概率论与数理统计第三章.ppt

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1、概率论与数理统计第概率论与数理统计第三章三章 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系二维随机变量的例子二维随机变量的例子 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称 F(x,y)=PXx,Yy为(X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。(二).联合分布函数联合分布函数几何意义：分布函数几何意义：分布函数F()F()表示表示随机点随机点(X,Y)(X,Y)落在区域落在区域 中的概率。中的概率。概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科

2、技技学学院院数数理理系系一个重要的公式一个重要的公式yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(1)归一性归一性 对任意(x,y)R2,0 F(x,y)1,概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 (2)单调不减单调不减 对任意y R,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意x R,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2).(3)右连续右连续 对任意xR,yR,概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案

3、案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系1)求常数A，B，C。2)求P0X2,0Y0、20、|1，则称，则称(X,Y)服从参数为服从参数为 1,2,1,2,的的二维正态分布，可记为二维正态分布，可记为 (2)二维正态分布二维正态分布N(N(1 1,2 2,1 1,2 2,)若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)(X,Y)的密度函数为的密度函数为(P101)(P101)概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案

4、 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定义定义 n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)，如果存在非负的，如果存在非负的n n元函数元函数f f(x(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)使对任意的使对任意的n n元立方体元立方体 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定义定义 若若(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的全部可能取值为的全部可能取值为R Rn n上的上的有限或可列无穷多个点，称有限或可列无穷多个点，称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)为为n n维离维离散型的，称散型的

5、，称PXPX1 1=x=x1,1,X X2 2=x=x2 2,.X,.Xn n=x=xn n ，(x(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)为为n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)为为n n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(xf(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n)为为(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的概率密度。的概率密度。概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例例3 3 随机变量（随机变量

6、（X X，Y Y）的概率密度为）的概率密度为答答:PXPX 0=00=0 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系FY(y)F(+,y)PYy 称为二称为二维随机变量维随机变量(X,Y)关于关于Y的边缘分布函数的边缘分布函数.3.2 3.2 边缘分布与独立性边缘分布与独立性(一一)、边缘分布函数、边缘分布函数FX(x)F(x,+)PXx称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)关于关于X的边缘分布函数的边缘分布函数；边缘分布实际上是高维随机变量的某个边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些某些)低维分量的分布低维分量的分布。概概率率论论与与数数理理

7、统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 例例4 已知已知(X,Y)的分布函数为的分布函数为 求求FX(x)与与FY(y)。概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(二二)、边缘分布律、边缘分布律若随机变量若随机变量X与与Y的联合分布律为的联合分布律为 (X,Y)PXxi,Y yj,pij，i,j1,2,则称则称 PXxipi.，i1,2,为为(X,Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律；PY yjp.j ，j1,2,为为(X,Y)关于关于Y的边缘分布律。的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。边缘分布律自然也满足分布

8、律的性质。概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例例5 已知已知(X,Y)的分布律为的分布律为xy10 11/10 3/100 3/10 3/10求求X、Y的边缘分布律。的边缘分布律。解：解：xy10pi.11/10 3/1003/10 3/10 p.j 故关于故关于X和和Y的分布律分别为：的分布律分别为：X10Y10 P 2/53/5P2/53/52/53/52/53/5 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(三三)、边缘密度函数、边缘密度函数为为(X,Y)关于关于Y的边缘密度函数。的边缘密度函

9、数。设设(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,则称则称(p48)(p48)为为(X,Y)关于关于X的边缘密度函数的边缘密度函数；同理，称同理，称易知易知N(1,2,12,22,)的边缘密度函数的边缘密度函数fX(x)是是N(1,12)的的密度函数，而密度函数，而fX(x)是是N(2,22)的密度函数，故的密度函数，故二维正态分布二维正态分布的边缘分布也是正态分布的边缘分布也是正态分布。概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例 6()的联合密度函数为，设二维连续型随机变量YX()+=-其它，00yxcxeyxfy；试求：常数c的边缘密度函数及YX

10、解：，得由密度函数的性质()+-+-=dxdyyxf，1-+=yydxcxedy00 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例6（续）+-=022dyeycycc=22()+x()()+-=dyyxfxfX，的边缘密度函数为所以，X()=-000 xxxexfxX+-=xydyxexxe-=概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例6（续）时，当0y()+=-000212yyeyyfyY 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系设随机变量X与Y的联合分布律

11、联合分布律为 (X,Y)PXxi,Y yj,pij，(i,j1,2,)，X和Y的边缘分布律分别为 3.3 3.3 条件分布条件分布(一一).).离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系为Y yj的条件下，X的条件分布律条件分布律;若对固定的j,p.j0,则称同理，同理，对固定的i,pi.0,称为X xi的条件下，Y的条件分布律条件分布律;概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(二)连续型随机变量的条件概率密度定义.给定y，设对任意固定的正数0，极限

12、存在，则称此极限为在条件条件下X的条件分布函数.记作可证当 时 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当 时，.类似定义，当 时 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例7 解：的概率密度为设随机变量),(YX 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例 7（续）概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例7（续）概概率率论论与与数数理理统统计计电电

13、子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则由(3.3.3)知,当 时，.类似定义，当 时 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例 已知(X,Y)的概率密度为(1)求条件概率密度(2)求条件概率xy1解:概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(四四)、随机变量的相互独立性、随机变量的相互独立性 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系由上述定理可知，要判断两个随机变量由上述定理可知，要判断两个随机变量X

14、X与与Y Y的独立性，的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)(X,Y)的每的每一对可能取值点一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分布即可边缘分布的乘积都等于联合分布即可 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定义定义.设设n n维随机变量维随机变量(X(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的分布函数为的分布函数为F(xF(x1 1,x,x2 2,.x,.xn n),(X),(X1,1,X X2 2,.X,.Xn n)的的k k（1 1 kn)kn)维边缘分布维边缘分布函数就随之确

15、定，如关于函数就随之确定，如关于(X(X1,1,X X2 2）的边缘分布函数是）的边缘分布函数是F FX1,X2X1,X2（x x1 1,x,x2 2,)=F(x,)=F(x1 1,x,x2,2,.)若若X Xk k 的边缘分布函数为的边缘分布函数为F FXkXk(x(xk k),k=1,2,n,),k=1,2,n,(五五)n n维随机变量的边缘分布与独立性维随机变量的边缘分布与独立性 则称则称X1,X2,.Xn 相互独立，或称相互独立，或称(X1,X2,.Xn)是独立的是独立的。概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系则称离散型随机变量则称离散型

16、随机变量X1,X2,Xn相互独立。相互独立。设设X1，X2，Xn为为n 个连续型随机变量，若对任意个连续型随机变量，若对任意的的(x1,x2,xn)Rn，f(x1,x2,xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X1，X2，Xn相互独立。相互独立。概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系定义定义 设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数为的分布函数为FX(x1,x2,.,xn)；m维随机变量维随机变量(Y1,Y2,Ym)的分布函数为的分布函数为FY(y1,y2,ym),X1,X2,.,X

17、n,Y1,Y2,Ym组成的组成的n+m维随机变量维随机变量（X1,X2,.,Xn,Y1,Y2,Ym)的分布函数为的分布函数为F（x1,x2,.,xn,y1,y2,ym).如果如果F（x1,x2,.xn,y1,y2,ym).=FX(x1,x2,.xn)FY(y1,y2,ym)则称则称n维随机变量维随机变量(X1,X2,.Xn)与与m维随机维随机变量变量(Y1,Y2,Ym)独立。独立。概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例 8()的联合分布函数为，设二维随机变量

18、YX()+=10arctan25arctan212yxyxFppp，()+-+-yx，是否相互独立？与试判断YX解：的边缘分布函数为X 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例 8（续)()()yxFxFyX，+=lim+=+10arctan25arctan21lim2yxyppp+=5arctan21xpp()()+-，x的边缘分布函数为Y()()yxFyFxY，+=lim+=+10arctan25arctan21lim2yxxppp 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例 8（续）+=10ar

19、ctan21ypp()()+-，y，有，所以，对于任意的实数yx()+=10arctan25arctan212yxyxFppp，+=10arctan215arctan21yxpppp是相互独立的随机变量与所以YX 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 3.4 3.4 多维随机变量函数的分布多维随机变量函数的分布(一一)、二维离散型随机变量函数的分布律、二维离散型随机变量函数的分布律设二维离散型随机变量（X，Y），(X,Y)P(Xxi,Yyj)pij，i,j1,2,则 Zg(X,Y)PZzk pk,k1,2,(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)

20、(xi,yj)pijp12p13p14Z=g(X,Y)g(x1,y1)g(x1,y2)g(xi,yj)或 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系一和的分布例 9 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例 9（续），的取值都是与由于4321YX 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系的分布律为由此得YXZ+=概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科

21、科技技学学院院数数理理系系(二二)、多个随机变量函数的密度函数、多个随机变量函数的密度函数1、一般的方法：、一般的方法：分布函数法分布函数法 若(X1,X2,Xn)f(x1,x2,xn),(x1,x2,xn)Rn,Y=g(X1,X2,Xn),则可先求Y的分布函数:然后再求出Y的密度函数:概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系2、几个常用函数的密度函数 (1)和的分布 已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求ZXY的密度。z x+y=z x+y z 若X与Y相互独立，则ZXY的密度函数 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉

22、汉科科技技学学院院数数理理系系例 10 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 (2)商的分布 已知(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,求Z 的密度。y G1 0 x G2特别，当X，Y相互独立时，上式可化为 其中fX(x),fY(y)分别为X和Y的密度函数。概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 3、极大、极大(小小)值

23、的分布值的分布 设X1,X2,Xn相互独立，其分布函数分别为F1(x1),F2(x2),Fn(xn)，记MmaxX1,X2,Xn,NminX1,X2,Xn 则，M和N的分布函数分别为：FM(z)F1(z)Fn(z)概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 特别，当X1,X2,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n n;FN(z)11F(z)n n.进一步地，若X1,X2,Xn独立且具相同的密度函数f(x)，则M和N的密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n n1 1f(z)；fN(z)n1F(z)n n1 1f(z)

24、.概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例 11()()令：，密度函数为的分布函数为随机变量，是独立同分布的连续型，设xfxFXXXXn121L 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系()()()()()为，密度函数的分布函数为设随机变量xfxFXnnn 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 概概率率论论与与数数理理统统计计电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分 布的关系，了解条件分布。3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。4 要理解随机变量的独立性。5 要会求二维随机变量的和、商分布及多维随机 变量的极值分布和函数的分布。重点重点：随机变量的独立性、二维随机变量的和、商分布及多维随机变量的极值分布函数的分布。