一次函数知识点特征总结.pdf

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1、. word 教育资料一次函数一、定义与定义式：自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y 是 x 的一次函数。特别地，当 b=0 时，y 是 x 的正比例函数。即：y=kx （k 为常数， k 0）二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x 的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b （k 为任意不为零的实数 b 取任何实数） 2.当 x=0 时，b 为函数在 y 轴上的截距。三、一次函数的图像及性质： 1作法与图形：通过如下3 个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像 一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2 点，并连成直线即可。（通

2、常找函数图像与x轴和 y 轴的交点） . . word 教育资料 2性质：（ 1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式： y=kx+b。（2）一次函数与 y 轴交点的坐标总是（ 0，b) ，与x 轴总是交于（ -b/k ，0）正比例函数的图像总是过原点。 3k，b 与函数图像所在象限：当 k0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，直线必通过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。当 b0 时，直线必通过一、二象限；当 b=0 时，直线通过原点当 b0 时，直线必通过三、四象限。特别地，当 b=O时，直线通过原点O （0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，

3、当 k0 时，直线只通过一、三象限；当k0 时，直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式：已知点 A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点 A、B的一次函数的表达式。（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。. word 教育资料（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2 个方程： y1=kx1+b 和y2=kx2+b （3）解这个二元一次方程，得到k，b 的值。（4）最后得到一次函数的表达式。五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间 t 一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt 。 2.当水池抽水速度 f 一定，

4、水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft 。六、常用公式：（不全，希望有人补充） 1.求函数图像的 k 值：（y1-y2)/(x1-x2) 2.求与 x 轴平行线段的中点： |x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点： |y1-y2|/2 4.求任意线段的长： (x1-x2)2+(y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2) 与（y1-y2) 的平方和）二次函数I. 定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量 y 之间存在如下关系：. word 教育资料y=ax2+bx+c （a，b，c 为常数， a0，且 a 决定函数的开口方向， a0 时，开口方向

5、向上，a0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2 向右平行移动 h个单位得到，当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位，再向上移动 k 个单位，就可以得到y=a(x-h)2 +k的图象；当 h0,k0 时，将抛物线 y=ax2 向右平行移动 h 个单位，再向下移动|k| 个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象；当 h0 时，将抛物线向左平行移动|h| 个单位，再向上移动k个单位可得到 y=a(x-h)2+k的图象；当 h0,k0时，开口向上，当a0，当 x -b/2a时，y 随 x的增大而减小；当x -b/2a时，y 随 x 的增大而增大若a0，图象与

6、x 轴交于两点 A(x? ，0)和 B(x? ，0) ，其中的 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a 0)的两根这两点间的距离AB=|x? -x ? | 当=0图象与 x 轴只有一个交点；当0 时，图象落在 x 轴的上方，x 为任何实数时，都有y0；当 a0 时，图象落在 x 轴的下方， x 为任何实数时，都有y0(a0) ，则当 x= -b/2a时，y 最小(大)值=(4ac-b2)/4a. word 教育资料顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6 用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、 y 的三对对

7、应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a0) (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式： y=a(x-h)2+k(a 0) (3)当题给条件为已知图象与x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式： y=a(x-x ? )(x-x ? )(a 0) 7 二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现反比例函数形如 y kx(k 为常数且 k 0) 的函数，叫做反比例函数。自变量 x 的取值范围是不等于0 的一切实数。反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。由于反

8、比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。. word 教育资料另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为 k。如图，上面给出了k 分别为正和负（ 2 和-2 ）时的函数图像。当 K0 时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数当 K0 时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。知识点：1. 过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。2. 对于双曲线 ykx ，若在分母上加减任

9、意一个实数 ( 即 y k（xm ）m为常数 )，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）对数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于 a 的规定，同样适用于对数函数。右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。（1）对数函数的定义域为大于0 的实数集合。. word 教育资料（2）对数函数的值域为全部实数集合。（3）函数总是通过（ 1，0）这点。（4）a 大于 1 时，为单调递增函数，并且上凸；a 小于 1 大于 0 时，函数

10、为单调递减函数，并且下凹。（5）显然对数函数无界。指数函数指数函数的一般形式为， 从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为 a 的不同大小影响函数图形的情况。可以看到：（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a 大于 0，对于 a不大于 0的情况， 则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。（2） 指数函数的值域为大于0 的实数集合。（3） 函数图形都是下凹的。（4） a 大于 1，则指数函数单调递增； a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。（5） 可以看到一个显然的规律， 就是当 a 从 0 趋向于

11、无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与 X轴的正半轴的单调递减函数的位置， 趋向分别接近于Y轴的正半轴与 X轴的负. word 教育资料半轴的单调递增函数的位置。 其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴, 永不相交。（7） 函数总是通过（ 0，1）这点。（8） 显然指数函数无界。奇偶性注图：（ 1）为奇函数（ 2）为偶函数1定义一般地，对于函数f(x) （1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=

12、f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x) 既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x) 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。说明：奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言. word 教育资料奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。（分析：判断函数的奇偶性， 首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再

13、严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x) 比较得出结论）判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2奇偶函数图像的特征：定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y 轴或轴对称图形。 f(x)为奇函数 f(x) 的图像关于原点对称点（x,y ）（-x,-y ）奇函数在某一区间上单调递增， 则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。3. 奇偶函数运算(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数. (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个

14、偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数. (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. . word 教育资料定义域（高中函数定义） 设 A,B 是两个非空的数集， 如果按某个确定的对应关系 f, 使对于集合 A中的任意一个数x， 在集合 B中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称f:A-B为集合 A到集合 B的一个函数，记作 y=f(x),x属于集合 A。其中， x 叫作自变量， x 的取值范围 A叫作函数的定义域；值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域, 在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的

15、方法（1）化归法；（ 2）图象法（数形结合），（3）函数单调性法，（4）配方法，（ 5）换元法，（ 6）反函数法（逆求法），（ 7）判别式法，（8）复合函数法，（ 9）三角代换法，（ 10）基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先 ”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时， 往往就削弱或谈化了， 对值域问题的探究，. word 教育资料造成了一手 “硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中 （典型的例子是互为反

16、函数定义域与值域的相互转化）。 如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。“范围”与“值域”相同吗？“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈， 实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值），而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）。也就是说: “值域”是一个 “范围”，而 “范围”却不一定是 “值域”。