空间点线面之间位置关系知识点总结.pdf

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1、高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1 棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。1.2 圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.1 棱锥有一个面是多边形， 其余各面是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做棱锥。2.2 圆锥以直角三角形的一直角

2、边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。3.1 棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2 圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1 球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2. 三视图正视图；侧视图； 俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。4. 斜

3、二测法：在坐标系x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积 =原图形面积(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积圆锥的表面积2Srlr圆台的表面积22SrlrRlR球的表面积24SR扇形的面积公式213602n RSlr扇形（其中 l 表示弧长，r表示半径）2、空间几何体的体积柱体的体积VSh底锥体的体积13VSh底台体的体积1)3VSSSSh下下上上（球体的体积343VR第二章直线与平面的位置关系

4、2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 450，且横边画成邻边的2 倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母 、等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面 ABCD 等。3 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为AL BL = L AB公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：

5、 A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为： P =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性

6、，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a 与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0 ， ) ； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：

7、（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2.2. 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：D C B A L A C B A P L 共 面 直=ac 2222rrlS+=a b =aab 2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面

8、平行。符号表示：a b ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，

9、我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记作 L，直线L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时, 它们唯一公共点 P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l- 或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

10、。2.3.3 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图第三章直线与方程一、公式：1. 若直线的倾斜角为(90 )，则直线的斜率 k =tan。2. 过点111222(,)(,)P xyP xy和的直线的斜率为：2121yyxx3. 若不平行于 y 轴的两直线12/ /ll，则1k=2k；若两直线12ll，则1k2k= -1；4. 直线的点斜式方程：00()yyk xx5. 直线的斜截式方程：ykxb6. 直线的两点式方程：112121yyxxyyxx7. 直线的

11、截距式方程：1xyab8. 直线的一般式方程：0AxByC，此时，斜率为AB，截距为CB. 9. 对于两直线1111:0lA xB yC和2222:0lA xB yC（1）若12210A BA B，两直线相交；（2）若12210A BA B，两直线平行或重合；（3）若12120A AB B，若两直线垂直。10. 点1122(,)(,)xyxy和的中点坐标是1212)22xxyy（，11. 若111222(,)(,)P x yPxy和，则：22121212()()PPxxyy平面（公理 1、 公理 2、 公理 3、空间直线、平面的位置关系平面与平面的位置直线与平面的位置直线与直线的位置12. 点

12、00(,)0 xyAxByC到直线的距离为：0022AxByCAB二、基本注意点：1. 过点( , )a b，且平行于x轴的直线方程是：yb；2. 过点( , )a b，且平行于 y 轴的直线方程是：xa；三、典型习题：1. 求过点(2,3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程。解：截距不为 0 时，设两轴上的截距都为a, 则有直线方程为：1xyaa，将(2,3)带入上式可得：5a，所以直线方程为：155xy，即：50 xy；两轴上的截距都为0 时，则直线过原点(0,0)，由两点式可得：003020yx，即：320 xy综上所述：满足条件的直线方程为：50 xy或320 xy. （注：做本题时要

13、分截距为0 和截距不为 0 两种情况，切不可直接将方程设为1xyab，因为用该方程时，要求截距不为0。 ）2. 已知直线1:60lxmy，2:(2)320lmxym，求满足下列条件的m值：（1）12ll和相交； （2）12ll； （3）12/ /ll； （4）12ll和重合；解： （1）12ll和相交，12210A BA B，即：1 3(2)0mm解得: 13mm且（2）12ll，12120A AB B，即：1 (2)30mm解得：12m（3） （4）12210A BA B, 即：1 3(2)0mm解得: 13mm或检验：121:60,:3320,mlxylxy时，此时，两直线平行，所以，12

14、3:360,:360,mlxylxy时，此时，两直线重合综上所示：1m时两直线平行；3m时两直线重合 . 第四章圆与方程圆与方程2、1 圆的标准方程： 以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx. 2、2 点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d，圆半径为r ：(1)点在圆上d=r ；(2)点在圆外dr ；(3)点在圆内d r 2. 给定点),(00yxM及圆222)()( :rbyaxC. M在圆C内22020)()(rbyaxM在圆C上22020)()rbyax（M在圆C外22020)()(rby

15、ax2、3 圆的一般方程：022FEyDxyx . 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. 当0422FED时，方程表示一个点2,2ED. 当0422FED时，方程无图形（称虚圆）. 注： （1）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED. 圆的直径或方程：已知0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA2、4 直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种（1）若22BACBbAad，0相离rd；（2）0相切rd；（3）0相交rd。还可以利用直线方程与圆

16、的方程联立方程组0022FEyDxyxCByAx求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有 2 个公共解时（直线与圆有2 个交点） ，直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1 个公共解时（直线与圆只有1 个交点） ，直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为 ，圆心C到直线l的距离为 d, 则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0（2）相交d0；（3）相离dr0。2、5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21。（1）条公切线外离421rrd； （2）条公切线外切

17、321rrd；（3）条公切线相交22121rrdrr； （4）条公切线内切121rrd；（5）无公切线内含210rrd；外离外 切相 交内切内含2、6 圆的切线方程 ：圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022FEyDxyx上一点),(00yxP的切线方程为：0220000FyyExxDyyxx. 一般方程若点 (x0 ,y0) 在圆上，则 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx. 若点(x0 ,y0) 不在圆上，圆心为 (a,b) 则1)()(2110101RxakybRxxkyy，联立求出k切线方程 .