03第3章--高等数学模型.docx
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1、第3章 高等数学模型本章介绍一些针对高等数学知识点的数学模型。本章的案例对训练有素的建模者而言不算困难,但对于初学者来说并非易事,因此建议初学者采取循序渐进的学习方式。在开始阶段不要急于去尝试复杂的建模问题,现实生活中有许多值得我们思考的问题,其中不少既简单又实用,不需要具备过多的数学方法和知识就可以去尝试去做,它们可以让你体会到建模艺术的概貌,体会到建模的魅力。3.1 函数3.1.1 加油站的竞争1.问题提出甲乙两个加油站位于同一条公理旁,为在公路上行驶的汽车提供同样的汽油,彼此激烈竞争。一天,甲站推出“降价销售”吸引顾客,结果造成乙站的顾客被拉走,影响了乙站的盈利。乙站为挽回损失,必须采取
2、降价销售这一对策来争取顾客。那么,乙站如何决定汽油的价格才能既可以同甲站竞争,又可以获取尽可能高的利润?2.问题分析在这场“价格战”中,我们将站在乙站的立场上为其制定价格对策。因此,需要构建一个模型来描述甲站汽油价格下调后乙站销售量的变化情况,从而得到乙站的销售利润。为了描述汽油价格和销售量之间的关系,引入以下指标:(1)价格战前,甲乙两站汽油的正常销售价格为(元/L);(2)降价前乙站的销售量为(L);(3)汽油的成本价格为(元/L);(4)降价后乙站的销售价格为(元/L);(5)降价后甲站的销售价格为(元/L)。3.模型假设影响乙站汽油销售量的因素主要有以下几个:(1)甲站汽油降价的幅度;
3、(2)乙站汽油降价的幅度;(3)甲乙两站之间汽油销售价格之差。我们知道,随着甲站汽油降价幅度的增加,乙站汽油销售量随之减少;而随着乙站汽油降价幅度的增加,乙站汽油销售量随着增大;同时,随着两站之间汽油销售价格之差的增加,乙站汽油销售量也随之减少。假设1 在这场价格战中,假设汽油的正常销售价格保持不变。假设2 以上各因素对乙站汽油销售量的影响是线性的,比例系数分别为(均为正常数)。4.模型建立根据假设2,乙站的汽油销量为,所以乙站的利润函数为.(3.1)5.模型求解当确定时,利润函数是关于的二次函数,求出的最大值点为.也就是说,当甲站把汽油的价格降到元,乙站把它的汽油价格定位时,可以使得乙站获得
4、更高利润。计算的MATLAB程序如下:clc, clearsyms a b c p w x y z %定义符号变量R=(x-w)*(z-a*(p-y)+b*(p-x)-c*(x-y);dr=diff(R,x), d2r=diff(R,x,2) %求关于x的一、二阶导数xs=solve(dr,x) %求驻点6.思考价格差对销售量的线性影响的假设是否恰当?可以修正吗?3.1.2 交通信号灯的管理 1.问题提出某学校旁边有一个十字路口,学生希望通过对十字路口红绿灯开设时间及车流量的调查来分析十字路口红灯和绿灯点亮的时间是否合理。调查数据如下:南北方向绿灯即东西方向红灯的时间为49s,东西方向绿灯即南
5、北方向红灯的时间为39s,所以红绿灯变换一个周期的时间为88s。在红绿灯变换的一个周期内,相应的车流量:南北方向平均为30辆,东西方向平均为24辆。2.问题分析这里所谓的合理,就是从整体上看,在红绿灯变换的一个周期内,车辆在此路口的滞留总时间最少。引入以下指标:(1)红绿灯变换的周期为;(2)从南北方向到达十字路口的车辆数为;(3)从东西方向到达十字路口的车辆数为。3.模型假设假设1 黄灯时间忽略不计;只考虑机动车,不考虑人流量及非机动车辆;只考虑东西、南北方向,不考虑拐弯的情况。假设2 车流量均匀。假设3 一个周期内,南北向绿灯,东西向红灯时间相等;东西向绿灯与南北向红灯周期相同。4.模型建
6、立设南北方向绿灯时间(即东西方向红灯时间)为秒,则南北方向红灯时间(即东西方向绿灯时间)为秒。设一个周期内车辆在此路口的滞留总时间为秒。根据假设,一个周期内车辆在此路口的滞留总时间分成两部分,一部分是东西方向车辆在此路口滞留的时间,另一部分是南北方向车辆在此路口滞留的时间。下面计算东西方向车辆在此路口滞留的时间。在一个周期中,从东西方向到达路口的车辆数为,该周期中东西方向亮红灯的比率是,需停车等待的车辆数是。这些车辆等待时间最短为0(刚停下,红灯就转换为绿灯),最长为(到达路口时,绿灯刚转换为红灯),由假设2“车流量均匀”可知,它们的平均等待时间是。由此可知,东西方向车辆在此路口滞留的时间为.
7、同理,南北方向车辆在此路口滞留的时间为.所以.5.模型求解函数是关于的二次函数,容易求得当时,取得最小值。6.结果分析取学生的调查数据,即,则,当时,。计算的MATLAB程序如下:clc, clearsyms a b t Ty=b*t2/(2*T)+a*(T-t)2/(2*T);dy=diff(y,t), d2y=diff(y,t,2) %求关于t的一阶、二阶导数t01=solve(dy,t) %求驻点t02=subs(t01,a,b,T,30,24,88) %代入具体数值t0=double(t02) %符号数转化为数值数y0=subs(y,a,b,T,t,30,24,88,t02)y0=do
8、uble(y0)由此可见,计算所得结果和学生们实际观测到的数据是比较接近的,这也说明此路口红灯与绿灯设置的时间比较合理。7.思考上面这个模型涉及的变量只有一个(车流量),若再将停车后汽车延迟发动达到正常车速所用的时间考虑在内,又该如何求解呢?3.2 导数3.2.1 飞机的降落曲线问题1.问题提出一完成任务的战斗机正在准则返航降落,你知道它的降落曲线有什么特点吗?在研究飞机的自动着陆系统时,技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经验,一架水平飞行的飞机,其降落曲线是一条三次抛物线。你能确定这条三次抛物线吗?2.问题分析只需设出三次抛物线的函数,利用飞行曲线的连续性、光滑性确定其中的待定系数即可。图
9、3.1 飞机降落曲线3.模型建立与求解如图3.1所示,设飞机的飞行高度为,从处开始下降,飞机的着陆点为原点,求。利用飞行曲线的连续性、光滑性,得到4个方程,联立解之即可。由条件知,由曲线的光滑性,得,代入三次抛物线,得方程组解此方程组,得,飞机的降落曲线为。计算的MATLAB程序如下:clc, clear, syms x a b c d h x0y=a*x3+b*x2+c*x+d; dy=diff(y)eq1=subs(y,x,0); eq2=subs(dy,x,0);eq3=subs(y,x,x0)-h; eq4=subs(dy,x,x0);a0,b0,c0,d0=solve(eq1,eq2
10、,eq3,eq4,a,b,c,d)y2=subs(y,a,b,c,d,a0,b0,c0,d0)y3=subs(y2,x0,h,10000,1000) %取x0=10000,h=1000ezplot(y3,0,10000), title()xlabel($x$,Interpreter,Latex)4.结果分析从结论可知,飞机的降落曲线为立方抛物线的一个部分,从降落点开始观测时,曲线是先上凸后下凸。5.拓展应用若设在整个降落过程中,飞机的水平速度始终保持为常数,出于安全考虑,飞机垂直加速度的最大值不得超过,是重力加速度,那么开始下降点所能允许的最大值是多少?由于飞机的垂直速度是关于时间的导数,故有
11、,其中,是飞机的水平速度,代入条件即得,垂直加速度为.由,得,即飞机降落所需的水平距离不得小于。例如,当飞机以水平速度540km/h,高度1000m飞临机场上空时,有(m),即飞机降落所需的水平距离不得小于11737m。3.2.2 飞行员对座椅的压力问题1.问题提出飞机在做表演或向地面某目标实施攻击时,往往会做俯冲拉起的飞行,这时飞行员处于超重状态,即飞行员对座椅的压力大于他所受的重力,这种现象称为过荷。过荷会给飞行员的身体造成一定的损伤,如大脑贫血、四肢沉重等。过荷过大时,会使飞行员暂时失明甚至昏厥。通常飞行员可以通过强化训练来提升自己的抗荷能力,受过专门训练的空军飞行员最多可以承受9倍于自
12、己重力的压力。如何计算飞行员对座椅的反作用力呢?2.问题分析设飞机沿抛物线路径做俯冲飞行,问题转化为求飞机俯冲至最低点处时,座椅对飞行员的压力。飞行员对座椅的压力等于飞行员的离心力与飞行员本身的重力之和。3.模型建立设飞机沿抛物线路径做俯冲飞行,在坐标原点处飞机的速度为,飞行员体重,飞行员对座椅的压力等于飞行员的离心力与飞行员的重力之和。4.模型求解先求离心力,再求飞行员本身的重力,相加即可。因为,抛物线在坐标原点的曲率半径为,故离心力为(N),座椅对飞行员的反作用力(N). 计算的MATLAB程序如下:clc, clear, syms y(x)m=70; v=200; g=9.8;y=x2/
13、10000; dy=diff(y); d2y=diff(y,2);rho=(1+dy2)(3/2)/d2yrho0=subs(rho,x,0)F1=m*v2/rho0, F=F1+m*g5.结果分析这个力接近于飞行员体重的2倍,还是比较大的。从结果中可以看出,若俯冲飞行的抛物线平缓些,飞行员受到的过荷会小一些,若飞机的速度小一些,飞行员受到的过荷也会小一些。6.拓展应用曲率、曲率半径的计算在铁路修建、桥梁建筑等问题中都有应用。一辆军车连同载重共10t,在抛物线拱桥上行驶,速度为26km/h,桥的跨度为10m,拱高为0.25m,求汽车越过桥顶时对桥的压力。图3.2 拱桥建立如图3.2所示的直角坐
14、标系。设抛物线拱桥方程为,由于抛物线过点,代入方程,得,则,。顶点的曲率半径,军车越过桥顶时对桥的压力为(N)。3.3 定积分3.3.1 火箭飞出地球问题1.问题提出2013年12月2日,“嫦娥”三号成功发射。这体现了中国强大的综合国力,是中国发展软实力的又一象征。我们期盼着有朝一日能坐上宇宙飞船去遨游太空,这是多么令人兴奋的事!为此,需要考虑的一个基本问题是,飞船要用多大的初速度才能摆脱地球的引力呢?2.问题分析地球的半径为6378km,其表面的重力加速度是9.8m/s2。火箭在上升过程中,主要是在克服地球引力做功。如果能把火箭摆脱地球引力所需要的总功求出,而这一总功是由火箭所获得的动能转化
15、而得,便可进一步求出所需要的初速度。3.模型的建立与求解利用定积分的概念,并结合物理学知识,计算出火箭摆脱地球引力所做的功,然后利用动能公式求出所需的初速度。设地球的半径为,质量为,火箭的质量为,根据万有引力定律,当火箭离开地球表面距离为时,它所受地球的引力为。当时,故.由于引力随着火箭上升高度的变化而变化,因此,如果假设火箭上升高度为,那么在整个高度上火箭所需要的总功就不能直接由公式求得。但是,可以按定积分的定义计算总功。当火箭再上升时,需要做的功为.所以当火箭自地球表面达到高度时,所要做的功总共为.火箭要摆脱地球的引力,意味着,此时,所以初速度必须使动能,得,代入数据,得.这就是第二宇宙速
16、度。4.结果分析火星的直径是6860km,其表面的重力加速度是3.92m/s2。有人说:如果人类有一天能在火星上居住,那么从火星上乘宇宙飞船去太空遨游要比地球上容易。请说明此人的观点是否正确?3.3.2 侦察卫星覆盖面积问题1.问题提出侦察卫星主要用于对其他国家或地区进行情报搜集,其携带的广角高分辨率摄像机能监视“视线”所及地球表面的每一处景象并进行摄像。利用卫星搜集情报既可避免侵犯领空的纠纷,又因操作高度较高,可避免受到攻击。具有侦察面积大、速度快、效果好、可长期或连续监视以及不受国界和地理条件限制等优点。现有一颗地球同步轨道侦察卫星在位于地球赤道平面的轨道上运行,试测算卫星距离地面的高度以
17、及侦察卫星的覆盖面积。2.问题分析一颗地球同步轨道侦察卫星的轨道位于地球的赤道平面内,且可近似认为是圆形轨道。侦察卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同,即人们看到它在天空不动。则卫星绕地球做圆周运动时万有引力提供向心力,结合牛顿第二定律,即可确定卫星的高度;当卫星距离地面高度已知时,其覆盖面积可用球冠面积来确定或者利用曲面积分计算。3.模型建立及求解已知地球半径为km,重力加速度,卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同。问卫星距地面的高度应为多少?并计算该卫星的覆盖面积。记地球的质量为,通信卫星的质量为,万有引力常数为,通信卫星运行的角速度为。卫星所受的万有引力为,卫星所受离心力为。根据牛顿
18、第二定律,得,(3.2)若把卫星放在地球表面,则卫星所受的万有引力就是卫星所受的重力,即有,(3.3)消去式和中的万有引力常数,得.(3.4)将,km,代入式,得(m)即卫星距地面的高度为35865km。取地心为坐标原点,地心与卫星中心的连线为轴建立三维右手直角坐标系,其平面图如图3.3所示。图3.3 平面图卫星的覆盖面积为,其中为球面的上半部被圆锥角所限定的部分曲面。所以卫星的覆盖面积为,其中,积分区域为平面上的区域,这里,利用极坐标得.代入,计算得m2,即km2。计算的MATLAB程序如下:clc, clearg=9.8; R0=6378000; omiga=2*pi/(24*3600);
19、h0=(g*R02/omiga2)(1/3)-R0syms z(x,y) R r t h a bassume(R,positive); assume(b,positive); assume(h,positive)z=sqrt(R2-x2-y2)ds=sqrt(1+diff(z,x)2+diff(z,y)2)f=subs(ds,x,y,r*cos(t),r*sin(t)*r,f=simplify(f)S=2*pi*int(f,r,0,R*sin(b), S=simplify(S)S=subs(S,cos(b),R/(R+h)S=double(subs(S,R,h,R0,h0)TS=4*pi*R0
20、2 %计算地球的表面积rate=S/TS %计算同步卫星覆盖的比率4.结果分析地球表面的总面积为,一颗通信卫星覆盖地球表面的比率为42.45%,即一颗通信卫星覆盖了地球表面的以上的面积,故使用3颗相间的通信卫星就可以覆盖整个地球表面。3.4 多元函数微分学3.4.1 竞争性产品生产中的利润最大化1.问题的提出一家制造计算机的公司计划生产两种产品:一种使用27英寸(in,1in=0.0254m)显示器的计算机,而另一种使用31英寸显示器的计算机。除了400000美元的固定费用外,每台27英寸显示器的计算机成本为1950美元,而31英寸的计算机成本为2250美元。制造商建议每台27英寸显示器的计算
21、机零售价格为3390美元,而31英寸的零售价格为3990美元。营销人员估计,在销售这些计算机的竞争市场上,一种类型的计算机每多卖出一台,它的价格就下降0.1美元。此外,一种类型的计算机的销售也会影响另一种类型的销售:每销售一台31英寸显示器的计算机,估计27英寸显示器的计算机零售价格下降0.03美元;每销售一台27英寸显示器的计算机,估计31英寸显示器的计算机零售价格下降0.04美元。那么该公司应该生产每种计算机多少台,才能使利润最大?2.模型假设及符号说明制造的所有计算机都可以售出。分别表示27英寸和31英寸的计算机;为生产的第种计算机的数量;是第种计算机的零售价格;为计算机零售收入;为计算
22、机的制造成本;为计算机零售的总利润。3.模型建立由题意可知,且,.则利润函数为.(3.5)4.模型求解该模型式是一个多元函数,目的是求该函数的最大值。根据多元函数极值的必要条件,有解方程组得到.根据实际,该函数存在最大值,因为,就是其最大值点。也就是说,公司应该制造4735台27英寸显示器的计算机和7043台31英寸显示器的计算机,总利润为美元。计算的MATLAB程序如下:clc, clear, syms x1 x2p1=3390-0.1*x1-0.03*x2; p2=3990-0.04*x1-0.1*x2;R=p1*x1+p2*x2; C=400000+1950*x1+2250*x2;L=R
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