2021-2022学年人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专项测评试题(含解析).docx

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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数专项测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、小金将一块正方形纸板按图1方式裁剪，去掉4号小正方形，拼成图2所示的矩形，若已知AB9，BC16，则3号

2、图形周长为（）A B C D2、在直角ABC中，AC2，则tanA的值为（ ）ABCD3、如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东的B处，则该船行驶的路程为（ ）A80海里B120海里C海里D海里4、在RtABC中，C90，AC5，BC3，则sinA的值是（ ）ABCD5、如图，过点O、A(1，0)、B(0，)作M，D为M上不同于点O、A的点，则ODA的度数为（）A60B60或120C30D30或1506、ABC中，tanA1，cosB，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D锐角三角形7、如图，中，它的周长为22若与，

3、三边分别切于E，F，D点，则劣弧的长为（ ）ABCD8、如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BHCE于F，交AC于G，交AD于H，下列说法：；点F是GB的中点；SAHG=SABC其中正确的结论的序号是（ ）ABCD9、如图，在ABC中，C=90，ABC=30，D是AC的中点，则tanDBC的值是（ ）A B C D10、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan的值是（ ）A12B43C35D45第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC中，I是ABC的内心，O是AB边上一点，O经过点B且与AI相切于点I，若tanBAC，则s

4、inACB的值为 _2、如图，直线yx+b与y轴交于点A，与双曲线y在第三象限交于B、C两点，且ABAC16下列等边三角形OD1E1，E1D2E2，E2D3E3，的边OE1，E1E2，E2E3，在x轴上，顶点D1，D2，D3，在该双曲线第一象限的分支上，则k_，前25个等边三角形的周长之和为_3、ABC中，AB4，AC5，ABC的面积为5，那么A的度数是_4、_5、如图所示，在RtABC中，ACB = 90，A = 30，AC = 15 cm，点O在中线CD上，当半径为3 cm的O与ABC的边相切时，OC =_ 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、先化简，再求代数式的值，其中2、

5、（1）计算：（2）如图，在菱形ABCD中，于点E，求菱形的边长3、如图，已知抛物线（为常数，且0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求的值；（3）在（1）的条件下，直线BD上是否存在点E，使AEC=45？若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由4、如图，点A、B在以CD为直径的O上，且，BCD=30（1）判断ABC的形状，并说明理由；（2）若BC=cm，求图中阴影部分的面积5、计算：（1）（2）-参考答

6、案-一、单选题1、B【分析】设 而AB9，BC16，如图，由（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为小正方形，得到 再证明再建立方程求解，延长交于 则 再利用勾股定理求解 从而可得答案.【详解】解：如图，由题意得：（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为小正方形， 设 而AB9，BC16， 结合（图1），（图2）的关联信息可得： 整理得： 解得： 经检验：不符合题意，取 延长交于 则 四边形是矩形， 所以3号图形的周长为： 故选B【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的应用，从（图形1）与（图形2）中的关联信息中得出图形中边的相等是解本题的

7、关键.2、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值【详解】解：在RtABC中，AB=3，AC2，BC= tanA=故选：B【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中3、D【分析】过点A作ADBC于点D，分别在 和中，利用锐角三角函数，即可求解【详解】解：过点A作ADBC于点D，根据题意得： 海里，ADC=ADB=90，CAD=45，BAD=60，在 中， 海里，在 中， 海里， 海里，即该船行驶的路程为海里故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键4、A【分析】先根据银河股定理求出

8、AB，根据正弦函数是对边比斜边，可得答案【详解】解：如图，C90，AC5，BC3， ，故选：A【点睛】本题考查了锐角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键5、D【分析】连接，先利用正切三角函数可得，再分点在轴上方的圆弧上和点在轴下方的圆弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形的性质求解即可得【详解】解：如图，连接，在中，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当点在轴上方的圆弧上时，由圆周角定理得：；（2）如图，当点在轴下方的圆弧上时，由圆内接四边形的性质得：；综上，的度数为或，故选：D【点睛】本题考查了正切、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键6、C【

9、分析】先根据ABC中，tanA=1，cosB=求出A及B的度数，进而可得出结论【详解】解：ABC中，tanA=1，cosB=，A=45，B=45，C=90，ABC是等腰直角三角形故选：C【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键7、B【分析】连接OD、OF，过点O作OGDF于点G，则，DOG=FOG，根据与，三边分别切于E，F，D点，可得AD=AF，BD=BE，CE=CF，ADO=AFO=90，从而得到AD=AF=3，再由，可得 ，DOF=120，从而求出OD，即可求解【详解】解：如图，连接OD、OF，过点O作OGDF于点G，则，DOG=FOG， 与，三

10、边分别切于E，F，D点，AD=AF，BD=BE，CE=CF，ADO=AFO=90，BC=8，BD+CF=BE+CE=BC=8，的周长为22AD+AF+BD+BE+CE+CF=22，AD+AF=6，AD=AF=3，ADF为等边三角形，DOF=120，DF=AD=3， ，DOG=60， ，劣弧的长为 故选：B【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，求弧长，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键8、D【分析】先证明ABHBCE，得AH=BE，则，即，再根据平行线分线段成比例定理得：即可判断；设BF=x，CF=2x，则BC=x，计算FG= 即可判断；根据等腰直角三角形得：AC=AB，根据中

11、得：即可判断；根据，可得同高三角形面积的比，然后判断即可【详解】解：四边形ABCD是正方形，AB=BC，HAB=ABC=90，CEBH，BFC=BCF+CBF=CBF+ABH=90，BCF=ABH，ABHBCE，AH=BE，E是正方形ABCD边AB的中点，BE=AB，即AH/BC，故正确；设BF=x，CF=2x，则BC=x，AH=x，故不正确；四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=90，AC=AB，故正确；，故正确故选D【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键9、D【分析】根据正切的定义以及，设，

12、则，结合题意求得,进而即可求得【详解】解：在ABC中，C=90，ABC=30，设，则， D是AC的中点，故选D【点睛】本题考查了正切的定义，特殊角的三角函数值，掌握正切的定义是解题的关键10、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可【详解】解：如图所示，在直角三角形ABC中ACB=90，AC=2，BC=4，tan=ACBC=24=12，故选A【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义二、填空题1、#0.8【解析】【分析】连接OI，BI，作OEAC，可证AOD是等腰三角形，然后证明ODBC，进而ADOACB，解三角形AOD即可【详解】解：如图，连

13、接OI并延长交AC于D，连接BI，AI与O相切，AIOD，AIOAID90，I是ABC的内心，OAIDAI，ABICBI，AIAI，AOIADI（ASA），AOAD，OBOI，OBIOIB，OIBCBI，ODBC，ADOC，作OEAC于E，tanBAC，不妨设OE24k，AE7k，OAAD25k，DEADAE18k，OD30k，sinACB 故答案是：【点睛】本题主要考查了切线的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键2、 60【解析】【分析】设直线yx+b与x轴交于点D，作BEy轴于E，CFy轴于F首先证明ADO60，可得AB2

14、BE，AC2CF，由直线yx+b与双曲线y在第一象限交于点B、C两点，可得x+b，整理得，x2+bxk0，由韦达定理得：x1x2k，即EBFCk，由此构建方程求出k即可，第二个问题分别求出第一个，第二个，第三个，第四个三角形的周长，探究规律后解决问题【详解】设直线yx+b与x轴交于点D，作BEy轴于E，CFy轴于Fyx+b，当y0时，xb，即点D的坐标为（b，0），当x0时，yb，即A点坐标为（0，b），OAb，ODb在RtAOD中，tanADO，ADO60直线yx+b与双曲线y在第三象限交于B、C两点，x+b，整理得，x2+bxk0，由韦达定理得：x1x2k，即EBFCk，cos60，AB2

15、EB，同理可得：AC2FC，ABAC（2EB）（2FC）4EBFCk16，解得：k4由题意可以假设D1（m，m），m24，m2OE14，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，n），（4+n）n4，解得n22，E1E244，即第二个三角形的周长为1212，设D3（4a，a），由题意（4a）a4，解得a22，即第三个三角形的周长为1212，第四个三角形的周长为1212，前25个等边三角形的周长之和12+1212+1212121212121260，故答案为4，60【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型3、60或1

16、20#120或60【解析】【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据A的三角函数值可得A的度数，注意需要分情况讨论【详解】解：当A是锐角时，如图，过点B作BDAC于D，AC5，ABC的面积为5，BD5252，在中，sinA，A60当A是钝角时，如图，过点B作BDAC，交CA的延长线于D，AC5，ABC的面积为5，BD5252，在RtABD中，sinBADsinA，BAD60BAC18060120故答案为60或120【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线4、5【解析】【分析】原式分别根据绝对值，有理数的乘方，二次根式

17、以及特殊角三角函数值化简各项后，再进行加减运算即可得到答案【详解】解：=5【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则及特殊角三角函数值是解答本题的关键5、或6【解析】【分析】先求出，分三种情况，利用O的切线的特点构造直角三角形，用三角函数求解即可【详解】解：RtABC中，ACB=90，A=30，B=60，AC = 15 cm， ，CD为AB边上中线，BDC=BCD=B=60，ACD=A=30，当O与AB相切时，过点O作OEAB于E，如图1，在RtODE中，BDC=60，OE=3，；当O与BC相切时，过O作OEBC，如图2，在RtOCE中，BCD=60，OE=3，；当O与AC相切时，

18、过O作OEAC于E，如图3，在RtOCE中，ACD=30，OE=3，故答案为或6【点睛】此题是切线的性质，主要考查了直角三角形的性质，斜边的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，解本题的关键是用圆的切线构造直角三角形，借助三角函数来求解三、解答题1、，.【解析】【分析】由题意根据分式的运算规则进行化简后，进而代入特殊锐角三角函数值进行计算即可.【详解】解：，把代入.【点睛】本题考查分式的化简求值以及特殊锐角三角函数值，熟练掌握分式的运算规则以及特殊锐角三角函数值是解题的关键.2、（1）1；（2）13【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值的含义即可完成；（2）根据菱

19、形的性质可得AB=AD，再由已知条件设，则由勾股定理可得AE，则由BE=8建立方程即可求得k，从而求得菱形的边长【详解】解：（1）原式.（2）四边形ABCD是菱形，.，设，则，即菱形的边长为13.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值，菱形的性质、三角函数及勾股定理，灵活运用这些知识是关键3、（1）：y=x2-x-2；（2）a=或；（3）在直线BD上不存在点E，使AEC=45理由见解析【解析】【分析】（1）令y=0可得A和B两点的坐标，把点B的坐标代入直线y=-x+b中可得b的值，根据点D的横坐标为-5，可得点D的坐标，将点D的坐标代入抛物线的解析式中可得答案；（2）

20、因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB如图1和图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）根据OA=OC=2，AOC=90画圆O，半径为2，可知若优弧上存在一点E与A，C构建的AEC=45，再证明BD与O相离，圆外角小于圆上角，可得结论【详解】解：（1）抛物线y=a（x+2）（x-4），令y=0，解得x=-2或x=4，A（-2，0），B（4，0），把B（4，0）代入直线y=x+b中，b=3，直线的解析式为y=-x+3，当x=-5时，y=-（-5）+3=，D（-5，），点D（-5，）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，a

21、（-5+2）（-5-4）=，a=，抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x-4）=x2-x-2；（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=-8a，C（0，-8a），OC=8a点P在第一象限内的抛物线上，ABP为钝角若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB过点P作PNx轴于点N，若ABCAPB，则有BAC=PAB，如图1所示，设P（x，y），则ON=x，PN=y，tanBAC=tanPAB，即：，y=4ax+8a，P（x，4ax+8a），代入抛物线解析式y=a（x+2）（x-4），得a（x+2）（x-4）=4ax+8a，整理得：x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2（与点A重合，舍

22、去），P（8，40a），ABCAPB，即，解得：a=；若ABCPAB，则有ABC=PAB，如图2所示，与同理，可求得：y=2ax+4a，P（x，2ax+4a），代入抛物线解析式y=a（x+2）（x-4），得a（x+2）（x-4）=2ax+4a，整理得：x2-4x-12=0，解得：x=6或x=-2（与点A重合，舍去），P（6，16a），ABCPAB，即，解得：a=；综上所述，a=或；（3）在（1）的条件下，二次函数的解析式为：y=x2-x-2；当x=0时，y=-2，C（0，-2），OA=OC=2，如图3，以O为圆心2为半径画圆，在上取一点E1，过点O作OFBD于F，AOC=90，AE1C=45，

23、在直线y=-x+3中，OM=3，OB=4，BM=5，SOBM=34=5OF，OF=2，直线BD与O相离，AEC45，在直线BD上不存在点E，使AEC=45【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，解直角三角形，直线和圆的位置关系，圆周角的性质，坐标和图形的性质等知识，解（1）的关键是确定点D的坐标，解（2）的关键是利用分类讨论的思想；解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题4、（1）ABC是等边三角形，理由见解析；（2）（）cm2【解析】【分析】（1）由垂直定义得，由垂径定理得，由三角形内角和定理得，从而可判断ABC的形状；（2）连接BO、过O作OE

24、BC于E，由垂径定理可得出BE的长，根据圆周角定理可得出BOC的度数，在RtBOE中由锐角三角函数的定义求出OB的长，根据S阴影=S扇形-SBOC即可得出结论【详解】解：（1）ABC是等边三角形，理由如下：，BCD=30， ABC是等边三角形；（2）连接BO，过O作OEBC于E，BC=cm，BE=EC=cm，BAC=60，BOC=120，BOE=60，在RtBOE中，OB=6cm，S扇形=cm2，cm2，S阴影=cm2，答：图中阴影部分的面积是（）cm2【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及扇形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键5、（1）1；（2）【解析】【分析】（1）先化简绝对值、计算特殊角的正弦和正切值，再计算实数的混合运算即可得；（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的混合运算即可得【详解】解：（1）原式；（2）原式【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题关键