结构力学最全知识点梳理及学习方法.pdf

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1、结构力学最全知识点梳理及学习方法2 第一章绪 论1-1 结构力学的研究对象和任务一、结构的定义 : 由基本构件（如拉杆、柱、梁、板等）按照合理的方式所组成的构件的体系，用以支承荷载并传递荷载起支撑作用的部分。注：结构一般由多个构件联结而成，如：桥梁、各种房屋（框架、桁架、单层厂房）等。最简单的结构可以是单个的构件，如单跨梁、独立柱等。二、结构的分类：由构件的几何特征可分为以下三类1杆件结构由杆件组成，构件长度远远大于截面的宽度和高度，如梁、柱、拉压杆。2薄壁结构结构的厚度远小于其它两个尺度，平面为板曲面为壳，如楼面、屋面等。3实体结构结构的三个尺度为同一量级，如挡土墙、堤坝、大块基础等。三、课

2、程研究的对象材料力学以研究单个杆件为主弹性力学研究杆件（更精确） 、板、壳、及块体（挡土墙）等非杆状结构结构力学研究平面杆件结构四、课程的任务1研究结构的组成规律， 以保证在荷载作用下结构各部分不致发生相对运动。探讨结构的合理形式，以便能有效地利用材料，充分发挥其性能。2计算由荷载、 温度变化、 支座沉降等因素在结构各部分所产生的内力，为结构的强度计算提供依据，以保证结构满足安全和经济的要求。3计算由上述各因素所引起的变形和位移，为结构的刚度计算提供依据，以保证结构在使用过程中不致发生过大变形，从而保证结构满足耐久性的要求。1-2 结构计算简图一、计算简图的概念：将一个具体的工程结构用一个简化

3、的受力图形来表示。选择计算简图时，要它能反映工程结构物的如下特征： 1 受力特性（荷载的大小、方向、作用位置） 2 几何特性（构件的轴线、形状、长度） 3 支承特性（支座的约束反力性质、杆件连接形式）二、结构计算简图的简化原则1计算简图要尽可能反映实际结构的主要受力和变形特点，使计算结果安全可靠；2略去次要因素，便于分析和计算。三、结构计算简图的几个简化要点1实际工程结构的简化：由空间向平面简化2杆件的简化：以杆件的轴线代替杆件3结点的简化：杆件之间的连接由理想结点来代替（1）铰结点：铰结点所连各杆端可独自绕铰心自由转动，即各杆端之间的夹角可任意改变。3 不存在结点对杆的转动约束，即由于转动在

4、杆端不会产生力矩，也不会传递力矩，只能传递轴力和剪力，一般用小圆圈表示。（2）刚结点：结点对与之相连的各杆件的转动有约束作用，转动时各杆间的夹角保持不变，杆端除产生轴力和剪力外， 还产生弯矩， 同时某杆件上的弯矩也可以通过结点传给其它杆件。（3）组合结点（半铰）：刚结点与铰结点的组合体。4. 支座的简化：以理想支座代替结构与其支承物（一般是大地）之间的连结（1）可动铰支座：又称活动铰支座、链杆支座、辊轴支座，允许沿支座链杆垂直方向的微小移动。沿支座链杆方向产生一个约束力。（2）固定铰支座：简称铰支座， 允许杆件饶固定铰铰心有微小转动。过铰心产生任意方向的约束力（分解成水平和竖直方向的两个力）。

5、如预制柱插入杯形基础，四周用沥青麻丝填实。（3）固定支座：不允许有任何方向的移动和转动，产生水平、竖直及限制转动的约束力。（4）定向支座： 又称滑动支座，允许杆件在一个方向上滑动，限制在另一个方向的运动和转动，提供两个约束力。四、结构计算简图示例1-3 平面杆件结构和荷载的分类一、平面杆件结构的分类（一）按结构的受力特点分类1梁：是一种受弯构件，轴线常为一直线（水平或斜向），可以是单跨梁，也可以是多跨连续梁，其支座可以是铰支座、可动铰支座，也可以是固定支座。2刚架：由梁和柱组成，具有刚结点。刚架杆件以受弯为主，所以又叫梁式构件。各杆会产生弯矩、剪力、轴力，但以弯矩为主要内力。3桁架：由若干直杆

6、在两端用铰结点连接构成。桁架杆件主要承受轴向变形，是拉压构件。支座常为固定铰支座或可动铰支座，当荷载只作用于桁架结点上时，各杆只产生轴力。4组合结构：由梁式构件和拉压构件构成。即结构中部分是链杆，部分是梁或刚架，在荷载作用下，链杆中往往只产生轴力，而梁或刚架部分则同时还存在弯矩与剪力，5拱：一般由曲杆构成，在竖向荷载作用下有水平支座反力。拱内不仅存在剪力、弯矩，而且还存在轴力。（二）按几何组成分类1静定结构：由静力平衡条件求解2超静定结构：由静力平衡条件和结构的变形几何条件共同求出。二、荷载的分类荷载是主动作用在结构上的外力，如结构自重、人群、水压力、风压力等。（一）按作用范围分类1. 分布荷

7、载：体荷载面荷载线荷载（均布、非均布）2. 集中荷载：如吊车轮压、汽车荷载等（二）按作用时间分类1. 恒载：永久作用在结构上。如结构自重、永久设备重量。4 2. 活载：暂时作用在结构上。如人群、风、雪及车辆、吊车、施工荷载等。（三）按作用位置的变化情况分类1固定荷载：作用位置固定不变的荷载，如所有恒载、屋楼面均布活荷载、风载、雪载等。2移动荷载：在荷载作用期间，其位置不断变化的荷载，如吊车荷载、火车、汽车等。（四）按作用性质分类1 静力荷载：荷载不变化或变化缓慢， 不会是结构产生显著的加速度，可忽略惯性力的影响。2动力荷载： 荷载（大小、方向、作用线）随时间迅速变化，使结构发生不容忽视的惯性力

8、。例如锤头冲击锻坯时的冲击荷载、地震作用等。1-4 结构力学的学习方法一、课程定位：土建工程专业的一门主要技术基础课，在专业学习中有承上启下的作用二、学习方法1注意理论联系实际，为后续专业课的学习打基础2注意掌握分析方法与解题思路3注意对基本概念和原理的理解，多做习题第二章平面体系的几何组成分析2-1 概述一、研究体系几何组成的目的1. 前提条件：不考虑结构受力后由于材料的应变而产生的微小变形，即把组成结构的每根杆件都看作完全不变形的刚性杆件。2. 几何不变体系：在荷载作用下能保持其几何形状和位置都不改变的体系。几何可变体系：在荷载作用下不能保持其几何形状和位置都不改变的体系。注意：建筑结构必

9、须是几何不变的。3研究体系几何组成的目的（1）研究几何不变体系的组成规律，用以判定一结构体系是否可作为结构使用；（2）明确结构各部分在几何组成上的相互关系，从而选择简便合理的计算顺序；（3）判定结构是静定结构还是超静定结构，以便选择正确的结构计算方法。二、相关概念1刚片：假想的一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。注： （1）在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。地基基础也可视为一个大刚片。（2）刚片中任意两点间的距离保持不变，所以可由刚片中的一条直线代表刚片。2. 自由度（1）自由度的概念：体系运动时，用以确定体系在平面内位置

10、所需的独立坐标数。 （2）一个点：在平面内运动完全不受限制的一个点有 2个自由度。一个刚片：在平面内运动完全不受限制的一个刚片有 3个自由度。注：由以上分析可见，凡体系的自由度大于零，则是可以发生运动的，位置是可以改变的，即都是几何可变体系。5 3. 约束（1）定义：又称联系， 是体系中构件之间或体系与基础之间的联结装置。限制了体系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少。也就是说约束，是使体系自由度数减少的装置。（2）约束的类型：链杆、铰结点、刚结点（图1）链杆：一根单链杆或一个可动铰（一根支座链杆）具有个约束，如图（a） 。单铰结点：一个单铰或一个固定铰支座（两个支座链杆）具有2 个约束

11、, 如图（ b） 。单刚结点：一个单刚结点或一个固定支座具有3 个约束，如图（ c） 。单约束：连接两个物体的约束叫单约束。复约束：连接 3 个（含 3 个）以上物体的约束叫复约束。1）复铰结点：若一个复铰上连接了N个刚片，则该复铰具有2(N-1) 个约束，等于 (N-1) 个单铰的作用。2）复刚结点：若一个复刚结点上连接了N个刚片，则该复刚结点具有3(N-1) 个约束，等于(N-1) 个单刚结点的作用。（3）必要约束：使体系自由度数减少为零所需的最少约束。多余约束：体系上约束数目大于体系的自由度数目，则其差值就是多余约束。4. 实铰与虚铰（1）实铰的概念：由两根直接相连接的链杆构成。（2）虚

12、铰的概念： 虚铰是由不直接相连接的两根链杆构成的。虚铰的两根链杆的杆轴可以平行、交叉，或延长线交于一点。（3）虚铰的作用：当两个刚片是由有交汇点的虚铰相连时，两个刚片绕该交点（瞬时中心，简称瞬心）作相对转动。从微小运动角度考虑，虚铰的作用相当于在瞬时中心的一个实铰的作用。三、平面体系的自由度计算1. 体系与基础相连时的自由度计算公式：W= 3m （3g + 2j + r ）注：支座链杆数是把所有的支座约束全部转化为链杆约束所得到的。2. 体系不与基础相连时的自由度计算公式体系不以基础相连，则支座约束r =0，体系对基础有3 个自由度，仅研究体系本身的内部可变度 V，可得体系自由度的计算公式为：

13、W = V+3 得V= W 3=3m（3g + 2j） 3 例 1. 求图示多跨梁的自由度。解： W= 3m （3g2j r ）=33（224）=1 1236 因 W0，体系是几何可变的。例 2. 求图示不与基础相连体系的自由度。解： 体系内部可变度 V = 3m（ 3g + 2j ）3=37293=0 故体系几何不变。3. 体系自由度的讨论（1）W0 ，自由度数目 约束数目，体系几何可变（2）W=0 ，具有使体系几何不变所需的最少约束（3）W0 ，自由度数目 约束数目，几何常变；3）0W，体系自由度 约束数目，超静定次数 = W 。二、基本结构的建立1判断超静定次数， 去掉多余约束用多余未知

14、力代替，使原结构变成静定结构即为原超静定结构的基本结构。去掉多余约束的方式一般有以下几种：(1) 去掉一根支座链杆或切断一根链杆等于去掉一个约束，图1。(2) 去掉一个铰支座或拆去联结两刚片的单铰等于去掉两个约束，图2。(3) 将固定端支座改成铰支座，或将刚性联结改成单铰联结，等于去掉一个约束，图3。(4) 去掉一个固定端支座或切开刚性联结等于去掉三个约束，图4。58 2注意（1）去掉多余约束的方式可以不同，但去掉多余约束的数目是相同的。（2）去掉多余约束时， 要把全部多余约束都去掉， 但不要把原结构拆成几何可变体系（包括瞬变） 。6-4 力法典型方程图示一个三次超静定刚架。现去掉固定支座B，

15、加上相应的多余未知力X1、X2和 X3，便得到图 (b) 所示的基本结构。由位移条件可知，基本结构在外荷载和多余未知力X1、X2和 X3共同作用下， B处的水平位移1、竖向位移2和角位移3即分别沿 X1、X2和 X3方向的位移都应等于零，即10；20；30 其物理意义是：基本结构在全部多余未知力和已知荷载作用下，沿着每个多余未知力方向的位移，应与原结构相应的位移相等。013132121111PXXX023232221212PXXX59 033332321313PXXX对于 n 次超静定结构有n 个多余约束，也就是有n 个多余未知力 X1，X2， Xn，且在n 个多余约束处有n 个已知的位移条件

16、，故可建立n 个方程，当原结构在荷载作用下各多余约束处的位移为零时，有0112121111PnnXXX02211iPniniiiXXX02211nPnnnnnnXXX上式为力法方程的一般形式，常称为力法典型方程。式中：ii主系数，恒大于零，由iM 图自乘求得；ij副系数，可正可负可为零，由iM 和jM图乘求得，根据位移互等定理有jiij；iP自由项，可正可负可为零，由iM 和PM图乘求得。6-5 力法的计算步骤和举例一、力法的计算步骤1选取基本结构。 确定原结构的超静定次数， 去掉所有的多余约束代之以相应的多余未知力iX，从而得到基本结构。2建立力法方程。 根据基本结构在多余未知力和荷载共同作

17、用下，沿多余未知力方向的位移应与原结构中相应的位移具有相同的条件，建立力法方程。3 计算系数和自由项。 首先作基本结构在荷载和各单位未知力分别单独作用在基本结构上的弯矩图PM和iM 或写出内力表达式，然后按求位移的方法计算系数和自由项。4求多余未知力。将计算的系数和自由项代入力法方程，求解得各多余未知力iX。5绘制内力图。求出多余未知力后，按分析静定结构的方法，绘制原结构最后内力图。最后弯矩图也可以利用已作出的基本结构的单位弯矩图和荷载弯矩图按叠加求得。二、计算举例例 1. 作图(a) 所示单跨超静定梁的内力图。已知梁的EI、EA均为常数。解：(1) 选取基本结构原结构是三次超静定梁，去掉支座

18、B 的固定端约束，并代之以相应的多余未知力 X1、X2和 X3，得到图 (b) 所示的悬臂梁作为基本结构。(2) 建立力法方程根据原结构支座 B处位移为零的条件，可以建立如下力法方程01313212111PXXX02323222121PXXX60 03333232131PXXX(3) 计算系数和自由项分别作基本结构的荷载弯矩图PM图和单位弯矩图1M图、2M图、3M图，如图(c) 、(d) 、(e) 、(f) 所示，利用图乘法求得力法方程中各系数和自由项分别为EIl3311EIl22EAl33EIl222112031130322303PEIqlP841EIqlP632(4) 求多余未知力将以上各

19、系数和自由项代入力法方程，得解得(5) 作内力图 作 M图：根据叠加公式PMXMXMXMM332211 作剪力图：画 AB梁的受力图如图所示。由0AM得2qlFQBA由0yF得2qlFQAB因为 AB梁受到均匀分布荷载，剪力图应为斜直线，如图(h) 所示。例 2. 作图(a) 所示连续梁的内力图。 EI 为常数。解：(1) 选取基本结构此结构为一次超静定梁。将B 点截面用铰来代替，以相应的多余未知力 X1代替原约束的作用，其基本结构如图(b) 所示。(2) 建立力法方程位移条件：铰B 两侧截面的相对转角应等于原结构B 点两侧截面的相对转角。由于原结构的实际变形是处处连续的，显然同一截面两侧不可

20、能有相对转动或移动，故位移条件为B点两侧截面相对转角等于零。由位移条件建立力法方程如下3241223123XX0328X +X026X0llqlEIEIEIllqlEIEIEIlEA212311X,X,X0212qlql61 01111PX(3) 计算系数和自由项分别作基本结构的荷载弯矩图PM图和单位弯矩图1M图，如图(c) 、(d) 所示。利用图乘法求得系数和自由项分别为EIl3211EIlqlPP482321(4) 求多余未知力将以上系数和自由项代入力法方程，得32231lqlPX(5) 作内力图 根据叠加原理作弯矩图，如图(e) 所示。 根据弯矩图和荷载作剪力图，如图(f) 所示。例 3

21、. 作图(a) 所示超静定刚架的内力图。已知刚架各杆EI 均为常数。解：(1) 选取基本结构此结构为二次超静定刚架，去掉C 支座约束，代之以相应的多余未知力 X1、X2得如图 (b) 所示悬臂刚架作为基本结构。(2) 建立力法方程原结构 C支座处无竖向位移和水平位移，则其力法方程为01212111PXX02222121PXX(3) 计算系数和自由项分别作基本结构的荷载弯矩图PM图和单位弯矩图1M图、2M图，如图 (c) 、(d) 、(e) 所示。利用图乘法计算各系数和自由项分别为EIa34311EIa3322EIa23211262 EIqaP8541EIqaP442(4) 求多余未知力0852

22、3442313EIqaXEIaXEIa043242313EIqaXEIaXEIa731qaX2832qaX(5) 作内力图 根据叠加原理作弯矩图，如图(f) 所示。 根据弯矩图和荷载作剪力图，如图(g) 所示。 根据剪力图和荷载利用结点平衡作轴力图，如图 (h) 所示。例 4. 求图(a) 所示超静定桁架各杆件的内力。已知各杆EA相同。解：(1) 选取基本结构此结构为一次超静定桁架，切断下弦杆EF代之以相应的多余未知力 X1，得到图 (b) 所示静定桁架作为基本结构。(2) 建立力法方程按照原结构变形连续的条件，基本结构上与X1相应的位移，即切口两侧截面沿杆轴方向的相对位移应为零，故力法方程为

23、01111PX(3) 计算系数和自由项基本结构分别受单位力X1=1 和荷载作用引起的各杆内力列入下表，11、P1的计算也已在该表中示出。由表可得EAlFEAN2712111EAlFFEANNPP121511163 (4) 求多余未知力将以上系数和自由项代入力法方程，得(5) 计算各杆内力根据叠加原理，各杆内力为NPNNFXFF11由此式计算得到各杆轴力，结果列入表的最后一栏。例 5. 计算图 (a) 所示排架柱的内力，并作出弯矩图。解：(1) 选取基本结构此排架是一次超静定结构，切断横梁代之以多余未知力X1得到基本结构如图 (b) 所示。(2) 建立力法方程01111PX(3) 计算系数和自由

24、项分别作基本结构的荷载弯矩图PM图和单位弯矩图1M图如图 (c) 、(d) 所示。利用图乘法计算系数和自由项分别如下EIEIEI335223183286218312326221322322221211EIEIEIP317602318328062183123220621312322022111(4) 计算多余未知力将系数和自由项代入力法方程，得解得 X1=-5kN (5) 作弯矩图11271215045XEAEAXkN13521760033XEIEI64 最后弯矩图如图 (e) 所示。6-6 超静定结构的位移计算一、力法计算的实质用力法计算超静定结构，是根据基本结构在荷载作用和全部多余未知力共同

25、作用下内力和位移应与原结构完全一致这个条件来进行的。也就是说，在荷载及多余未知力共同作用下的基本结构与在荷载作用下的原超静定结构是完全相同的。二、超静定结构的位移计算计算超静定结构的位移时可以用原超静定结构已经求出的弯矩图与静定的基本结构的单位荷载弯矩图用图乘法求位移，具体步骤是：1. 绘出原超静定结构的弯矩图( 即pM图)；2. 选择一个最简单的基本结构作为虚拟状态，并绘出相应的弯矩图( 即M图) ；3. 按图乘法求位移。例 6. 试求图 (a) 所示超静定刚架横梁BC中点 D的竖向位移DV。解：绘出刚架的弯矩图如图 (b) 所示，再将此图改成易于图乘的简单的图形组合，如图(c) 所示。采用

26、悬臂刚架作为基本结构，并绘出单位荷载作用于D点的弯矩图如图 (d) 所示。因此6-7 超静定结构内力图的校核校核应当从两方面进行，一是静力平衡条件的校核，二是位移条件的校核。一、静力平衡条件的校核取结构的整体或取其中的任何局部作为隔离体考察其受力是否满足静力平衡条件。如不满足，则说明计算有误。现举例如下：22241213172(43282123181)23033( )160DVqaaaqaaaEIqaaaqaEI65 例 7. 对例 19.3 所示结构进行静力平衡条件的校核。解：对于例 19.3 所示刚架，取立柱顶端的BC杆以及 AB杆绘出其受力图，如图 (a) 、(b) 所示。现校核此两杆是

27、否满足静力平衡条件。(1) BC 杆：(2) AB 杆：以上都满足静力平衡条件。例 8. 对例 6 所示刚架进行位移条件的校核。解：绘出刚架受力图及弯矩图如图(a) 、(b) 所示。原结构在 C截面没有角位移。现在来求C截面的角位移C。取基本结构如图 (c) 所示，并绘出单位荷载的弯矩图M图。则0314514451412121232322157213121512141333222qaqaqaEIqaaaqaaqaEIC证明满足位移条件。6-8 对称性的利用一、对称性的特点1. 结构对称（1）结构的几何形状和支承情况对称于某一几何轴线；（2）杆件截面形状、尺寸和材料的物理性质( 弹性模量等 )也

28、关于此轴对称。3302828340773107214BXqaqaYqaqaqaaMqaaqaqa223302828440773110281428BXqaqaYqaqaMqaaqaqa66 若将结构沿这个轴对折后，结构在轴线的两边部分将完全重合，该轴线称为结构的对称轴。2. 荷载对称：任意荷载 = 正对称荷载 + 反对称荷载二、利用对称性简化计算要点1. 选用对称的基本结构沿对称轴切开建立基本结构，得到正对称和反对称多余未知力。图(a) 所示为三次超静定刚架，建立图(b) 所示基本结构，作单位弯矩图如图(c) 、(d) 、(e) 所示。由图可见，正对称多余未知力的单位弯矩图M1和 M2是正对称的

29、，而反对称多余未知力的单位弯矩图M3是反对称的。01313212111PXXX02323222121PXXX其中0322313312. 对称结构在正对称荷载作用下， 只有正对称的多余未知力存在，而反对称多余未知力为零。0033XP3. 对称结构在反对称荷载作用下， 只有反对称的多余未知力存在，而正对称多余未知力为零。1P例 1. 利用对称性作图 (a) 所示单跨超静定梁的内力图。梁的 EI 为常数。解：(1) 取半结构及其基本结构由于结构和荷载67 均对称，可从跨中截面C处切开，加滑动支座取半结构如图(b) 所示。又由于两端固定的梁，在垂直于梁轴的荷载作用下，轴向力为零。于是得到图(c) 所示

30、基本结构。(2) 建立力法方程由图 (b) 所示半结构可见， C支座处无转角，据该位移条件可建立力法方程为01111PX(3) 计算系数和自由项EIl211EIqlqllEIP481812311321(4) 求多余未知力2421qlX(5) 作内力图例 2. 试计算图(a) 所示刚架，并绘出内力图。解：(1) 选取基本结构此结构是三次超静定对称刚架，取对称形式基本结构如图(b) 所示，X1、X2为对称多余未知力， X3为反对称多余未知力。(2) 建立力法方程根据前面分析，力法方程将分为两组，即01212111PXX02222121PXX03333PX(3) 计算系数和自由项EI7211EI82

31、2EI6033EI182112EIP4861EIP1802EIP5.5263(4) 求多余未知力X1=2.57kN ，X2=16.72kNm，X3=-8.78kN (5) 作内力图最后弯矩图如图(g) 所示，剪力图和轴力图分别如图 (h) 、(i) 所示。例 3. 作图(a) 所示三次超静定刚架的弯矩图。已知各杆EI 均为常数。68 x1x2x1x2EIEI解：(1) 取半结构及其基本结构 分解荷载简化计算，首先将图(a) 所示荷载分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，分别如图 (b) 、(c) 所示。 取半刚架由于图(c) 是对称结构在反对称荷载作用下，故从对称轴截面切开，应加可动铰支座得半结构

32、如图(d) 所示。 选取基本结构半刚架为一次超静定结构，去掉可动铰支座并代之以多余未知力X1得图 (e) 所示悬臂刚架作为基本结构。(2) 建立力法方程由图(d) 所示半结构可见， E支座处无竖向位移，于是可得力法方程为01111PX(3) 计算系数和自由项EI35611EIP801(4) 计算多余未知力 X1=4.29kN(5) 作弯矩图据叠加原理作ACE半刚架弯矩图，如图 (h) 所示，其中 BDE半刚架弯矩图根据反对称荷载作用下弯矩图应是反对称的关系得出。6-9 温度改变时超静定结构的计算一、温度变化对结构的影响1. 静定结构材料热胀冷缩引起结构产生变形和位移，但不产生内力。2. 超静定

33、结构材料热胀冷缩引起结构产生变形和位移，同时产生反力和内力。二、内力计算01212111tXX其中it由温度变化引起基本结构沿iX方向产生的位移02222121tXXMNithtlFt0最后弯矩值2211XMXMM（温度变化对基本结构不产生内力）三、位移计算69 计算温度变化时超静定结构的位移，等同于求基本结构在内力和温度变化两种情况下产生位移的代数和，即用原超静定结构已经求出的弯矩图与静定的基本结构的单位荷载弯矩图用图乘法求内力产生的位移， 并求出静定的基本结构由温度变化所产生的位移。具体步骤是：1. 绘出原超静定结构的弯矩图( 即pM图)；2. 选择一个最简单的基本结构作为虚拟状态，并绘出

34、相应的单位弯矩图( 即M图) 和单位轴力图（即NF图） ；3. 按图乘法求内力（弯矩）所产生的位移，用MNhtlFt0求温度变化所产生的同一截面位移。例 6.10 P158 6-10 支座移动时超静定结构的计算一、支座移动对结构的影响1. 静定对称产生刚体位移，没有变形，也不产生内力。2. 超静定结构结构产生变形和位移，同时产生反力和内力。二、内力计算基本原理和解题步骤与荷载作用、温度变化的情况相同，只是力法方程中自由项的计算有所不同，它表示基本结构由于支座移动在多余约束处沿多余未知力iX方向所引起的位移iC，可用 4.6 节所述方法求得。另外还应注意力法方程等号右侧为基本结构在拆除约束处沿多

35、余未知力iX方向的位移条件，也就是原结构在多余未知力iX方向的已知实际位移值i，当i与多余未知力方向一致时取正值，否则取负值。例 1. 图(a) 所示超静定梁，设支座A发生转角，求作梁的弯矩图。已知梁的EI 为常数。解：(1) 选取基本结构原结构为一次超静定梁，选取图(b) 所示悬臂梁为基本结构。(2) 建立力法方程原结构在 B处无竖向位移，可建立力法方程如下01111CX(3) 计算系数和自由项作单位弯矩图 M1如图(c) 所示，可由图乘法求得EIl3311llCRiiC1(4) 求多余未知力将11、iC代入力法方程得(5) 作弯矩图由于支座移动在静定的基本结构中不引起内力，故11XMM31

36、12033lXlEIEIXlg70 例 2. 图(a) 所示为一次超静定刚架，梁、柱截面尺寸如图(a) 所注。 E=20GPa 。已知支座 D的移动分别为cm8DH，cm4DV。试计算刚架由此而引起的内力，并画出内力图。解： （1）取支座 A的水平反力为多余未知力，则力法方程为：01111CX（2）求系数和自由项2111144324EIEIm08.0cm8811C（3）求多余未知力将11、iC代入方程得由 X1的计算式可见，在支座移动的情况下，多余未知力与刚架抗弯刚度的绝对值有关。代入已知数据可得 X1=-16.7kN(4) 作内力图由11XMM可绘出弯矩图，进而绘出剪力图、轴力图。6-11

37、超静定结构的特性与静定结构相比较，超静定结构具有以下特性：1. 超静定结构具有多余联系（约束） ，具有更强的防护能力；2. 超静定结构的内力和变形分布比较均匀，峰值较小， 具有更高的刚度， 使截面设计更经济；3. 在超静定结构中，由于温度变化、支座移动、支座误差、材料收缩等因素均可引起内力，但荷载作用下的内力仅与各杆的相对刚度有关，而温度变化、支座移动时的内力与各杆的绝对刚度有关，因此，为了提高结构抵抗温度变化、支座移动的能力，依靠增大截面尺寸并不是有效措施。第七章位移法112330ABBAMM XEIEIMlllM1112123241440.08()0.080,324144XXEIEIEIE

38、I71 7-1 位移法的基本概念一、位移法与力法的区别1. 主要区别是基本未知量不同：力法是取结构中的多余未知力作为基本未知量；位移法是以结点位移 ( 线位移和角位移 ) 作为基本未知量。2. 建立的基本方程不同：力法是由变形协调条件建立位移方程；位移法是由平衡条件建立的平衡方程。注：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而位移法的基本未知量与超静定次数无关。二、位移法的基本假定1. 刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移；2. 各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件的轴向变形；3. 结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，及结点线位移垂直于杆轴发生。三、位移法的解题思路1

39、. 确定基本未知量为B结点角位移 Z1，在 B点增加附加刚臂，建立基本结构。附加刚臂的作用限制结点转动，但不限制移动2. 增加附加刚臂后， B 点角位移为零，基本结构可看作两个单跨超静定梁的组合体，先求出基本结构单独在荷载作用下的内力；3. 放松附加刚臂，使B结点产生角位移 Z1，求出基本结构单独在Z1作用下的内力；4. 叠加以上两步，使结点平衡，即得位移法方程；5. 解方程求出基本未知量，并求出各杆内力，绘制内力图。注：杆端内力正负号规定（1） 杆端弯矩对杆端以顺时针转动为正，逆时针为负； 对支座和结点而言， 以逆时针为正；（2） 杆端剪力以使杆件顺时针转动为正。7-2 位移法的基本未知量与

40、基本结构一、基本未知量的确定72 1. 结点角位移的确定：结点角位移的数目 = 刚结点的数目2. 独立的结点线位移的确定（1）对于简单的结点线位移，可观察判断确定。（2）对于复杂刚架结点线位移，可以用铰结体系自由度来确定，即把刚结点都改为铰结点，固定端支座都改为铰支座，所得体系的自由度数为独立结点线位移的数目。注意：.“铰化体系法”不适用于具有支杆平行于杆轴的可动铰支座或滑动支座的刚架，也不适用于含有自由端杆件的情况。.W0 时，W的数目即为独立的结点线位移数目；W=0时，若体系几何不变，则无结点线位移，若体系几何可变（瞬变） ，可以通过增加链杆使其几何不变，所需增加的链杆就是原结构独立的结点

41、线位移。（3） 附加链杆法：在结点处增加附加链杆以阻止全部可能发生的线位移所需的最少链杆数即为独立的结点线位移。二、位移法的基本结构1. 位移法的基本结构是若干个单跨超静定梁组成的。2. 基本结构的建立在产生角位移的刚结点处增加附加刚臂阻止结点转动，在产生线位移的结点处增加附加链杆阻止其线位移，得到单跨超静定梁的组合体即为位移法的基本结构。在结点 F 加一个附加支杆，这时结点 F不能移动。 F、B二结点不移动，结点E也就不移动了。 E、A 二结点不移动，结点D也就不移动了。可见，只要加一个支杆，一排结点就都不移动了，不管梁是水平的，还是斜的。化为铰结体系( 未画出 ) 不难看出，需加入两根附加

42、支杆才能使其形成几何不变体系。该结构为一阶形梁，若用位移法计算，应将变截面处取为一个结点。铰结体系如图 (b) 所示，容易看出结点 C能上下移动，需加入一附加支杆(图 (c)。此外，还应在结点C处加入一附加刚臂。73 7-3 等截面直杆的计算位移法的基本结构是单跨超静定梁的组合体，单跨超静定梁是位移法的计算单元。一、固端力（杆端力与荷载之间的关系）1. 概念由荷载作用产生的杆端力叫固端力，包括固端弯矩和固端剪力，是只与荷载的形式有关的常数，故又叫载常数，可由力法计算求得，见表7.1 。2. 正负号规定弯矩和剪力均以使杆端顺时针转动为正。二、刚度方程（杆端力与杆端位移之间的关系）1. 概念杆端力

43、与杆端位移之间的关系式称为杆件的刚度方程。2. 推导图(a) 所示两端固定梁AB ，A、B端分别发生转角A、B，两端产生垂直于梁轴的相对侧移，其中 AB 与水平方向的夹角称为弦转角，用AB或BA表示。以上各种位移的正、 负号规定为： 杆端转角A、B以及弦转角都以顺时针转角为正； 线位移的正、负号应与弦转角AB一致，即右端下沉、左端上升为正。图中所画各种位移均为正。对于图 (a) 所示两端固定梁：liiiMBAAB624，liiiMBABA642对于图 (b) 一端固定另端铰支梁：liiMAAB33，0BAM对于图 (c) 一端固定另端定向支承梁，其刚度方程为：AABiM，ABAiM3. 刚度系

44、数刚度方程中杆端位移的系数称为刚度系数，是只与杆件的几何尺寸和材料性质有关的常数，故又叫形常数，见表7.1 。三、转角位移方程1. 概念在位移法计算过程中，需要建立各等截面直杆的杆端力(杆端弯矩和杆端剪力 ) 与杆端位移、杆上荷载的关系式，通常称这种关系式为转角位移方程。2. 表达式：转角位移方程 = 刚度方程 + 固端力7-4 位移法典型方程一、位移法求解超静定结构的两种方法1. 直接平衡法：确定结点位移未知量后，由表7.1 写出各杆的杆端转角位移方程，再列出平衡方程求解。2. 基本体系法 : 确定结点位移未知量后，由表7.1 作出基本结构的单位弯矩图和荷载作用下的弯矩图，由此求得系数和常数

45、项，再列出位移法典型方程求解。二、位移法用典型方程求解的步骤74 1. 确定基本未知量，建立基本结构；2. 建立位移法典型方程00112121111PnnRZrZrZrR00222221212PnnRZrZrZrR002211nPnnnnnnRZrZrZrR3. 求系数和自由项；4. 解方程求未知量；5. 绘制内力图及校核。7-5 用位移法计算连续梁和无侧移刚架例 1. 求图(a) 所示连续梁的弯矩图。解: （1）确定基本未知量，建立基本结构。结构有两个刚结点B和 C ，无结点线位移。其位移法基本结构如图(b) 所示。（2）建立位移法典型方程基本结构受荷载及结点转角Z1、Z2共同作用，根据基本

46、结构附加刚臂上的反力矩等于零这一条件，按叠加法可建立位移法典型方程如下：01212111PRZrZr02222121PRZrZr（3）求系数和自由项iiir106411，irr32112iiir93622mkNRP6080201mkNRP06.1994.60802（4）代入方程求未知量iZ37.71，iZ57.42（5）绘制弯矩图PMZMZMM221175 例 2. 用位移法计算图 (a) 所示结构，并作内力图。已知各杆EI 为常数。解： （1）在结点 B加一刚臂得基本结构 ( 图(b) ，只有一个未知量Z1。（2）位移法典型方程为01111PRZr（3）求系数和自由项iiir73411mkN

47、RP354051（4）代入方程求未知量iZ51（5）绘制弯矩图PMZMM11（6）利用弯矩图绘制剪力图和轴力图例 3. 用位移法计算图 (a) 所示结构，并作弯矩图。已知各杆长度均为l ，EI 为常数。解： （1）基本结构如图 (b) 所示。（2）位移法方程为01111PRZr（3）求系数和自由项iiiir1143411如图(d) 所示，结点D 被刚臂锁住，加外力偶后不能转动，所以各杆均无弯曲变形，因此无弯矩图，即 MP=0。mRP1（4）代入方程求未知量imZ111（5）绘制弯矩图PMZMM11注： . 当结点只受外力偶作用时，mRP1，且外力偶为顺时针时m取负号，逆时针时m取正号。76 .

48、 当结点上除受外力偶作用外，各杆上还有外力作用时，mMRP固端1，外力偶为顺时针时， m取负号；反之， m取正号。例 4. 绘图(a) 所示结构的弯矩图。 EI=常数。解： （1）基本结构如图 (b) 所示。由于超静定结构的内力只与各杆的刚度比值有关，而与刚度绝对值大小无关。因此，求内力时刚度大小可以任意给定，只要保持其比值不变即可。这里为了简单，设EI=1，求得各杆的线刚度如图 (b) 括号中数字所示。（2）位移法方程为01111PRZr（3）求系数和自由项8.118 .011rmkNmMRP182021固端（4）代入方程求未知量101Z（5）绘制弯矩图例 5. 用位移法计算图 (a) 所示

49、刚架，并绘 M图。解： （1）此刚架具有两个刚结点B和 C，无结点线位移，其基本结构如图(b) 所示。（2）列位移法典型方程：01212111PRZrZr02222121PRZrZr（3）求各系数和自由项iiir128411，irr42112iiiir1884622mkNRP67.3667.26101mkNRP33.33067.262（4）代入方程求未知量iZ23.31，iZ53.02（5）绘制弯矩图77 PMZMZMM22117-6 用位移法计算有侧移刚架例 1. 求图(a) 所示铰接排架的弯矩图。解： （1）只需加一附加支杆，得基本结构如图(b) 所示，有一个基本未知量Z1。（2）位移法方

50、程为01111PRZr（3）求系数和自由项2211123lilirqlRP431（4）代入方程求未知量iqlZ1631（5）绘制弯矩图例 2. 用位移法计算图 (a) 所示刚架，并绘 M图解： （1）此刚架具有一个独立转角Z1和一个独立线位移 Z2。在结点 C 加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图 (b) 所示的基本结构。（2）建立位移法方程01212111PRZrZr02222121PRZrZr（3）求各系数和自由项iiir73411，irr5 .121121615434122222iiir01PRkNqlRP6030832（4）求未知量iZ87.201，iZ39.97278 （5）绘制弯矩