考研知识点(下册).pdf

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1、SECTION SIX 微分方程一 、基本概念1.常微分方程含有自变量、未知函数及未知函数的某些导数的方程式称为微分方程，而当未知函数是一元函数时就称为常微分方程。2.线性微分方程与非线性微分方程以未知函数和它的各阶导数作为总体是一次的就称为线性微分方程，否则就称为非线性微分方程。3.微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数。4.微分方程的解代人微分方程使之成为恒等式的函数（通常还要求解具有和阶数一样的连续导数，如二阶方程的解应具有连续的二阶导数） 。5.微分方程的通解和特解通解含有数目与微分方程的阶数相同的独立常数， 通解也可以称为一般解； 不含任意常数或任意常数解定后的解称为特解。6

2、微分方程的初始条件能确定通解中的任意常数的条件称为定解条件，初始条件是定解件中最常见的类型，初始条件的形式与方程的阶数有关，一般说n 阶微分方程的初始条件为：,|,.,|,|11(10000nxxnxxxxyyyyyy其中110,.,nyyy是任意给定的常数。二、一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为0),(yyxF或),(yxfy，其中最基本的类型是 变量分离的方程、一阶线性方程和全微分方程。齐次方程 通过变量代换可化为变量可分离的方程，伯努利方程通过变量代换可化为一阶线性方程。除了齐次方程与伯努利方程之外，还有一些一阶方程能通过简单的变量代换化为上述基本类型。现将几种基本类型的解法列表如下：

3、类型通解的求法变 量 可 分 离 的 方 程( ) ( )yf x g y分离变量法：两 边 同 除)0)( yg， 把 变 量 分 离 ， 并 求 积 分cdxxfygdy)()(一阶线性方程)()(xqyxpy相应的齐次方程0)(yxpy1.积分因子法方程两边同乘积分因子dxxpeu)(改写成dxxpdxxpexqye)()()(积分得cdxexqyedxxpdxxp)()()(2.公式法非 齐 次 方 程 的 通 解 为)()()(dxexqceydxxpdxxp相应的齐次方程的通解为dxxpCey)(3.常数变易法先 用 分 离 变 量 法 求 相 应 的 齐 次 方 程 的 通 解d

4、xxpCey)(将 c 改为 c(x) ，然后令dxxpexcy)()(，代人原非齐次方程得)()()(xqexcdxxp，积分求出( )c x全微分方程( ,)( , )0p x y dxQ x y dy并满足yPxQ求原函数法若求得),(yxu使得QdyPdxdu（称),(yxu为QdyPdx的原函数），则通解为Cyxu),(求原函数的方法有以下三种：1.特殊路径积分法：xxyydyyxQdxyxpyxu00),(),(),(02.不定积分法：由),(yxpxu对x积 分 得)(),(),(yCdxyxpyxu对y求导得)(),(yCydxyxpyu，它应等于),(yxQ，由此求出)(yC

5、再积分求出)(yC3. 凑微分法 :dudyyxQdxyxP.),(),(方程类型通解的求法变量代换可 化为 的基 本方程齐次方程)(xyfy令xyu，则uxuy于是原方程可化为uufux)(其通解为( )ln |dudxCf uuxxCxyu变量可分离的方程（0.)(bacbyaxfy0a b令cbyaxu， 则原方程可化为)(ubfau即为变量可分离的方程uaxbyc222111(cybxacybxafy情形 111220abab解线性方程组11122200a xb yca xb yc设其解为),(。yvxu则令yvxu,则原方程可化为vbuaubuafdudv2211属于齐次方程情形 2

6、 11220abab即1212bbaa则211111)(cybxacybxafy令ybxaz111，方程化2111czczfbaz属于变量可积分的方程11za xb y伯努利方程( )( )yp x yq x y令nyz1，原方程可化为(1)( )(1) ( )dzp x zdxq x属于一阶线性方程1yz一 阶线 性方程)()(1yqxypdxdy)()(yqxypdydx（以 y 为自变量， x 为因变量的一阶线性方程）自 变 量 与因 变 量 互换一 阶线 性方程三、可降阶的高阶方程类型通解的求法( )( )nyf x经 n 次积分，得：nnnCxCxCdxdxdxxfy.)(.2211

7、不显含y 的二阶方程),(yxfy令yp，原方程化为p 的未知函数，y为自变量的一阶方程：( ,)pfx p不显含x 的二阶方程),(yyfy令yp，原方程可化为以p为未知函数，y为自变量的一阶方程：),(pyfdydpp四、线性微分方程解得性质与结构这里只限于讨论二阶线性方程， 其结论可推广到更高阶的方程，二阶线性方程的一般形式为( )( )( )yp x yq x yf x（6.1 ）其中 p(x),q(x),f(x)均为连续函数，当右端项0)(xf时，称为二阶线性齐次方程，否则称为非齐次方程。解的性质与结构：1. 若)(),(21xyxy为齐次方程0)()(yxqyxpy（6.2 ）的两

8、个特解，则其线性组合)()(2211xyCxyC仍为（ 6.2 ）的解。特别地，若)()(21xyxy与线性无关 （即)()(21xyxy）（常数） ， 则 （6.2 ）的通解为)()()(2211xyCxyCxy2. 设)()(21xyxy与为非齐次方程（6.1 ）的两个特解，则其差)()(21xyxy为相应齐次方程（ 6.2 ）的特解。3. 设)(*xy为非齐次方程（ 6.1 ）的一个特解，)(xy为齐次方程（6.2 ）的任意特解，则其和)(*xy+)(xy为（6.1 ）的解。特别的，若)(),(21xyxy为 （6.2 ） 的两个线性无关的特解， 则 （6.1 ）的通解为)()()()(

9、2211*xyCxyCxyxy，其中2, 1CC为任意常数。4. 线性方程（ 6.1 ）的通解即所有解。5. （叠加原理）设12( ),( )y xyx分别是方程1( )( )( )yp x yq x yfx，2( )( )( )yp x yq x yfx的 两 个 特解，则12( )( )y xyx为方程12( )( )( )( )yp x yq x yfxfx的特解。五 二阶和某些高阶常系数齐次线性方程欧拉方程（一）二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程的形式为,0qyypy其中 p,q 为常数，其特征方程为02qp依据判别式的符号，其通解有三种形式：（1）042qp，特征方程有两个

10、相异实根21,，通解的形式为xxeCeCxyx12121)(；（2）042qp，特征方程有重根，即21，通解为xexCCxy1)()(21；（3）042qp，特征方程具有共轭复根i，通解为)sincos()(21xCxCexyax（二）n阶常系数齐次线性方程方程的一般形式为0.)2(2)1(1)(ypypypynnnn其中),.2, 1(nipi为常数，相应的特征方程为0.2211nnnnppp特征根与通解的关系同二阶方程的情形相类似. 具体结果是：（1）若n,.,21是n个相异实根，则方程的通解为xnxxneCeCeCxy.)(2121；（2）若0为特征方程的)2(nkk重实根，则方程的通解

11、中含有：xkkexCxCC0).(121；（3）若i为特征方程的)2(nkk重共轭复根， 则方程的通解中含有：xxDxDDxxCxCCekkkkaxsin).(cos).(121121由于我们不能求出一般的三次以上的代数方程的根，也就是说对于三次以上的特征方程一般不能得到其特征根，自然也就不能求出三阶以上常系数齐次线性微分方程的通解，能够求出的只是某些特殊情形（三）欧拉方程形如0.1)1(11)(yayxayxayxnnnnnn， （6.5 ）的方程称为欧拉 （Euler ） 方程. 令tex， 即将自变量由x换成 t，则有,1dtdyxdtdyedxdtdtdydxdyt),.(1)()(2

12、22222222dtdydtydxdtdyedtydedtdyedxdedxdydtddxdtdxydtttt将这些关系代入，则（ 6.5 ）就化成了n阶常系数线性方程 . 特别令tex，则|lnxt，于是二阶欧拉方程)(2xfqyypxyx化成二阶线性常系数方程)() 1(22tefqydtdypdtyd. 六、二阶常系数非齐次线性方程)(xf的形式特解)(*xy的形式)()(xpxfn)(xpn为n次多项式0 不是特征根：)()(*xRxyn，0 是特征方程的单根：)()(*xxRxyn，0 是特征方程的重根：)()(2*xRxxynaxnexpxf)()(不是特征根：axnexRxy)(

13、)(*，是特征方程的单根：axnexxRxy)()(*，是特征方程的重根：axnexRxxy)()(2*xexpxfaxnsin)()(或xexpxfaxncos)()(i不是特征根：xxSxxRexynnaxsin)(cos)()(*，i是特征根：xxSxxRxexynnaxsin)(cos)()(*，七、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解。SECTION SEVEN 向量代数和空间解析几何一、空间直角坐标系为了确定空间点的位置， 引进空间直角坐标系。 这样，点与三个有序实数所构成的数组就有一一对应的关系，进

14、而曲面可建立方程，对曲面几何性质的研究就可转化为对方程解析性质的研究。从空间某定点o作三条互相垂直的数轴，他们都以o为原点，具有相同的长度单位，三条轴分别为x轴（横轴） 、 y 轴（纵轴）和z轴（竖轴） ，三个坐标轴的方向要符合右手定则，这样就建立了空间直角坐标系oxyz，点o叫坐标原点。如果曲面 S与三元方程0),(zyxF有如下关系：（1）曲面 S上的每个点的坐标都满足方程（2）不在曲面 S上的点的坐标都不满足此方程则称这三元方程是曲面S的方程，而曲面 S称为此方程的图形。空 间 曲 线 C 可 以 看 成 两 个 曲 面0),(:1zyxFS和0),(:2zyxFS的交线，方程组0),(

15、0),(zyxGzyxF，称为空间曲线 C的一般方程。对于空间曲线 C 上任意一点的直角坐标),(zyx，若分别表示为参变量t的函数，即)()()(tzztyytxx， 则称此方程组是空间曲线C的参数方程。二、向量的概念既有大小又有方向的向量称为向量（或矢量） 。通常用ABba,等形式表示向量， 在建立空间直角坐标系后， 若向量OM，点 M 的坐标),(zyx就称为向量的坐标，且有向量zkyjxi，通常记为,zyx。起点是坐标原点 O，终点是 P的向量OP称为点 P 的向径，也常用0,rr等形式表示。向量的大小（长度）称为向量的 模，记作，模为1的向量叫做 单位向量 ，模为零的向量叫做 零向量

16、 。方向相同或相反的向量称为共线向量 ， 平行于同一平面的向量称为 共面向量 。向量与三个坐标向量kj,的夹角,称为向量的方向向量，方向角的余弦cos,cos,cos称为向量的方向余弦，如zkyjxi则222coszyxxx，222coszyxyy，222coszyxzzy，1coscoscos222。且方向余弦cos,cos,cos就是单位向量的坐标即cos,cos,cos0。三、向量的运算（一）定义与计算公式设.3 ,2, 1,.,jzyxkzjyixjjjjjjj1、加法 由平行四边形法则或三角形法则给出， 用坐标运算则有.,21212121zzyyxx2、数量相乘是一个向量，其模，而方

17、向规定为：若0，则与同向，若0，则与反向。用坐标运算为：若,zyx，则,zyx。【注】00 ,00。3、向量的数量积（点积，内积）21,是一个数，规定为,cos,2121是1, 与2的夹角，用坐标运算则有21212121zzyyxx， 两个向量的夹角是指不超过的那个角。4、向量的向量积 （叉积，外积）21是一个向量，其模,sin,2121是1，2的夹角，其方向规定为与1，2都垂直且1，2，21符合右手系，用坐标作运算为22211121zyxzyxkji5、混合积三个向量1，2，3的混合积1(，2，)3是一个数，规定为1(，2，)3123()，用坐标做运算就是1(，2，)33331222111z

18、zxzyxzyx。（二） 、运算法则1、加法与数乘)()()()()()(00)(12、数量积)()()(3、向量积)()()(04、混合积),(),(),(0),(),(),(),(),(),(),(),(),(),2121（三） 、几何应用1、加法与数乘（1）建立坐标系；建立直线方程；建立平面方程。（2）过点0P，方向向量为 S的直线的方程是tsrr0（3）过点0P，与21,UU（21,UU不平行）都平行的平面的方程是22110UtUtrr2、数量积（1）求模2，进而可求两点距离；（2）求两个向量的夹角，进而可求两条直线、直线与平面、两个平面之间的夹角；（3）判定垂直 :21021, 进而

19、可证两条直线、两个平面的垂直关系，以及直线与平面的平行关系；（4）建立平面方程（点法式） ：0()0n3、向量积（1）求平行四边形（三角形）面积，进而可求点到直线的距离SSPPd10（2）求两个平面交线的方向向量S，从而可把直线的一般方程化为直线的标准方程。设这两个平面的法向量分别是1n和2n，则交线 L 与1n，2n都要垂直，故可取21nnS。（3）判断平行：21212121210/zzyyxx（ 坐 标 成 比 例 ，2,1),(jzyxjjjj）存在实数，使得21或124、混合积（1）判断三个向量（或四个点） 是否共面， 进而可建立平面方程（2）判断共面：向量1111,zyx，2222,

20、zyx，3333,zyx共面混合积0),(3210321321321zzzyyyxxx存在不完全为零的数321,kkk，使得0332211kkk（ 3 ） 若22221111,ZYXUZYXU不 平 行 ， 则 过 点),(0000zyxP与21,UU都平行的平面的方程是0),(210UUPP，用坐标表示，则0222111000ZYXZYXzzyyxx（4）求平行六面体的体积（亦可求四面体），进而可求点到平面的距离及两条异面直线公垂线的长. （5）设平面经过点11,UP与2U是平面上两个不平行的向量，2P是平面之外的一点，以2121,PPUU为棱构造平行六面体，则底面21,UU上的高就是点2P

21、到平面的距离 d . 同时，若直线1L经过点1P, 方向向量是1U，直线2L经过点2P, 方向向量是2U，那么21,LL是异面直线， d 是公垂线的长，且212121),(UUUUPPd（7.12 ）（6）可建立异面直线公垂线的一般方程0),(,0),(21222111UUUPPUUUPP四、平面方程、直线方程（一）平面方程1、平面方程的基本形式（1）点法式0)()()(000zzCyyBxxA、（2）一般式0DCzByAxCBA,(不全为零）（3）向量式22110UtUtrr，其中OMr0，OPr， P 是平面上任意一点；（4）参数式022110221102211ztZtZzytYtYyxt

22、XtXx2、确定平面方程的两个基本思路（ 1）如已知平面上一点),(000zyxM以及平面的法向量,CBAn，则平面被完全确定，它的方程是0)()()(000zzCyyBxxA（2）如已知平面上一点),(000zyxM以及平面平行的两个不贡献的向量,1111ZYXU，,2222ZYXU，则平面被完全确定。（二）直线方程1. 直线方程的基本形式（1）一般式（交面式）,0,022221111DzCyBxADzCyBxA其中111(,)A B C与222(,)ABC不平行；（2）参数式;,000tnzztmyytlxx（3）对称式（标准式）nzzmyylxx0002. 确定直线方程的两个基本思路（1

23、）两个不平行的平面相交于一条直线（ 2）已知直线L 上一点),(000zyxM以及直线L 的方向向量( , )Sl m n可确定直线五、平面直线之间的相互关系与距离公式（一）两个平面间的关系设,01111: 1DzCyBxA:2,02222DzCyBxA则（1）1111122222/ /ABCDABCD（2）;02121212121CCBBAAnn（3）1与2的夹角（法向量间夹角，指不大于90 的）cos=1212121222222212111222.nnA AB BC Cn nABCABC（二）两条直线间的关系设,:1111111nzzmyylxxL,:2222222nzzmyylxxL则（

24、1）2121/SSLL即212121nnmmll且（111,zyx）不满足2L的方程；（2）2121SSLL即;0212121nnmmll（3）1L与2L间的夹角（方向向量间夹角，指不大于90 的）121 2121222222212111222cos.S Sl lmmn nS Slmnlmn（三）直线与平面的关系设,0:,:000DCzByAxnzzmyylxxL则（1）nSL /，, 0CnBmAl且0000AxByCzD（2）nSL/，nCmBlA；（3） L 与D的夹角S(2与n的夹角): .sin222222nmlCBACnBmAl（四）平面束方程通 过 直 线0, 0:2222111

25、1DzCyBxADzCyBxAL的 平 面 束 方 程 是,0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA其中,是不同时为零的任意常数。（五）关于距离的坐标计算公式（1）两点),(),(22221111zyxPzyxP间的距离.)()()(21221221221zzyyxxPPd（2）点),(0000zyxP到直线nzzmyylxxL001:的距离是101010101010222(,)( , ).( , )ijkxxyyzzxxyyzzl m nlmndl m nlmn（3）点),(0000zyxP到平面0:DCzByAx的距离为：.222000CBADCzByAxd六、常用二次曲面的

26、方程及其图形（一）球面设),(0000zyxP是球心， R是半径，),(zyxP是球面上任意一点，则,0RPP即.)()()(2202020Rzzyyxx( 二) 旋转曲面设 L 是 xOz平面上一条曲线， 其方程是. 0,0),(yzxf，L 绕z轴旋转得到旋转曲面，设),(zyxP是旋转面上任一点，由点),(0000zyxP旋转而来（点),0 ,0(zM是圆心） 。由zzyxMPMPx02200,得旋转面方程是; 0),(22zyxf或 由参数方程),()(),(),(tthztgytfx，得旋转面的参数方程2222( )( )cos( )( )sin,02( )xftgtyftgttzh

27、 t（三）柱面是一条空间曲线，直线L 沿平行移动所产生的曲面叫柱面，称为柱面的准线， L 叫柱面的母线。1、准线方程是( , )0:0f x yz母线平行于z轴时，柱面方程是( , )0f x y母线的方向向量( , )sl m n时，柱面方程(,)0lmf xz yznn2、准线方程是( ):( )(,)( )xf tyg ttzh t母线的方向向量是( , )sl m n，柱面方程是( )( )(,)( )xf tluyg tmuttzh tnu（四）二次曲面曲面方程方程曲面名称方程椭球面2222221xyzabc旋转抛物面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面双曲柱面抛

28、物柱面七、空间曲线在坐标平面上的投影设是一条空间曲线，是一张平面，对于上任意一点 P ,令( )P是点 P在平面上的投影点， 所有投影点的集合称为在平面上的投影曲线。而垂线所构成的曲面是以为准线的柱面，称为到的投影柱面。1、( , , )0:( , , )0f x y zg x y z消去 z 得到( , )0 x y这是以为准线，母线平行于 Z 轴的柱面方程。而( , )00 x yz是在 xoy平面的投影曲线方程。2、( ):( )( )xf tyg tzh t则( ):( )0 xf tyg tz是在 xoy平面的投影曲线方程。SECTION EIGHT 多元函数微分学一、多元函数的概念

29、、极限与连续性（一）多元函数概念1、二元函数的定义（ 定 义8.1 ） 设 D 是 平 面 上 的 一 个 点 集 ， 如 果 对 每 个 点DyxP,， 按照某一对应规则f, 变量z都有一个确定的值与之对应，则称z是变量yx,的二（或)(Pfz）. D 称为该函数的定义域，数集Dyxyxfzz,),(|称为该函数的值域。2、二元函数的几何意义空 间 点 集Dyxyxfzzyx,为 二 元 函 数yxfz,的图形，通常它是一张曲面。曲面yxfz,与平面 z=C的交线在 Oxy平面上的投影曲线：Cyxf,称为yxfz,的等高线。3、一元函数与多元函数的联系与区别（1）一元函数是二元函数的特殊情形

30、：让一自变量变动， 另一自变量固定，或让yx,沿某曲线变动，（2） 一元函数中，自变量 x 代表直线上的点， 只有两个变动方向，而二元函数中， 自变量yx,代表平面上的点， 它有无数个变动方向。（3）一元函数bxaxfy，也可以看成二元函数， 其定义域是.,:ybxa（二）二元函数的极限1、二元函数极限定义（定义 8.2 ）设函数yxf,在开区或闭区域 D有定义，000,Mxy是 D的内点或边界点。00lim,xxyyfx yA或00,lim,x yxyfx yA即,0正数当Dyx,，20200yyxx时，有Ayxf,注意： 这里的极限过程是点yx,在 D 内趋于点00,xy，它可以按任何方式

31、沿任意曲线趋于00,xy。极限与无穷小的关系：0000,lim,x yxyfx yAfx yAx yx yxy，其中,1x yo是无穷小00,yxyx，即0,lim00,yxyxyx2、二元函数与一元函数有相同的极限原算法则与极限性质求二元函数的极限常用方法：直接用极限运算法则，或通过适当放大缩小法，变量替换法转化为求简单的极限或一元函数的极限。3、二元函数yxfz,极限的不存在问题证明yxfxx,lim0不存在的方法：当yx,沿不同路径趋于00, yx时yxf,趋于不同的值或yx,沿某路径趋于00, yx时yxf,趋于，则00lim,xxyyfx y不存在。（三）二元函数的连续性1、二元函数

32、连续性定义（定义 8.3 ）设yxfz,定义在区域D 上，Dyxp000,是 D内一点或边界点。若00,lim00yxfyxfyxyx，则称yxf,在点0P连续，若yxf,在 D每一点上连续，则称yxf,在 D连续。2、判断二元函数连续性与一元函数有相同的方法二元初等函数在其定义域上连续3、二元连续函数的性质与一元函数类似，二元连续函数yxfz,也有相应的性质 : 定理 8.1 （保号性） 设yxfz,在000,Mxy连续，0,00yxf，则,0当220200,yyxxyxMUyx且Dyx,时 ，0, yxf定理 8.2（最大值最小值定理 ）设yxfz,在有界闭区域D上连续，则它在 D上一定有

33、最大值和最小值，即DMM21, 使得对DM，有12MfMfMf其中，1Mf为yxf,在 D上的最大值，2Mf为yxf,在 D上的最小值。定理8.3 （中间值定理）设yxfz,在区域D 上连续，,21DMM21MfMf, 在 D 中至少存在一点0M，使得0Mf二 、 多元函数的偏导数与全微分（一）偏导数概念1、偏导数的定义定 义 8.4 设 有 二 元 函 数, yxfz若 存 在00,xxxyxfdd或00,yyxdfxyd称它为yxfz,在00, yx处对xy的偏导数，记为0000,;fxyfxyxy或00,yxxz，00,yxxf，00, yxZx或00,xyzy00,xyfy，00,yZ

34、xy按定义有xyxfyxxfxyxfx0000000,_,lim,，yyxfyyxfyyxfy0000000,_,lim,2、偏导数的几何意义xyxf00,即 曲 面yxfz,与 平 面0yy的 交 线在 点00000,Mxyfxy 处的切线斜对x轴的斜率；yyxf00,即曲面yxfz,与平面0 xx的交线在点00000,Mxyfxy处的切线对轴的斜率。3、偏导数的计算（1）求偏导数，归结为求一元函数的导数。（2） 求),(),(),(),(,),(0000yxyxAyxyxyxgyxf在00, yx处的偏导数的方法：方法 1 按定义：00000000,_limlimxxfxyfxx yg x

35、x yAxxx；类似地求yyxf00,方法 2 在连续的条件下求偏导数的极限当,00 xUx时，yxf,在0,yxf存在偏导数xyxf0,，0, yxf对x在0 xx连 续 ； 若Bxyxfxx0,l i m0， 则00,fxyBx； 对yyxf00,有类似讨论。（二） 、可微性、全微分及其几何意义1、可微性于全微分的定义定义8.5若函数yxfz,在点000,yxM处的全增量00,yxfyyxxfz可 表 为yBxAz0其中 A,B 不依赖于,yx仅与有关，22yx，则称 函 数yxfz,在 点000,yxM可 微 ，yBxA称 为yxfz,在点000,yxM的全微分，记作0000,|,xyd

36、zdfxy等。当yxfz,在点00, yxM可微时0000000000,|xyfxyfxyfxyfxydzxydxdyxyxy其中规定自变量x与 y 的微分xdx，ydy2、全微分的几何意义),(yxfz在 点00, yx的 全 微 分 在 几 何 上 表 示 全 面),(yxfz在点0000,xyfxy处切平面上点的竖坐标的增量。（三）偏导数的连续性函数可微性可偏导性与函数连续性之间的关系若,fx y 在00, yx存在00(,)f xyx与00(,)f xyy， 称( , )f xy在00,xy可偏导 。偏导数的连续性函数可微性可偏导性与函数连续性之间的关系如下：定理 8.4 fx，fy在

37、000,Mxy连续,zfx y在000,Mxy可微，0000,fxx yyfxyA xB y220 xy偏导数连续连续可微可偏导( 四) 高阶偏导数、混合偏导数与求导次序无关问题设 函 数,zfxy 在 区 域 D 内 有 偏 导 数 ：,xyzzffxy它们在 D 内均是, x y的函数。如果这两函数的偏导数也存在，则称它们是,zfx y 的二阶偏导数。按对变量求导次序的不同，有下列4 个二阶偏导数：222,xxxyzzzzxxx yx yffxxyx y222,yxyyzzyyzzx yx yffxy xyy其中2zx y与2zy x称为混合偏导数。类似可定义三阶，四阶以及n阶偏导数。对不

38、同变量求导的高阶偏导数称为混合偏导数。定理 8.5 若函数,zfx y 的两个二阶混合偏导数2zx y，2zy x在点00,xy均连续，则它们相等，即22zzx yy x对于其他高阶混合偏导数，也有类似【定理8.5 】的结论（五）多元函数为常数的条件1 设,fx y 在区域 D 上满足0,0ffxy( , )x yD则在区域 D为常数。2 设,zfx y 定义在全平面上。若0,fx则,fx yy ；若0fy则,fx yx ；其中,yx 均为任意的一元函数。三、多元函数微分法则（一） 全微分四则运算法则,uu x yvv x y 在( , )x y可微， d uvdudv;,d uvvduudv

39、 d cucdu c为常数；210udvduudvvvv。（二） 多元复合函数的微分法则由于多元复合函数的情形是多种的，所以复合函数求导法则的形式也多种多样。1、多元函数与一元函数的复合定理 8.6 设,xx tyy tzz t 在t可导，, ,ufx y z 在对 应 点,xyzxtytzt可 微 ， 则 复 合 函 数,ufx ty tz t在t可导，且,duf dxf dyf dzdtx dty dtz dt这里也把dudt称为全导数。2、 多元函数与多元函数的复合定理 8.7 设,ux yvx y 在点( ,)x y有对, x y的偏导数 ，(,)zfu v在 对 应 点,u vx y

40、x y可 微 ， 则yxyxfz,在点, x y 有对, x y 的偏导数，且,.zfufvzfufvxuxv xyu yv y设,zf u vux yvx y 都有连续偏导数，则,zfx yx y在 点, x y出 的 全 微 分 仍 可 表 为.ffdzdudvuv（一阶全微分形式的不变性）类似地，, ,zfu v wuu x yvv x yww x y则它们的复合函数,zf u x yv x yw x y 在点, x y 的偏导数为,.zfufvfwzfufvfwxuxv xwxyuyv ywy设, ,zfu v w ，为了方便，我们常用1f表示, ,f u v w对第一个变量u的偏导数

41、，类似地222231112232,ffffffffffvwuu vv w等等。（三）复合函数的二阶偏导数四、复合函数求导法的应用隐函数微分法（一） 由方程式确定的隐函数求导法1 、 设F(x,y)在 点),(00yx某 邻 域 有 连 续 的 偏 导 数,0),(,0),(0000yxFyxFy则方程0),(yxF在点00(,)xy某邻域 恒 能 唯 一 确 定 一 个 有连 续 导 数 的函 数)(xyy， 它满 足)(00 xyy。 在 （00, yx） 邻域将该方程对 x 求导， 得 （注意)(xyy）, 0yyFxF解出y得./yFxFy2、设有三元方程0),(zyxF，其中0),(z

42、yxF在点),(000zyx某邻域有连续偏导数，且0),(,),(000000zyxFozyxFz， ，则此方程在点),(000zyx某邻域恒能唯一确定一个有连续偏导数的函数),(yxzz，它满足).(000yxzz。由0),(,(yxzyxF及复合函数求导法得0,/(0),FFzzFFFxxxxxzz0,/(0),FFzzFFFyzyyyzz我们也可用一阶全微分形式不变性，对方程两边求全微分得0),(zyxdF，0,FFFdxdydzxyz() /0FFFdzdxdyxyz/,zFFxxz/,(0).zFFFyyzz若 F 对 x,y,z有连续的二阶偏导数。还可求z=z(x,y)的二阶偏导数

43、，必须注意：上面的,FFFxyz仍然是 x,y,z的函数，而 z 又是 x,y 的函数。下面求:22xz方法 1 将0FFzxxx两边对 x 求偏导数。先改写成031xzFF两边对 x 求偏导数得, 0)()(22331xzFxzFxFx即21113313332()0zZzzFFFFFxXxx移项，3233131122/ )(2FxzFxzFFxz将xz的表达式代入222313113331322()() /()zF FFFFFFx或22222232222()() /()zFFFFFFFFxx zxzxzzxz方法 2将xz的表达式对求偏导数：2331313122)()()(FFxFFFxFFx

44、xz =211133131333() / ()zzFFfF FFFxx（二）由方程组确定的隐函数求导法1 、 设 有 三 个 变 量 两 个 方 程 构 成 的 方 程 组F(x,u,v)=0，G(x,u,v)=0 ，其中 F,G 有连续偏导数。若在区间I 上存在函数组 u=u(x) ，v=v(x) 满足该方程组，则说此方程组确定了隐函数u=u(x) ， v=v(x) 。 若 它 们 可 导 ， 则 由 F(x,u(x),v(x)=0，G(x,u(x),v(x)=0及复合函数求导法则可得00 xvvGxuuGxGxvvFxuuFXF，这可看成是以dxdvdxdu,为未知数的二元一次方程组，设0

45、),(),(vGuGvFuFvuGF解得),(),(/),(),(vuGFvxGFdxdu,),(),(/),(),(vuGFvuGFdxdv2、. 类似地，设有 4 个变量二个方程构成的方程组0),(0),(vuyxGvuyxF确定隐函数 u=u(x,y) ，v=v(x,y) 其中 F,G 有连续的偏导数。若u(x,y),v(x,y)可偏导，则由F(x,y,u(x,y),v(x,y)=0，G(x,y,u(x,y),v(x,y)=0及复合函数求导法， 将方程组两边分别对x,y 求偏导数，然后分别求解xvxu,或yvyu,的二元一次方程组，设0),(),(vGuGvFuFvuGF则可求得),()

46、,(/),(),(vuGFvxGFxu，),(),(/),(),(vuGFxuGFxv),(),(/),(),(vuGFvyGFyu，),(),(/),(),(vuGFyuGFyv五、复合函数求导法则的其他应用（一）变量替换下方程的变形多元函数的复合函数求导法则的重要应用在于：作变量替换时，求函数在新变量下的偏导数，有时通过变量替换可将某些偏微分方程（未知函数及其偏导数所满足的方程）化简。（二）多元函数问题转化成为一元函数问题多元函数问题常常转化为一元函数问题，通过复合函数求导法把一元函数的导数与多元函数的偏导数联系起来。如求二元函数),(yxfz在),(00yx的二阶泰勒公式时， 把二元 函

47、 数 的 增 量),(),(0000yxfyyxxf看 成 一 元 函 数),()(00ytyxtxft的增量)0() 1(。 由一元函数的二阶泰勒公式：)10()(! 31)0(! 21)0()0()1 ()3(通过复合函数求导法求出)(),0(),0()3(， ， ， 即得二元函数的二阶泰勒公式。设 z=f(x,y)在点000(,)Mxy的某邻域0()u M有直到 3 阶连续偏导数，000(,)()xx yyu M为任一点，则有二阶泰勒公式0020000002220000000022200022(,)1(,)() (,)()(,)2!(,)(,)(,)1(,)2(,)(,)2of xx y

48、yf xyxy f x yxyf x yRxyxyf x yf x yf x yf xyxyxxyxf x yf x yx yRx yy其中)10(),()(! 310032yyxxfyyxxR称为拉格朗日余项，)0()(2222yxR称为皮亚诺余项。这里knkknknnkknnyxyxyxfCyxfyxx).(),()(00100六、多元函数极值充分判别法（一）多元函数极值及驻点的定义定义 8.6 若000(,)Mxy的某邻域),(0MU，使得00000( , )(.)( ,)(,),( , )(,)F x yf x yf x yf xyx yU M则称 f(x,y)在点0M有极大值（极小值

49、）),(00yxf。极大值与极小值统称为极值。0M为 f(x,y) 的极值点。定义8.7 凡是能使0),(,0),(yxfyxfyx， 同时成立的点（x,y ）称为 z=f(x,y)的驻点。（二）多元函数取得极值的充分条件与必要条件1. 多元函数取得极值的必要条件定理 8.8 设),(yxf在点),(00yx具有偏导数，且在),(00yx取得极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(,0),(0000yxfyxfyx具有偏导数的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点。2. 多元函数取得极值的充分必要条件定理 8.9 设),(yxfz在点),(00yx的某领域有连续的二阶偏导数，又0),(,0)

50、,(0000yxfyxfyx令CyxfByxfAyxfyyxyxx),(,),(,),(000000，则0)1(2BAC时，),(yxf在),(00yx取极值，且当0A时取极小值，0A时取极大值；0)2(2BAC时，),(00yx不是),(yxf的极值点；0)3(2BAC时，则不能确定),(00yx是否是),(yxf的极值点，【注】若),(yxfz有连续的二阶偏导数，则可按如下方法求它的极值点：第一步，解方程组0),(,0),(0000yxfyxfyx求得所有驻点；第二步，对每个驻点求出二阶偏导数值),(00yxfAxx，);,(),(0000yxfCyxfByyxy第三步，定出2BAC的符号