双曲线知识点与性质大全.pdf

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1、. . word 教育资料双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长1222 ,0aF Fa a的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a称为双曲线的实轴长，线段12F F的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义 . 【注】12122PFPFaFF，此时P点轨迹为两条射线. （2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值1e e的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e称为双曲线的离心率. 此定义为双曲线的第二定义. 2、双曲线的简单性质标准方程22221,0

2、 xya bab22221,0yxa bab顶点坐标,0Aa0,Ba焦点坐标左焦点1,0Fc，右焦点2,0Fc上焦点10,Fc ，下焦点20,Fc虚轴与虚轴实轴长2a、虚轴长2b实轴长2a、虚轴长2b有界性xaya，对称性关于x轴对称，关于y轴对称，同时也关于原点对称. 3、渐近线双曲线22221,0 xya bab的渐近线为22220 xyab，即0 xyab，或byxa. 【注】与双曲线22221xyab具有相同渐近线的双曲线方程可以设为22220 xyab；渐近线为byxa的双曲线方程可以设为22220 xyab；共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭

3、双曲线. 共轭双曲线具有相同的渐近线 . 等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P到双曲线焦点F的距离称为焦半径. 若00(,)P xy为双曲线22221,0 xya bab上的任意一点，1(,0)Fc，2( ,0)Fc为双曲线的左、右焦点，则10|PFexa，20|PFexa ，其中cea. 5、通径过双曲线22221,0 xya bab焦点F作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A、B两点，称线段AB为双曲线的通径，且22bABa. . . word 教育资料6、焦点三角形P为双曲线22221,0 xya bab上的任意一点，1(,0)Fc，2( ,0)F

4、 c为双曲线的左右焦点，称12PF F 为双曲线的焦点三角形 . 若12F PF，则焦点三角形的面积为：122cot2F PFSb. 7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b（虚半轴长）. 8、双曲线22221,0 xya bab的焦点三角形的内心的轨迹为0 xa y9、直线与双曲线的位置关系直线:0lAxByC，双曲线：22221,0 xya bab，则l与相交22222a Ab BC；l与相切22222a Ab BC；l与相离22222a Ab BC. 10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点. 【注】 过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4 条、 3 条、

5、2 条，或者 0 条. 11、焦点三角形角平分线的性质点( , )P x y是双曲线22221,0 xya bab上的动点，12,F F是双曲线的焦点，M是12F PF的角平分线上一点，且20F M MP，则OMa，即动点M的点的轨迹为222xyaxa. 12、双曲线上任意两点的坐标性质1122,A xyB xy为双曲线22221,0 xya bab上的任意两点，且12xx，则2221222212yybxxa. 【推广1】直线 l 过双曲线22221,0 xya bab的中心，与双曲线交于1122,A x yB xy两点，P为双曲线上的任意一点，则22APBPbkka（,APBPkk均存在）

6、. 【推广 2】设直线110lyk xm m：交双曲线22221,0 xya bab于CD、两点，交直线22lyk x：于点E若E为CD的中点，则2122bk ka. 13、中点弦的斜率直线 l 过000,0Mxyy与双曲线22221,0 xya bab交于,A B两点，且AMBM ，则直线 l 的斜率2020ABb xka y. 14、点( , ) (0,0)P x yxy是双曲线22221,0 xya bab上的动点，过P作实轴的平行线，交渐近线于,M N两点，则PM PN定值2a. . . word 教育资料15、点( , )(0,0 )P x yxy是双曲线22221,0 xya ba

7、b上的动点， 过P作渐近线的平行线，交渐近线于,M N两点，则OMPNS定值2ab. 【典型例题】例 1、 双曲线的渐近线方程为20 xy，焦距为10，这双曲线的方程为_. 【变式 1】若曲线22141xykk表示双曲线，则k的取值范围是 _. 【变式 2】双曲线22148xy的两条渐近线的夹角为_. 【变式 3】已知椭圆2222135xymn和双曲线2222123xymn有公共的焦点， 那么双曲线的渐近线方程为_.【变式4】若椭圆221(0)xymnmn和双曲线221(0,0)xyabab有相同焦点1F 、2F ，P为两曲线的一个交点，则12PFPF_. 【变式5】如果函数2yx的图像与曲线

8、22:4C xy恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A 1,1)B. 1,0C. (,10,1)D. 1,0(1,). . word 教育资料【变式6】 直线2x与双曲线14:22yxC的渐近线交于BA,两点，设P为双曲线C上的任意一点，若OBbOAaOP(ORba,为坐标原点 ) ，则下列不等式恒成立的是（）A.222abB.2122baC.222abD.2212ab【变式7】设连接双曲线22221xyab与22221yxba的四个顶点为四边形面积为1S, 连接其四个焦点的四边形面积为2S，则12SS的最大值为 _.例2、 设12FF、分别是双曲线2219yx的左右焦点, 若点P在

9、双曲线上，且12=0PF PF， 则12PFPF=_. 【变式 1】过双曲线221109xy的左焦点1F 的弦6AB，则2ABF （2F 为右焦点）的周长为_. 【变式 2】双曲线2211620 xy的左、右焦点1F 、2F ，P是双曲线上的动点，且19PF，则2PF_. 例 3、设12FF、是双曲线2214xy的两个焦点， 点P是双曲线的任意一点，且123F PF，求12PF F的面积 . . . word 教育资料例 4、已知直线1ykx与双曲线2231xy有AB、两个不同的交点，如果以AB为直径的圆恰好过原点O,试求k的值 . 例 5、已知直线1ykx与双曲线2231xy相交于AB、两点

10、，那么是否存在实数k使得AB、两点关于直线20 xy对称？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 例 6、已知双曲线221124xy的右焦点为F, 若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为 _. 【变式 1】已知曲线C:21(4)xy yx；（1）画出曲线C的图像；（2）若直线l：1ykx与曲线C有两个公共点，求k的取值范围；（3）若0Pp，0p，Q为曲线C上的点，求PQ的最小值 . 【变式 2】直线l：10axy与曲线C：2221xy. （1）若直线l与曲线C有且仅有一个交点，求实数a的取值范围；（2）若直线l被曲线C截得的弦长22 1PQa，求实数a的取值

11、范围；（3）是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过原点，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. . . word 教育资料例 7、 已知F是双曲线221412xy的左焦点，(14)A ，,P是双曲线右支上的动点，求PFPA的最小值 . 【变式】P是双曲线221916xy的右支上一点，,M N分别是圆2254xy和2251xy上的点，则PMPN 的最大值等于_. 例 8、 已知动圆P与两个定圆2251xy和22549xy都外切，求动圆圆心P的轨迹方程 .【变式1】ABC的顶点为50A，,5,0B，ABC的内切圆圆心在直线3x上，则顶点C的轨迹方程是_. 【变式 2】已知双曲线的中心在原点，

12、且一个焦点为7,0F，直线1yx与其相交于MN、两点，线段MN的中点的横坐标为23，求此双曲线的方程. 例 9、 已知双曲线221916xy，若点M为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_. 例 10、焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点(0,2)P为圆心，以1 为半径的圆相切，又知双曲线C的一个焦点与P关于直线yx对称（1）求双曲线的方程；（2）设直线1ymx与双曲线C的左支交于,A B两点，另一直线l经过点( 2,0)M及AB的中点，求直线l在. . word 教育资料轴上的截距n的取值范围 . 【变式】设直线l的方程为1ykx，等轴双曲线C：222xya

13、右焦点为2,0. （1）求双曲线的方程；（2）设直线l与双曲线的右支交于不同的两点AB、, 记AB中点为M，求实数k的取值范围， 并用k表示点M的坐标；（3）设点1,0Q，求直线QM在y轴上的截距的取值范围. 例 11、已知双曲线C方程为：2212yx. （1） 已知直线0 xym与双曲线C交于不同的两点AB、， 且线段AB的中点在圆225xy上， 求m的值；（2）设直线l是圆O：222xy上动点00(,)P xy（000 x y）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点AB、，证明AOB的大小为定值. 例 12、已知中心在原点，顶点12AA、在x轴上，其渐近线方程是2 33yx，双曲线过点6,6

14、P. （1）求双曲线的方程；（2） 动直线l经过12A PA的重心G， 与双曲线交于不同的两点MN、， 问：是否存在直线l， 使G平分线段MN，证明你的结论 . 例13、已知点1F、2F为双曲线C：01222bbyx的左、右焦点，过2F作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C于点M，且3021FMF圆O的方程是222byx（1）求双曲线C的方程；. . word 教育资料（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P、2P，求21PPPP的值；（3） 过圆O上任意一点00y,xQ作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M， 求证：例 14、已知双曲线C：222210,0 xyabab的一个焦点是22,0F，且ab3（1）求双曲线C的方程；（2）设经过焦点2F的直线的一个法向量为)1 ,(m，当直线l与双曲线C 的右支相交于BA,不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3)1(322yx上（3）设（ 2）中直线l与双曲线C的右支相交于BA,两点，问是否存在实数m，使得AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由l