第13章拉氏变换优秀PPT.ppt

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1、本章重点本章重点.常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质.复频域中的电路定律复频域中的电路定律.运算阻抗和运算导纳运算阻抗和运算导纳.拉普拉斯变换法分析电路的动态响应拉普拉斯变换法分析电路的动态响应.网络函数网络函数.返回书目返回书目13.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、拉氏变换一、拉氏变换(Laplace transformation)的定义的定义象函数象函数(transform function)F(s)原函数原函数(original function)f(t)t 0,)时域时域(time domain)复频域复频域(complex fre

2、quency domain)复频复频 率率(complex frequency)拉氏变换对拉氏变换对(Laplace pairs)一一 一对应一对应记号记号Lf(t)表示取拉氏变换表示取拉氏变换L-1 F(s)表示取拉氏反变换表示取拉氏反变换定义式定义式(Laplace transformation)(inverse Laplace transformation)积分下限从积分下限从0 起先，称为起先，称为0 拉氏变拉氏变换换。积分下限从积分下限从0+起先，称为起先，称为0+拉氏变换拉氏变换。当当f(t)含有冲激函数项时，含有冲激函数项时，此项此项 00+拉氏变换和拉氏变换和0拉氏变换的区分拉

3、氏变换的区分 象函数象函数F(s)用大写字母表示用大写字母表示，如，如 I(s)，U(s)原函数原函数f(t)用小写字母表示，如用小写字母表示，如 i(t)，u(t)留意留意为了把为了把0-0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变换定义式中积分下限从换定义式中积分下限从 0-起先起先二、拉氏变换存在条件二、拉氏变换存在条件不同的不同的 f(t)，0的值不同，称的值不同，称 0为复平面为复平面s内的收敛横坐标。内的收敛横坐标。0 j 0收敛坐标收敛坐标收敛轴收敛轴收敛区收敛区电工中常见信号为指数阶函数，即电工中常见信号为指数阶函数，即 由于单边拉氏变换

4、的收敛问题较为简洁，在下面的探讨由于单边拉氏变换的收敛问题较为简洁，在下面的探讨中一般不再写出其收敛范围。中一般不再写出其收敛范围。返回书目返回书目=113.2 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换1f1(t)e-tt0求图示两个函数的拉氏变换式求图示两个函数的拉氏变换式1f2(t)e-tt0解解 由于定义的拉氏变换积分下限是由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个函数的拉氏变换，两个函数的拉氏变换 式相同式相同当取上式的反变换时，只能表示出当取上式的反变换时，只能表示出区间的函数式区间的函数式返回书目返回书目13.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质一、线性一、线性(line

5、arity)性质性质例例1例例2例例3二、原函数的微分二、原函数的微分(differentiation)例例1例例2三、原函数的积分三、原函数的积分(integration)例例四、时域平移四、时域平移(time shift)f(t)(t-t0)tt00tf(t-t0)(t-t0)t00f(t)(t)t0f(t)(t)f(t-t0)(t-t0)平移平移f(t)(t-t0)不是平移不是平移例例1 求图示函数的拉氏变换式求图示函数的拉氏变换式例例2 求图示函数的拉氏变换式求图示函数的拉氏变换式1Ttf(t)0TTf(t)0例例3 周期函数周期函数(periodic function)的拉氏变换的拉

6、氏变换 设设f1(t)为第一个周期的函数为第一个周期的函数.tf(t)1T/2 T0五、五、复频域平移复频域平移(frequency shift)六、初值六、初值(initial-value)定理和终值定理和终值(final-value)定理定理初值定理初值定理若若Lf(t)=F(s)，且，且f(t)在在t=0处无冲激，则处无冲激，则终值定理终值定理f(t)及其导数及其导数f (t)可进行拉氏变换，且可进行拉氏变换，且例例1例例2例例3例例1例例2例例3返回书目返回书目13.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换一、由象函数求原函数一、由象函数求原函数(1)利用公式利用公式(2)经数学处理后查拉普拉

7、斯变换表经数学处理后查拉普拉斯变换表象函数的一般形式：象函数的一般形式：二、将二、将F(s)进行部分分式绽开进行部分分式绽开(partial-fraction expansion)f(t)=L-1F(s)较麻烦较麻烦等式两边同乘等式两边同乘(s-s1)=0ki也可用也可用分解定理分解定理求求等式两边同乘等式两边同乘(s-si)，应用洛比达法则求极限，应用洛比达法则求极限例例1例例2用分解定理用分解定理例例3m n，用长除法，得，用长除法，得k1,k2也是一对共轭复数也是一对共轭复数假设只有两个根假设只有两个根可据前面介绍的两种方法求出可据前面介绍的两种方法求出 k1,k2设设例例法一：法一：部

8、分分式绽开，求系数部分分式绽开，求系数法二：法二：将将F2(s)改写为改写为(s )2+2等式两边乘等式两边乘例例1例例2等式两边乘等式两边乘一般多重根状况一般多重根状况返回书目返回书目一、电路元件的运算形式一、电路元件的运算形式(operator form)电阻电阻Ru=R i13.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型复频域中的电路定律、电路元件与模型+u -i(t)R+U(s)-I(s)R取拉氏变换取拉氏变换电感电感LiL+uL -L+-sLUL(s)IL(s)-+取拉氏变换取拉氏变换sL+-UL(s)IL(s)电容电容C+uC -iCIC(s)1 1/sCuC(0-)/sUC(s)+-

9、+1 1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)-+取拉氏取拉氏变换变换互感互感M 取拉氏取拉氏变换变换ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s)-+-I1(s)sL1sL2sM+-+-U1(s)I2(s)+-受控源受控源+-U1(s)+-RI1(s)U1(s)+-U2(s)+u1-+u2-Ri1 u1+-二、电路定律的运算形式二、电路定律的运算形式+u-iRLC设电路无初始储能设电路无初始储能+U(s)-I(s)RsL1/sC运算形式的欧姆定律运算形式的欧姆定律运算阻抗运算阻抗(operational impedance)运算导纳运算导纳(operational admittance三、

10、运算电路模型三、运算电路模型1.电压、电流用象函数形式电压、电流用象函数形式2.元件用运算阻抗或运算导纳元件用运算阻抗或运算导纳3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示电容电压和电感电流初始值用附加电源表示时域电路时域电路RRLCi1i2E(t)+-运算电路运算电路RRsL1/sCI1(s)I2(s)E/s+-uC(0-)=25V iL(0-)=5A时域电路时域电路t=0 时打开开关时打开开关例例5 2F20 10 10 0.5H50V+-uC+-iL换路后换路后 运算电路运算电路0.5sUC(s)20-+1/2s25/s2.55IL(s)+-解解返回书目返回书目13.6 拉普拉斯变换法分析

11、电路拉普拉斯变换法分析电路步骤步骤 1.由换路前电路计算由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)；2.画运算电路模型；画运算电路模型；3.应用电路分析方法求出待求变量的象函数；应用电路分析方法求出待求变量的象函数；4.反变换求原函数。反变换求原函数。t=0时闭合时闭合S，求，求iL，uL。例例1200V30 0.1H10-uC+1000 FiL+-uL+-S(2)画运算电画运算电路路200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-解解200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-(4)反变换求原函数反变换求原函数校核初值和终值

12、校核初值和终值要考虑初值要考虑初值思索：思索：uL是哪两端是哪两端 的电压？的电压？200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+-UL(s)+-例例2 求图示电路的单位冲激响应求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC(t)。RCuC (t)iC+-R1/sCUC(s)1IC(s)+-tuC(V)0tiC返回书目返回书目13.7 网络函数网络函数(network function)一、定义一、定义单个独立源作用的线性网络单个独立源作用的线性网络零零 状状态态e(t)r(t)E(s)R(s)(转移函数转移函数(transfer function)RC+_+_uS例

13、例uCR1/sC+_+_US(s)UC(s)网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关；网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关；网络函数是实系数的有理函数。网络函数是实系数的有理函数。1.策动点函数策动点函数策动点阻抗策动点阻抗策动点导纳策动点导纳2.转移函数转移函数(传递函数传递函数)转移导纳转移导纳转移阻抗转移阻抗转移电压比转移电压比转移电流比转移电流比二、网络函数的具体形式二、网络函数的具体形式U(s)I(s)+-U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-三、单位冲激响应与网络函数的关系三、单位冲激响应与网络函数的关系零状态零状态(t)h(t)e(t)r(t)若单位冲激响应

14、若单位冲激响应h(t)已知，则随意激励已知，则随意激励e(t)产生的响应产生的响应r(t)可求。可求。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对返回书目返回书目13.8 网络函数的极点网络函数的极点(pole)和零点和零点(zero)一、复频率平面一、复频率平面 j 在复平面上用在复平面上用“”表示表示极点极点，用用“。”表示零点。表示零点。极点极点。零点零点 j。2-3例例绘出其极零点图绘出其极零点图(pole-zero diagram)-1j-j0二、极点分布与冲激响应的关系二、极点分布与冲激响应的关系H(s)在在s平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。平

15、面上极点位置不同，冲激响应波形不同。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对 j 极点的位置确定冲激响应的波形极点的位置确定冲激响应的波形极点和零点共同确定冲激响应的的幅值极点和零点共同确定冲激响应的的幅值网络函数极点的位置确定了系统的稳定性网络函数极点的位置确定了系统的稳定性(stability)全部极点在全部极点在 s 左半平面的电路动态响应是稳定的；左半平面的电路动态响应是稳定的；有位于有位于 s 右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点在在 s 平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界稳定的。稳定的。网络函数极点是该网络变量的固有频率网络函数极点是该网络变量的固有频率 R(s)=H(s)E(s)设设D(s)和和E(s)没有相同的极点没有相同的极点由网络函数极点形成的由网络函数极点形成的 自由分量自由分量由激励函数极点形成的由激励函数极点形成的 强制分量强制分量系数系数Ai和和Aj是由零点和极点共同确定是由零点和极点共同确定返回书目返回书目13.9 卷积卷积(convolution)定理定理h(t)r(t)e(t)H(s)R(s)E(s)R(s)=E(s)H(s)零状态零状态证明证明延时延时去掉去掉积分上限改为积分上限改为 t