三角函数知识点归纳自组.pdf

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1、三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为36036090 ,kkk第二象限角的集合为36090360180 ,kkk第三象限角的集合为360180360270 ,kkk第四象限角的集合为360270360360 ,kkk终边在x轴上的角的集合为180 ,kk终边在 y 轴上的角的集合为18090 ,kk终边在坐标轴上的角的集合为90 ,kk(2)终边与角 相同的角可写成 k 360 (kZ)终边与

2、角相同的角的集合为360,kk(3)弧度制1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角弧度制与角度制的换算公式： 360 2弧度； 180 弧度1180弧度，180157.3=57 度 18 分。半径为r的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S，则 lr（弧长公式），2Crl ( 周长公式 ) ，21122Slrr（面积公式） 2 任意角的三角函数定义设 是一个任意角，角的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为22r rxy，那么角的正弦、余弦、正切分别是： sin yr，cos

3、 xr，tan yx（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）三角函数线： sin，cos， tan3特殊角的三角函数值角度函数0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角 a 的弧度0 /6 /4 /3 /2 2/3 3/4 5/6 3/2 2sina 0 1/2 2/2 3/2 1 3/2 2/2 1/2 0 -1 0 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 -1/2 - 2/2 - 3/2 -1 0 1 tana 0 3/3 1 3 - 3 -1 - 3/3 0 0 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式及三角恒等变换A.基础

4、梳理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2 cos2 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）(2)商数关系：sin cos tan . （3）倒数关系：1cottan2诱导公式公式一： sin( 2k)sin ，cos( 2k) cos_ ，tan)2tan(k其中 kZ. 公式二： sin( ) sin_ ，cos( ) cos_ ，tan( )tan . 公式三： sin( )sin ，cos( ) cos_ ，tantan公式四： sin( ) sin_ ，cos( )cos_ ，tantan.公式五： sin2 cos_ ，cos2sin . 公

5、式六： sin2 cos_ ，cos2 sin_ . 诱导公式可概括为k2 的各三角函数值的化简公式口诀：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦) ；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把看成锐角时，根据k2 在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan sin cos 化成正、余弦(2)和积转换法：利用 (sin cos )21 2sin

6、 cos 的关系进行变形、转化（cossin、cossin、cossin三个式子知一可求二）(3)巧用“ 1” 的变换： 1sin2 cos2 = sin2tan4（4）齐次式化切法：已知ktan，则nmkbaknmbanmbatantancossincossin3、三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：coscoscossinsin；coscos cossinsin；sinsincoscossin；sinsincoscos sin；tantantan1tantan（tantantan1tantan） ；tantantan1tantan（tantantan1tantan） 如ooo

7、o40tan20tan340tan20tan；（答案：3）2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin1如 cos2512 cos212cos512cos12的值等于；（答案：54）2222cos2cossin2cos1 12sin升幂公式221cos22cos,1cos22sin降幂公式21cos2cos2，21cos2sin23 、 二 弦 归 一把 两 个 三 角 函 数 的 和 或 差 化 为 一 个 三 角 函 数 ：22sincossinabab，其中tanba（第二种说法 引入辅助角 。asin bcos22ba

8、sin ( )，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tanab确定。 ）4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法常用的方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；1545306045ooooo；问：12sin；12cos；)(；)4(24；)4()4()()(2；等等 . 22 tantan 21tan如121tan,tan,tan5444

9、则 . （答案：322）2 若 cos( )45，cos( )45，且2 ，32 2 ，则 cos2 _，cos2 _. （答案：725， 1）3 已知sincos21,tan,1cos23则tan2；（答案：18）（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名（二弦归一）。如)10tan31(50sinoo；132cos10sin102sin 301022cos103 sin102sin 40 cos40sin80=sin50sin50sin501cos10cos10cos10cos10cos10cos10oooooooo

10、oooooooooo解析：原式（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有 ：；。 有 时 需 要 升 幂 ， 常 用 升 幂 公 式有：； .如对无理式cos1常用升幂化为有理式. （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：coscossinsin=_；sincoscossin=_；_tantan；_tantan1；_tantan；_tantan1；sincos_；2sincos22_；

11、cos1；cos1；tan2；2tan1；sincosab； （其中tan； ）（6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如xysin与xycos的周期是） 。3 会判断三角函数奇偶性4 会求三角函数单调区间5 知道三角函数图像的对称中心，对称轴6 知道sin()yAx，cos()yAx，tan()yAx的简单性质（一）知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的

12、作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0，3,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。2、正弦函数sin()yx xR、余弦函数cos ()yx xR的性质 ：（1）定义域 ：都是 R。（2）值域 ：都是1,1，对sinyx，当22xkkZ时，y取最大值 1；当322xkkZ时，y取最小值 1；对cosyx，当2xkkZ时，y取最大值1，当2xkkZ时，y取最小值 1。（3） 周期性 ：sinyx，cosyx的最小正周期都是2；（4） 奇偶性与对称性：正弦函数sin ()yx xR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；余弦函数c

13、os ()yx xR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ； （正 ( 余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。（5）单调性 ：sin2,222yxkkkZ在上单调递增，在32,222kkkZ单调递减；cosyx在2,2kkkZ上单调递增 , 在2,2kkkZ上单调递减。 特别提醒 ， 别忘了kZ！3、正切函数tanyx的图象和性质 ：（1）定义域：|,2x xkkZ。（2）值域是R，无最大值也无最小值；（3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02kkZ，特别提醒 ：正 ( 余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点

14、，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（4）单调性：正切函数在开区间,22kkkZ内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质图象定义域值域最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数函数性质单调性在2,222kkk上是增函数；在k上是减函数在 2,2kkk上 是增函数；在2,2kkk上是减函数在,22kkk上是增函数对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴 xkk对称中心,02kk无

15、对称轴5、研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质 ，只需将sin()yAx中的x看成sinyx中的x。函数y Asin （x ） （ A0， 0）的性质。（1）定义域： R（2）值域： -A, A（3）周期性：2|T( )sin()f xAx和( )cos()f xAx的最小正周期都是2|T。( )tan()f xAx的最小正周期都是|T。（4）单调性：函数yAsin （x ） （A0，0）的单调增区间可由2k2x 2k2，k z 解得；单调减区间可由2k2x 2k32，kz 解得。在求sin()yAx的单调区间时，要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。如函数23

16、ysin(x)的递减区间是 _（答：解 析 ： y=， 所 以 求y的 递 减 区 间 即 是 求的递增区间，由得，所以 y 的递减区间是四、函数sinyAx的图像和三角函数模型的简单应用一、知识要点1、 几个物理量 ： 振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：2、 函数sin()yAx表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定. y=sinxXXXxxx 横坐标伸 （缩）1倍左（右）平移纵坐标伸（缩） A倍xAysiny=sinx 左（右）平移纵坐标伸（缩） A倍横坐标伸（缩）1倍左（右）平移横坐标伸 （缩）倍横坐标伸 （缩）1倍纵坐标伸（缩） A倍横坐标伸( 缩

17、)1倍纵坐标伸（缩） A倍左（右）平移左（右）平移纵坐标伸（缩） A倍函 数sinyx， 当1xx时 ， 取 得 最 小 值 为miny； 当2xx时 ， 取 得 最 大 值 为maxy， 则m axm i n12yy，maxmin12yy，21122xxxx3、函数sin()yAx图象的画法 ：“五点法”设Xx，令X0，3,222求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。4、函数y sinx的图象经变换可得到sin()yAxk0的图象先平移后伸缩sinyx 的图象向左 (0) 或向右 (0)平移个单位长度得sin()yx的图象()横坐标伸长 (0

18、1)1到原来的纵坐标不变得sin()yx的图象()AAA纵坐标伸长 (1) 或缩短 (00）或向右（0）平移|个 单 位得sinyx的图象；函数sinyx图象的纵坐标不变，横坐标变 为 原 来 的1，得到函数sinyx的图象；函数sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数sin()yAx的图象；函数sin()yAx图象向上（0b）或向下（0b）平移|b个单位，得到sinyAxb的图象。要特别注意 ，若由sinyx得到sinyx的图象，则向左或向右平移应平移|个单位，如要得到函数ysin(2x3 ) 的图象，只需将函数ysin2x的图象 ( )(A) 向左平移3个单位 (B) 向右平移3个单位(C) 向左平移6个单位 (D) 向右平移6个单位6、函数y Acos（x ）和y=Atan（x ）的性质和图象的变换与yAsin （x ）类似。