x00 xn1n3adm nM基基元元x0ni( 2nat ) Aei(naqt )u u(na,t) Aenaq：第 n个原子的振动相位 一维一维单原子链动力学方程的一单原子链动力学方程的一般般解解一维原子链动力学方程在谐振近似、最近邻近似下的一般解：n 1,2,3,NA：格波振幅 2 ：格波圆频率a dx na x(n 1)a x dxu

2、n u(na,t) u(x,t)un1 u(n 1)a,t u(x dx,t)若格波波长 比晶体原子间距离大得多，即a ，2u1 2u u(x, t) x dx 2! x2 (dx) 2u1 2uu(x, t) x dx 2! x2 (dx)un1 u(n 1)a,t u(x dx,t)谐振近似、最近邻近似、连续介质近似下的一维原子链原子的动力学方程简化为：dt 2d 2um n (un1 un1 2un )2(dx)m 2u(x, t)t 2x2 2u(x,t) （标准波动方程形式）2u(x, t) a2 2u(x,t) 2 2u(x,t)t 2mx2x2波动方程的特解：i( 2x t )

3、Aei(qxt )u(x, t) Aeq 2A：格波振幅 2 ：格波圆频率：格波波矢i(naqt )un Aenmu Aei(maqt ) u ei(mn)aqn 1,2,3,m,N幅和频率相同。但每个原子的振动相 位不同，相邻两个原子的相位差等于 qa 。当两个原子的振动位相差为2 的整数倍时，两个原子的振动位移相 等，晶体原子振动以格波在晶体中传 播。第n 个原子的振动 对一对一维单原子链动力学方程一维单原子链动力学方程一般般解的讨解的讨论论（1）原子谐振在晶体中以格波形式传播每个原子都围绕其平衡位置谐振，振um uneiaqm n 1unm naq 2l或 m na l 2 2 (1 c

4、os qa) 4 sin 2 qa mm22mm4 sin qa sin q a 色散关系（频率与波矢的关系）m4m2截止频率将动力学方程的一般解ni( 2nat ) Aei(naqt )u u(na,t) Ae得到：dt 2d 2um n (un1 un1 2un )代入动力学方程，eiaqun m2u eia qu 2u nnn2aqamm 2l q a sin 2 sina格波圆频率 是 q 的周期函数，周期= 2。由于一维晶格的倒格矢，在倒格子空间中，圆频率周期性表示为：a2G l l为整数 q aa波矢 q和波矢 q Gl表示同一格波，所以可以将 q 的取值 q 限制在第一布里渊区：

5、a a4 s i n qa m2 q 2q格波圆频率具有中心反演对称性：(q) (q)得到一维单原子链的色散关系曲线：p 2qs i n q amq 2格波群速度：dq cos qa m2 d a从色散关系得到一维单原子链晶格子振动格波相速度：在长波长情况下，波长比晶格常数大得多，q ， 4 qa a qm2m4 sin qam2pmmq q a 1 am2q 2 2qsin q a 2dqm d a cos qa a m2与波矢无关与波矢无关与波矢成线性关系 unuN n Aei(t ( Naqndq) Aei(t naq)l 0,1,2,波矢的个数（振动模式数）由周期性边界条件：得到：ei

6、Naq 1 Naq 2 ,q 2l , l 0,1,2 Na由于 q aa 2l aN aaN l N22N个原子组成的一维单原子链，有 N个不同波矢的格波。即有 N个 振动模式。2 1设：4、原胞中两个原子的质量分别为m、M;1、原胞中两个原子距离da/2;2、相邻间距为d 的两个原子的恢复力系数为;13、相邻间距为(a-d)的两个原子的恢复力系数为2;22212u2 (na, t) u1 (n 1)a, t) dt 2d u (na, t)M1 u1 (na, t) u2 (n 1)a, t)dtd u (na, t)m 2 u2 (na, t) u1 (na, t) u2 (na, t) 2 u1 (na, t)动动力力学学方方程程在在简简谐谐近似近似、最近邻近似下最近邻近似下，n 1,2,3,m,N21u (na) Beu (na) Aei (naqt )i (naqt )3、动力学方程的一般解：色散关系1221 0M 2 ( )12 e e m 2 ( )12iqaiqa122124(1 cos(aq) 0 2 m M mM( )