线性代数期末复习题.pdf

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1、线性代数 B复习资料（ 2014）( 一) 单项选择题1设 A，B为 n 阶方阵，且EAB2，则下列各式中可能不成立的是（ A ）( A)1BA (B)1BABA (C)1ABAB (D)EBA2)(2若由 AB=AC 必能推出B=C （A，B，C均为 n 阶矩阵）则A必须满足（ C ）(A)A O (B)A=O (C)0A (D) 0AB3A为 n 阶方阵，若存在n 阶方阵 B，使 AB=BA=A ，则（ D ）(A) B为单位矩阵 (B) B为零方阵 (C) AB1 (D) 不一定4设 A为 nn 阶矩阵，如果r(A)n , 则 C (A) A的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线

2、性组合(B) A的各行向量中至少有一个为零向量( C)A 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例571已知向量组4321,线性无关则向量组 ( C ) (A) 14433221,线性无关(B) 14433221,线性无关( C) 14433221,线性无关(D) 14433221,线性无关6下列说法不正确的是( A ) ( A) 如果 r 个向量r,2, 1线性无关，则加入k 个向量k,2,1后，仍然线性无关(B) 如果 r 个向量r,2, 1线性无关， 则在每个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性

3、无关(C) 如果 r 个向量r,2, 1线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关(D) 如果 r 个向量r,2, 1线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关7设 n 阶方阵 A的秩 rn ，则在 A的 n 个行向量中 A ( A) 必有 r 个行向量线性无关(B) 任意 r 个行向量均可构成极大无关组(C) 任意 r 个行向量均线性无关(D) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示8设方阵A的行列式0A，则 A中 C (A) 必有一行（列）元素为零(B) 必有两行（列）成比例( C) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合(D) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组

4、合9设 A是 m n 矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是( A ) ( A)A 的列向量线性无关(B)A 的列向量线性相关(C)A 的行向量线性无关(D)A 的行向量线性相关11 n 元线性方程组AX=b ，r （A， b）1 ，01) 线性相关，则（ C ）由121,i线性表出。(A) 每个)1(ii都能 (B) 每个)1(ii都不能( C) 有一个)1(ii能 (D) 某一个)1(ii不能13. 设BBAA，再将到的第二行加到第一行得阶矩阵，将为3的第一列的)1(倍加到第 2列得到，记CB 100010011P则：11()BACPAPCPAP（ ）TTPAPCDAPPCC

5、)(）（14. 若向量组,线性无关 ;,线性相关 , 则( C ) (A)必可由, ,线性表示 . (B)必不可由, ,线性表示(C)必可由,线性表示 . (D)必不可由,线性表示 . 15下列命题正确的是( D ) (A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关(B) 线性相关的向量组中必有零向量(C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关( D) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关16设向量组s,21的秩为 r ，则 D (A) 必定 rs (B) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关(C) 向量组中任意r 个向量线性无关( D) 向量组任意r+1

6、个向量线性相关17 A是 m n 矩阵 , r(A)=r 则 A中必 ( B ) (A) 没有等于零的r-1 阶子式至少有一个r 阶子式不为零( B) 有不等于零的r 阶子式所有r+1 阶子式全为零(C) 有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1 阶子式(D) 任何 r 阶子式都不等于零任何r+1 阶子式都等于零18能表成向量1,0,0,01,1,1, 1,02,1, 1,1, 13的线性组合的向量是（ B ）(A) 1,1,0,0 ( B)0, 1, 1,2 (C)1,0, 1,3,2 (D)0,0,0,0,019 已 知3, 2, 11, 2, 1, 32,x, 3,23则x=（D ） 时

7、321,线性相关。(A) 1 (B)2 (C) 4 (D ) 5 20向量组4,2,1, 11,2, 1, 3,02,14,7, 0330,2,1, 14的秩为 C （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 21设 A为 n 阶方阵 , 且0A，则 C (A) A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(B) A必有两行（列）对应元素乘比例( C) A 中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D) A中至少有一行（列）向量为零向量22向量组s,21线性相关的充要条件是( C ) (A) s,21中有一零向量(B) s,21中任意两个向量的分量成比例( C) s,21中有一向

8、量是其余向量的线性组合(D) s,21中任意一个向量均是其余向量的线性组合23若向量可由向量组s,21线性表出 , 则(C ) (A) 存在一组不全为零的数skkk,21, 使等式sskkk2211成立(B) 存在一组全为零的数skkk,21, 使等式sskkk2211成立( C) 向量s,21线性相关(D) 对的线性表示不唯一24对于 n 元方程组，正确的命题是（ D ）(A) 如 AX=0只有零解 , 则 AX=b有唯一解(B)AX=0 有非零解 , 则 AX=b有无穷解(C)AX=B 有唯一解的充要条件是0A( D) 如 AX=b有两个不同的解, 则 AX=b有无穷多解25设矩阵nmA的

9、秩为 r(A)=mn, mI为 m阶单位矩阵 , 下述结论正确的是 C (A)A 的任意 m个列向量必线性无关(B)A 的任意个m阶子式不等于零( C)A 通过初等变换 , 必可化为 (mI,0) 的形式(D)若矩阵 B 满足0BA, 则0B. 26非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n，方程个数为m ，系数矩阵A的秩为 r ，则（ A ）( A) r=m时, 方程组 AX=b有解(B) r=n时, 方程组 AX=b有唯一解(C) m=n 时, 方程组 AX=b有唯一解(D) rs, 则 ( D) (A) () 线性无关 (B) () 线性相关 (C) () 线性无关 ( D) ( ) 线

10、性相关32设n,21是 n 个 m维向量，且nm, 则此向量组n,21必定 ( A ) ( A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 含有零向量 (D) 有两个向量相等33矩阵 A 适合条件（ D ）时，它的秩为r (A)A 中任何 r+1 列线性相关 (B) A中任何 r 列线性相关(C) A中有 r 列线性无关 (D) A 中线性无关的列向量最多有r 个34若 m n 阶矩阵 A中的 n 个列线性无关则 A的秩（ C ）(A) 大于 m (B)大于 n (C) 等于 n (D) 等于 m 35若矩阵 A中有一个r 阶子式 D0，且 A中有一个含D的 r+1 阶子式等于零， 则一定有R（A）

11、 （ A ）( A) r (B)r (C)=r (D) =r+1 36要断言矩阵A的秩为 r ，只须条件（ D ）满足即可(A) A中有 r 阶子式不等于零(B) A中任何 r+1 阶子式等于零(C) A中不等于零的子式的阶数小于等于r ( D) A 中不等于零的子式的最高阶数等于r 37. 设 m n 阶矩阵 A，B的秩分别为21,rr，则分块矩阵（A，B ）的秩适合关系式（ A ）( A) 21rrr (B) 21rrr (C) 21rrr (D) 21rrr38 R(A)=n 是 n 元线性方程组AX=b有唯一解 ( C ) (A) 充分必要条件 (B) 充分条件 (C) 必要条件 (D

12、) 无关的条件39矩阵 A=1111的特征值为0,2, 则 3A 的特征值为 ( B ) (A) 2,2; (B) 0,6; (C) 0,0; (D) 2,6; 40 A=1111， 则222AAI的特征值为（ B ）(A) 2,2; (B) 2,-2; (C) 0,0; (D) 4,-4; 41APPB1,0是 A,B 的一个特征值, 是 A的关于0的特征向量 , 则 B的关于0的特征向量是 ( C ) (A) (B) P (C) 1P (D) P42 A满足关系式OEAA22，则 A的特征值是 C (A) =2 (B) = 1 (C) = 1 (D) = 2 是43已知 2 是 A=bx2

13、222220的特征值，其中b0 的任意常数，则x=（ D ）(A) 2 (B) 4 (C) 2 (D ) 4 44已知矩阵A=x44174147有特征值12,3321，则 x=（ D ）(A) 2 (B) 4 (C) 2 (D) 4 （提示：用 特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17）45设 A为三阶矩阵，已知0EA，02EA，03EA，则EA4 A ( A) 6 (B) 4 (C) 2 (D)4 46. 设 A为三阶矩阵，有特征值为1，-1 ，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（ D ）(A) E-A (B) E+A (C) 2E-A (D) 2E+A （二）计算题与填空题

14、10653IAA，则1A（）（IA5612）2设 A是43矩阵,2AR111211120B, 则BAR_2_3.设A为 3 阶矩阵，且|2A, 则行列式1|3|AA_（-1/2 ）4.12313,05,10,TTTttt当0,2t时 , 向量组321,线性无关 . 5设,112,231,5121TTTkk（）时可被向量组21,线性表出。（-8）6. 3100111100011312011001011001答案：1103490127. 设.111,111,111,221321TTTT则是否为向量组321,的线性组合？（是）8 确定ba,为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解. bxx

15、xxxaxxxxxxxxxxx43214321432143217107141253032. 答：当4, 1 ba时，解为2017023100212121cc，其中21,cc为任意非零常数; 当4, 1 ba时，解为2017002121k，其中k为任意常数 ; 方程组不存在唯一解. 9已知111111111A，矩阵X满足*12A XAX，其中*A是A的伴随矩阵，求矩阵X. 答 ：11010114101X10求下列矩阵的特征值与特征向量. （1）102010201 (2) 112202213.答案： (1) 1231,1,3，对应于11的全部特征向量是10,1, 0Tk，01k；对应于12的全部特

16、征向量是21,0,1Tk，02k；对应于33的全部特征向量是31,0,1Tk，03k. (2) 1230,1,对应于01的全部特征向量是1111k，1k 为非零常数；对应于132的全部特征向量为12002132kk，23,kk是不同时为零的常数；11. 三阶矩阵A的特征值为3, 2, 1321, 则1*12;,AAAAA的特征值为 ( ). (6; ;31,21, 1;2, 3, 6 2,.319,214) 12. 设矩阵kkA1012101有一个特征向量为121，求k及A的三个特征值. 答案：3k，A的三个特征值为1,3, 4. 13已知向量组TTTTTa7 ,4,0 , 3,6 , 1,

17、1,8 ,3,2, 1,7, 5, 1 , 1,1 ,2, 1 ,254321的秩为 3，求a及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。答案：421, 2a为一个极大无关组，31240,51240,14 设向量组kkk, 1, 1,1 ,2, 1,1, 1321， (1) k为何值时，21,线性相关？线性无关？ (2) k为何值时，321,线性相关？线性无关？ (3) 当321,线性相关时，将3表示为21,的线性组合 .答案： (1) 2k时线性相关，2k时线性无关； (2) 2,1k或2时线性相关；1k且2k且2k时线性无关； (3) 当1k时，2130；当2k时，21343

18、45. 15设,112210321A使 得 方 程 组bAX总 有 解 的b是 ( ). (123112201321kkk) 16. 已知向量Tk)1, 1(是矩阵211121112A的逆矩阵1A的特征向量，求常数k答案：1, 2k17矩阵A323513123的迹为。 （ 7）定义： 对于n阶方阵()ijAa，矩对角线元素之和称为方阵A的迹，记为trA，即nnaaatrA2211，定义2.15 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B， 则称 矩阵A与B等价 ，记作BA（三）证明题：1.设A为nm矩阵，B为sn矩阵，且0AB，证明nBrAr. 证设12(,)sB，则12(,)sABAAA，由0AB得0,1,2,iAis，所以矩阵B的列向量都是方程组0Ax的解 . 设rAr，如0r，则结论显然成立. 如nr，则方程组0Ax仅有零解，故0B，从而有nBrAr. 如nr0， 则方程组0Ax的基础解系中有rn个线性无关解向量. 由于B的列都能由基础解系线性表示，由定理 3.12 知，rnBr，所以nrnrBrAr. 2. 证明：对任意矩阵A，有TrA ArA. 证设A为nm矩阵，x为n维列向量，如果x满足0Ax，则有0AxAT，即0 xAAT，反之，如果0 xAAT，则0 xAAxTT，即0AxAxT，从而0Ax. 这说明方程组0Ax与0AxAT同解，所以ArAArT.