概率论与数理统计第二章.ppt

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1、概率论与数理统计第概率论与数理统计第二章二章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例例例例1 1 1 1 设箱中有设箱中有1010个球，其中有个球，其中有2 2个红球，个红球，8 8个白球；个白球；从中任意抽取从中任意抽取2 2个个,观察抽球结果。观察抽球结果。讨论：取球结果为讨论：取球结果为讨论：取球结果为讨论：取球结果为:两个白球两个白球两个白球两个白球;两个红球两个红球两个红球两个红球;一红一白一红一白一红一白一红一白 特点特点特点特点：试验结果数量化了，结果与数建立了一一对应关系试验结果数量化了，结果与数建立了一一对应关系试验结果数量化

2、了，结果与数建立了一一对应关系试验结果数量化了，结果与数建立了一一对应关系如果用如果用如果用如果用表示抽得的红球数，则表示抽得的红球数，则表示抽得的红球数，则表示抽得的红球数，则的取值为的取值为的取值为的取值为0 0 0 0，1 1 1 1，2 2 2 2。此时，。此时，。此时，。此时，“两只红球两只红球两只红球两只红球”=“”=“”=“”=“取到值取到值取到值取到值2”,2”,2”,2”,可记为可记为可记为可记为 =2=2=2=2 “一红一白一红一白一红一白一红一白”=”=”=”=1,=1,=1,=1,“两只白球两只白球两只白球两只白球”=0=0=0=0 概概率率论论与与数数理理统统计计电电

3、子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 例例例例2 2 2 2 某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命 。例例例例3 3 3 3 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数.例例例例4 4 4 4 在在00，11区间上随机取点，该点的坐标区间上随机取点，该点的坐标.的可能取值为的可能取值为 0,+0,+)的可能取值为的可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，.的可能取值为的可能取值为 0 0，11上的全体实数。上的全体实数。概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系=(e)随机变

4、量是一个特殊的函数随机变量是一个特殊的函数随机变量的取值可看作是数轴上的点随机变量的取值可看作是数轴上的点0（）(e)概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系若若是实验是实验E E的一个随机变量，那么的一个随机变量，那么 X=1,X a,a X b,X=2k,kN及 X a,b 等都表示等都表示E E中的事件中的事件；反之，反之，E E中的事件通常都可以用中的事件通常都可以用的不同取值来表的不同取值来表示示.如在掷骰子试验中，用如在掷骰子试验中，用X X表示出现的点数表示出现的点数,则则“出现偶数点出现偶数点”可表示为：可表示为：X X=2=2 X

5、=4X=4 X=6X=6 “出现的点数小于出现的点数小于”可表示为：可表示为：X X41 p pk k00，（，（k=1k=1，2,2,）22 p pk k=1.=1.（若是无穷可列情形，就表示无穷级数（若是无穷可列情形，就表示无穷级数ppk k要收敛于要收敛于1 1）概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例 1从110这10个数字中随机取出5个数字，令：X：取出的5个数字中的最大值试求 X 的分布律解：X 的取值为5，6，7，8，9，10并且具体写出，即可得 X 的分布律：概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院

6、院数数理理系系例例例例2 2 2 2 从一批次品率为从一批次品率为从一批次品率为从一批次品率为p p p p的产品中，放回抽样，直到抽到次的产品中，放回抽样，直到抽到次的产品中，放回抽样，直到抽到次的产品中，放回抽样，直到抽到次品为止。求抽到次品时，已抽取产品的次数品为止。求抽到次品时，已抽取产品的次数品为止。求抽到次品时，已抽取产品的次数品为止。求抽到次品时，已抽取产品的次数X X X X的分布律。的分布律。的分布律。的分布律。分析：若记分析：若记A Ai i=“=“第第i i次取到正品次取到正品”,i=1,2,3,”,i=1,2,3,则则 A Ai i,i=1,2,3,i=1,2,3,是相

7、互独立的！是相互独立的！且且所以，所以，X X的可能取值为的可能取值为 1 1，2 2，3 3，,k,k,PX=k=PX=k=(1-p)(1-p)k-1k-1p p ,k=1,2,k=1,2,X=k X=k 对应着事件对应着事件 kkAAAA121-L=-)(121kkAAAAPL 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系0-1分布分布：只取0和 1 两个值的随机变量所服从的分布，称为0-1分布。其概率函数为 P=k=pk（1-p）1-k （k=0，1）两点分布两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布，称为两点分布。其慨率函数为 P=xk=

8、pk (k1，2)概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系1.概概 念念 定义定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数称为 X 的分布函数对于任意的实数 x1,x2(x1时，即当 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2030-1 0 1 2 3 x1.)(),()0(是右连续的即xFxFxF=+概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(1)P X b=F(b);(2)P aXb=F(b)F(a);(3)P Xb=1 P Xb =1-F(b);(

9、5)P Xb=1 P Xl 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系3正 态 分 布xf(x)0的密度函数为如果连续型随机变量X()()()+h 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系取到最大值时，当 xm=)(xf落在该区间中的概率就越小越远时，随机变量同样长度的区间，当区间离的值就越小这表明，对于Xm越远，离xm)(xf 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系()()确定所图形的位置完全由参数因此其形状轴平行移动，但不改变图形沿的的值，则固定，而改变

10、 若mmsxfyxxf=(3)曲线轴为渐近线，在处有拐点.以 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系xf(x)0(5)若的值，由于固定，而改变的最大值为可知，当越小时，图形越陡，因而落在附近的概率越大；反之，当越大时，的图形越平坦，这表明的取值越分散 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例4()；，试求：，设随机变量0625192-XPXPXPNX解：概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科

11、科技技学学院院数数理理系系 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的正态分布可以作为许多分布的近似分布 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系随机变量的函数随机变量的

12、函数2.4 2.4 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(一一)、离散型随机变量的函数、离散型随机变量的函数()量，它的取值为也是离散型随机变，则的函数：是YXgYXY=是离散型随机变量，其分布律为设 X 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例例 5 5 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系这些取值两两互不相同，由此得随机变量这些取值两两互不相同，由此得随机变量 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教

13、教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(二二).).连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布解解 题题 思思 路路 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系设随机变量 X 具有概率密度：试求 Y=2X+8 的概率密度.解：解：(1)先求 Y=2X+8 的分布函数 FY(y)：例例 6 6 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 整理得 Y=2X+8 的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式).()

14、()()()(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxxyyjjjy-=则如果 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例如,设 XN(0,1),其概率密度为：则 Y=X 2 的概率密度为：分布。的服从自由度为此时称21cY 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 定理定理 设随机变量 X 具有概率密度则 Y=g(X)是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为其中 h(y)是 g(x)的反函数，即 ).0)(0)()(xgxgxg或恒有处处可导，且有又设函数 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子

15、子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 定理（续）定理（续）此时仍有：或恒有上恒有在设以外等于零，则只须假在有限区间若),0)(0)(,)(xgxgbabaxf).(),(max),(),(minbgagbgag=ba这里 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系证明：()()，的分布函数为设随机变量yFXgYY=()()yXgPyYPyFY=则有()()()yhXPygXPyFY=-1因此，由题设，不妨假设0)(xg，则是严格增加的函数 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系()()上变化

16、，在区间随机变量上变化时，在区间由题设，当随机变量baYX+-其中，()时，当因此，bay()()()()=-yhXYdxxfdydyFyf所以，概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系()()是严格减少的函数，则若xgxg0()时，当因此，bay()()()()=+yhXYdxxfdydyFyf所以，概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系()的密度函数为综上所述，得XgY=概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例例 7 7()()的密度函数，试求随机变

17、量，设随机变量yfYeYNXYX=2sm的密度函数为知由题设，Xyxln=函数为是严格增加的，它的反因为函数eyx=概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系()()上变化，在区间，上变化时，在区间并且当随机变量+=+-0XeYX的密度函数为由此得随机变量XeY=概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 5 会求随机变量的简单函数的分布。1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量 表示随机事件。2 给出了分布函数的定义及性质要会利用分布 函数示事件的概率。3 给出了离散型随机变量及其分布率的定义、性质，要会求离散型随机变量的分布率及分布函数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分布、二项分布、泊松分布。4 给出了连续型随机变量及概率密度的定义、性质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀分布、指数分布和正态分布。