第七章方差案例优秀PPT.ppt

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1、2022/11/51现有有5 5种治种治疗荨麻疹的新麻疹的新药，为了比了比较其其疗效，将效，将3030个病人随机分成个病人随机分成5 5组，每，每组6 6人。人。让同一同一组运用同一种新运用同一种新药，各病人治愈天数如，各病人治愈天数如7-17-1表表所示所示:表表7.1 57.1 5种治种治疗荨麻疹新麻疹新药治愈病人天数治愈病人天数问：5 5种种药物的物的疗效是否存在效是否存在显著差异？若存在著差异？若存在显著差异，差异体著差异，差异体现 在那些在那些药物之物之间？2022/11/52药物药物治愈天数治愈天数A16877108A2466356A3644523A4746635A59457762

2、022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组31.方差分析：方差分析：2.是一种是一种检验多个多个总体均体均值是否相等的是否相等的统计方法。方差分析主方法。方差分析主要用来探要用来探讨一个定量因一个定量因变量与一个或多个定性自量与一个或多个定性自变量的关系。量的关系。3.试验因素：因素：4.试验的的设计者希望考察的者希望考察的试验条件，或者条件，或者说就是方差分析探就是方差分析探讨的的对象，象，简称因素，也可称称因素，也可称为自自变量，如案例中的量，如案例中的药物。物。5.因素水平：因素水平：6.试验因素的某种特定状因素的某种特定状态或数量等或数量等级称称为因素水平，因素水

3、平，简称水称水平，事平，事实上就是因素的不同表上就是因素的不同表现。如案例中的。如案例中的5种种药物。物。若方差若方差分析只分析只针对一个因素一个因素进行，行，则称称为单因素方差分析。若方差分因素方差分析。若方差分析同析同时针对两个因素两个因素进行，行，则称称为双因素方差分析。双因素方差分析。2022/11/544.试验指指标：5.衡量衡量试验结果好坏程度的指果好坏程度的指标，也可称，也可称为因因变量，其量，其不同不同6.的取的取值常称常称为视察察值或或试验数据。在本章案例中，治愈数据。在本章案例中，治愈天天7.数就是数就是试验指指标。8.处理：理：9.依据因素的依据因素的给定水平定水平对试验

4、对象所做的操作。象所做的操作。这种操种操作就作就10.是是对因素划因素划类或确定数量等或确定数量等级，形成因素的不同水平。，形成因素的不同水平。因因11.素的一个水平就是一个素的一个水平就是一个处理。每个理。每个处理可看作一个理可看作一个试验条条12.件或一个件或一个总体。体。13.试验单元元14.接受接受处理的理的试验对象称象称为试验单元，元，简称称单元。如案元。如案例中例中15.接受治接受治疗的患者，一个患者就是一个的患者，一个患者就是一个试验单元。元。16.2022/11/552022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组62022/11/5版权全部版权全部 BY 统

5、计学课程组统计学课程组72022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组8治治愈愈天天数数A1A2A3A4A51.从散点图上可以看出 不同药物的治愈天数是有明显差异的 同一个药物不同患者的治愈天数也明显不同2.药物与治愈天数之间有确定的关系 假如药物与治愈天数之间没有关系，那么患者被治 愈的天数应当差不多相同，在散点图上所呈现的模 式也就应当很接近，不同药物的平均治愈天数就几 乎应当在一条水平线上。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组93.仅从散点图上视察还不能供应充分的证据证明不同药物的治愈天数之间有显著差异。4.须要有更精确的方法来检验这种差

6、异是否显著，也就是进行方差分析。所以叫方差分析，因为虽然我们感爱好的是均值，但在推断均值之间是否有差异时则须要借助于方差。5.不同药物的治愈天数之间的差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也有可能是系统性影响因素造成的。6.通过对数据误差来源的分析，推断不同总体的均值是否相等。2022/11/510数据误差的来源分为随机误差和系统误差。1.随机误差 因素的同一水平(总体)下，样本各视察值之间的差异。比 如，同一药物下不同患者的治愈天数是不同的。这种差异 可以看成是随机因素影响的结果，称为随机误差。2.系统误差 因素的不同水平(不同总体)下，各视察值之间存在差异。比如，不同药物的治愈时间之间的差异

7、。这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于药物本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差。2022/11/5112022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组12处理处理观测值观测值合计合计平均平均A1A2AiAk合计合计方差分析的数据结构（以单因素方差分析为例）方差分析的数据结构（以单因素方差分析为例）：因素A的第i个处理的第j次观测值 ：第i个处理的n个观测值之和 ：全部观测值的总和 ：第i个处理平均数 ：全部观测值的总平均数2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组13l方差分析中的统计模型，用来描述因素A的第

8、i个处理的第j次观测值 的形成机理。l结合本章案例，假设在第i个处理下的第j次观测是患者张三，则张三的治愈天数应当为：l 张三治愈天数=张三所在处理组的平均天数+l 随机因素对张三治愈天数的影响（可正可负）l =总平均天数+张三所在组平均天数与总l 平均天数之差+随机因素对治愈天数的l 影响2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组14这个差值说这个差值说明白什么？明白什么？设张三所在组的平均治愈天数为 ，总平均治愈天数为 ，随机因素的影响为 ，张三所在组的平均治愈天数与总平均治愈天数之差为 ，则张三的治愈天数可表达为：2022/11/515(1)每个总体都应听从正态分

9、布对于因素的每一个水平，其视察值是来自听从正态分布总体的简洁随机样本。(2)各个总体的方差必需相同各组视察数据是从具有相同方差的总体中抽取的(3)视察值是独立的各观测值彼此之间相互不影响在上述假定条件下，推断药物对治愈天数是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的五个正态总体的均值是否相等。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组16结合本章案例，方差分析要回答的问题就是5种不同的药物对治愈天数是否有显著影响，事实上就是检验五种药物的平均治愈天数是否相等。所建立的假设为：2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组17l方差分析方差分析检验多个

10、多个总体的均体的均值是否相等，或是否存在是否相等，或是否存在显著著差异，是从差异，是从对数据差异来源的分析入手的。数据差异来源的分析入手的。l从本章案例中可以看出，从本章案例中可以看出，试验数据的差异存在于如下三个数据的差异存在于如下三个方面：方面：l全部全部观测值存在差异存在差异l各水平（各水平（处理）内部理）内部观测值存在差异存在差异l各水平（各水平（处理）之理）之间观测值存在差异存在差异l上述各种差异上述各种差异产生的生的缘由只有两个方面，即系由只有两个方面，即系统性因素与性因素与随机性因素。数据差异源分析，就是通随机性因素。数据差异源分析，就是通过构造反映数据差构造反映数据差异的异的统

11、计量即离差平方和，并量即离差平方和，并对其其进行分解，确定数据差行分解，确定数据差异的异的缘由。由。2022/11/518总离差平方和反映全部观测值总变异的程度。总变异可能是随机因素与系统因素（试验因素）共同影响形成的。2022/11/519处理内（组内）离差平方和反映各处理内观测值的变异程度。组内离差平方和是某一特定处理下试验数据的差异程度，与试验因素（系统因素）的变更无关，所以该离差平方和反映了随机因素所导致的数据差异，也称误差平方和。2022/11/520处理间（组间）离差平方和反映重复n次的处理间观测值的变异程度。组间离差平方和既与试验因素（系统因素）的变更有关，也与随机因素有关，所以

12、该离差平方和反映了试验因素（系统因素）与随机因素共同所导致的数据差异。2022/11/5212022/11/522SSTSSASSE 总离差平方和因素A及随机因素导致的变差随机因素导致的变差组间离差平方和组内离差平方和前述的各离差平方和的确定值的大小受到处理的重复数的影响，为了消退重复数对离差平方和的影响，并实现各离差平方和之间的可比，须要将离差平方和改造为误差均方（也可称方差）。误差均方是将各离差平方和与其对应的自由度相除所得的结果。各离差平方和的自由度如下：2022/11/523离差平方和离差平方和自由度自由度SSTSSESSA(1)组内均方（组内方差）(2)组间均方（组间方差）假如原假设

13、成立，则表明没有系统误差，组间均方与组内均方差异就不会太大；假如组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差，推断因素的水平是否对其视察值有影响，事实上就是比较组间方差与组内方差之间差异的大小。2022/11/5242022/11/525组间离差平方和组内离差平方和组间方差组内方差受因素A和随机因素的影响只受随机因素的影响通过比较组间均方与组内均方之间的大小，来检验多个总体均值是否相等，是方差分析的基本思想。假如组间均方显著地大于组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅受随机因素，还有系统因素的影响，试验因素对试验指标有显著的影响；反之，若两者很接近，

14、说明各水平(总体)之间的差异仅有随机因素的影响，试验因素对试验指标无显著的影响。依据这一思想，可以构造检验的统计量。2022/11/5261.1.假如因素假如因素A A的不同水平的不同水平对试验结果没有影响，那么果没有影响，那么在在组间方差中只包含有随机方差中只包含有随机误差，两个方差的比差，两个方差的比值会接近会接近1 1。2.2.假如不同水平假如不同水平对试验结果有影响，果有影响，组间方差就会方差就会大于大于组内方差，内方差，组间方差与方差与组内方差的比内方差的比值就会就会大于大于1 1。3.3.当当这个比个比值大到某种程度大到某种程度时，就可以，就可以说不同水平不同水平之之间存在存在显著

15、差异，或者著差异，或者说因素因素A A对试验结果有果有显著影响。著影响。2022/11/527假如 ，则拒绝原假设，认为各水平均值之间存在显著差异，反之，不能拒绝原假设，认为各水平均值之间没有显著差异。2022/11/528 F F (k k-1,-1,nk-k)nk-k)0 0拒绝拒绝拒绝拒绝HH0 0不能拒绝不能拒绝不能拒绝不能拒绝H H H H0 0 0 0F F变差来源变差来源离差平方和离差平方和SSSS自由度自由度dfdf均方均方MSMSF F值值组组 间间SSASSAk-1k-1MSAMSAMSA/MSEMSA/MSE组组 内内SSESSEnk-knk-kMSEMSE总和总和SST

16、SSTnk-1nk-12022/11/529方差分析表（单因素）一般形式方差分析表（单因素）一般形式1.1.为为为为什么要什么要什么要什么要进进进进行多重比行多重比行多重比行多重比较较较较在方差分析中，不拒在方差分析中，不拒在方差分析中，不拒在方差分析中，不拒绝绝绝绝原假原假原假原假设设设设，表示拒，表示拒，表示拒，表示拒绝总绝总绝总绝总体均数相等的体均数相等的体均数相等的体均数相等的证证证证据据据据不足，分析不足，分析不足，分析不足，分析终终终终止；当原假止；当原假止；当原假止；当原假设设设设被拒被拒被拒被拒绝时绝时绝时绝时，我，我，我，我们们们们可以确定至少有两可以确定至少有两可以确定至少

17、有两可以确定至少有两个个个个总总总总体的均体的均体的均体的均值值值值有有有有显显显显著差异。但要著差异。但要著差异。但要著差异。但要进进进进一步一步一步一步检验检验检验检验哪些均哪些均哪些均哪些均值值值值之之之之间间间间有有有有显显显显著差异著差异著差异著差异还须还须还须还须要接受多重比要接受多重比要接受多重比要接受多重比较较较较的方法的方法的方法的方法进进进进行分析。行分析。行分析。行分析。2.2.什么是多重比什么是多重比什么是多重比什么是多重比较较较较多重比多重比多重比多重比较较较较是同是同是同是同时对时对时对时对各个各个各个各个总总总总体均体均体均体均值进值进值进值进行的两两比行的两两比

18、行的两两比行的两两比较较较较。方法很多，。方法很多，。方法很多，。方法很多，如如如如FisherFisher最小最小最小最小显显显显著差异（著差异（著差异（著差异（Least Significant DifferenceLeast Significant Difference，LSDLSD）方法、方法、方法、方法、TukeyTukey的的的的诚恳显诚恳显诚恳显诚恳显著差异（著差异（著差异（著差异（HSDHSD）方法或）方法或）方法或）方法或BonferroniBonferroni的方的方的方的方法法法法等。等。等。等。这这这这里我里我里我里我们们们们只介只介只介只介绍绍绍绍最小最小最小最小显显

19、显显著差异方法。著差异方法。著差异方法。著差异方法。2022/11/5302022/11/531(1)(1)(1)(1)提出假设提出假设提出假设提出假设 (2)(2)(2)(2)计算检验的统计量计算检验的统计量计算检验的统计量计算检验的统计量 (3)(3)(3)(3)决策决策决策决策 假如假如假如假如 或或或或 则拒绝则拒绝则拒绝则拒绝H0H0H0H0。2022/11/532l实际应用中，也可以按下列规则决策：实际应用中，也可以按下列规则决策：l首先计算检验统计量：首先计算检验统计量：l其次计算检验临界值：其次计算检验临界值：l最终进行统计决策：若最终进行统计决策：若 ，则拒绝原假设；反之不拒

20、，则拒绝原假设；反之不拒绝。绝。1.提出假提出假设2.计算各离差平方和及其自由度算各离差平方和及其自由度3.计算均方和算均方和F统计量量4.列方差分析表，列方差分析表，进行行F检验5.对原假原假设进行决策。若拒行决策。若拒绝原假原假设，则进行多行多 重比重比较2022/11/533l依据支配的依据支配的试验因素的多少，方差分析分因素的多少，方差分析分为单因素因素方差分析、两因素方差分析和多因素方差分析。方差分析、两因素方差分析和多因素方差分析。l单因素方差分析依据各因素方差分析依据各处理内重复数是否相等，分理内重复数是否相等，分为重复数相等与重复数不等的方差分析两种状况。重复数相等与重复数不等

21、的方差分析两种状况。l上上节探探讨的是重复数相等的状况，而重复数不等的的是重复数相等的状况，而重复数不等的方差分析的基本原理与重复数相等方差分析的基本原理与重复数相等时的的过程是一程是一样的，只是各离差平方和、自由度的的，只是各离差平方和、自由度的计算，以及多重算，以及多重比比较中中标准准误差的差的计算略有不同。算略有不同。2022/11/5342022/11/535依据本章案例介绍过程。依据本章案例介绍过程。1.建立假设：建立假设：2.计算各均值、各离差平方和、各均方、计算各均值、各离差平方和、各均方、F统计量，列方差分统计量，列方差分析表。这类计算比较麻烦，可借助相关软件完成。析表。这类计

22、算比较麻烦，可借助相关软件完成。2022/11/536差异源差异源SSdfMSFP-valueF crit组间组间47.47411.875.550.002452.76组内组内53.5252.14总计总计100.9829-方差分析表方差分析表2022/11/5373.统计决策：统计决策：从临界值来看，由于从临界值来看，由于 ，所以拒绝原假设；，所以拒绝原假设；从从P值来看，由于值来看，由于 ，所以拒绝原假设；所以拒绝原假设；4.进行多重比较进行多重比较 在显著性水平在显著性水平 时，时，由于由于 所以，水平所以，水平1和水平和水平2的均值之间存在显著差异。余此类推的均值之间存在显著差异。余此类推

23、【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，某市消费者协会对该地的旅游业、居民服务业、马路客运业和保险业分别抽取了不同数量的企业。每个行业中的这些企业在服务内容、服务对象、企业规模等方面基本相同。经统计，最近一年消费者对这23家企业投诉的次数资料如表7-7所示，消费者协会想知道:这几个行业之间的服务质量是否有显著差异？如果有，原委是在哪些行业之间？假如能找出哪些行业的服务质量最差，就可以建议对消费者权益爱护法中该行业的某些条款作出修正。2022/11/5382022/11/539 某地消费者对四个行业的投诉次数观测序列序列旅游旅游业A1居民服居民服务业A2公路客运公路客运业A3保保险业A41576

24、25170255495968346604863445545569554564760653557473.多重比较中检验统计量：4.其余操作与单因素方差分析过程一样。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组402022/11/541解:(1)建立假设 H0:1=2=m；H1:1，2，m不 全相等 (2)计算有关均值及平方和 ST=1175.913，SE=422，SA=753.913 方差来源方差来源离差平方和离差平方和S自由度自由度均方离差均方离差F值组间SA=753.9133251.3043F=11.315组内内SE=42219 22.21053总差异差异ST=1175

25、.91322方差分析表方差分析表(3)统计决策对于显著性水平=0.05，F0.05(3.19)=3.1274由于检验统计量 F=11.315 F0.05(3.19)，所以拒绝原假设 H0 ，即有95%的把握认为不同的行业之间投诉的差异显著。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组42(1)点击“工具”栏中的数据分析项；(2)在分析工具框中连击“单因素方差分析”；(3)在对话框的“数据区域”框中键入A3：C6；在框中保持0.05不变（也可依据须要变为0.01）；在“输出选项”中键入D3；选择“确定”，输出结果如表7-9所示：2022/11/5版版权全部全部 BY 统计学

26、学课程程组432022/11/544由题意及计算可知，k1=7，k2=6，k3=k4=5;第一步：提出假设假设1:H0:1=2;假设2:H0:1=3;假设3:H0:1=4假设4:H0:2=3;假设5:H0:2=4;假设6:H0:3=42022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组45其次步：计算检验统计量的值 第三步：计算LSD。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组45对四个行四个行业的均的均值进行多重比行多重比较（=0.05）2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组46第四步：进行决策2022/11/5版权全部版权全

27、部 BY 统计学课程组统计学课程组46由以上由以上计算可知，算可知，检验统计量量 ,的的值分分别小于小于LSD1、LSD2、LSD4的的值，显示旅游示旅游业与居民与居民服服务业的投的投诉次数之次数之间、旅游、旅游业与与马路客运路客运业投投诉次数之次数之间、居民服、居民服务业与与马路客运路客运业投投诉次数之次数之间没有没有显著差著差异；异；,的的值分分别大于大于LSD3、LSD5、LSD6的的值，显示旅游示旅游业与保与保险业的投的投诉次数之次数之间、马路客路客运运业与保与保险业投投诉次数之次数之间有有显著差异。著差异。对四个行四个行业的均的均值进行多重比行多重比较（=0.05）一、无交互作用的双

28、因素方差分析若记一因素为因素A，另一因素为因素B，对A与B同时进行分析，就属于双因素方差分析，即推断是否有某一个或两个因素对试验指标有显著影响，两个因素结合后是否有新效应。在统计学中将各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响称为交互作用。我们先探讨无交互作用的双因素方差分析问题，对于有交互作用的双因素方差分析问题稍后再探讨。2022/11/5版版权全部全部 BY 统计学学课程程组47假定因素A有r个水平：A1,A2,Ar；因素B有s个水平：B1,B2,Bs。在A的r个水平与B的s个水平的每种组合下作一次试验，可得无交互作用的双因素方差分析的数据结构下表所示：2022/11/5版权全部版权全部

29、BY 统计学课程组统计学课程组48 因素因素B因素因素AB1B2BS平均平均值A1x11x12x1sA2x21x22x2sArxr1xr2xrs平均平均值 推断因素A的影响是否显著等价于检验假设：H01:1.=2.=i.推断因素B的影响是否显著等价于检验假设：H02:.1=.2=.j 其中，r 表示A的第i个水平所构成的总体均值，s 表示的B第j个水平所构成的总体均值。2022/11/5版版权全部全部 BY 统计学学课程程组49与单因素状况类似，能够证明下列公式成立：2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组50 由数理统计可以证明：当 时 与单因素状况类似，可以证明S

30、T、SA、SB和SE的自由度分 别为2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组51平方和分解定理：设Q听从自由度为n的 分布，又Q1+Q2+Qk=Q，其中，Q（i=1,2,3,k）是秩为fi的非负二次型，则Q相互独立，并且听从自由度为fi的 分布的充要条件是f1+f2+fk=n(这里不做证明，证明参见有关数理教材)。明显，ST、SA、SB和SE满足平方和分解定理条件。2022/11/5版版权全部全部 BY 统计学学课程程组52由于SA反映因素A的各水平之间的差异，SB反映因素B的各水平之间的差异，SE反映在交互作用不显著时试验本身随机误差的大小。因此，可用以下统计量作为

31、检验统计量：2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组53方差来源方差来源方差方差S自由度自由度f均方均方MSF值A的影响的影响fA=r-1MSA=SA/fAFA=MSA/MSEB的影响的影响fB=s-1MSB=SB/fBFB=MSB/MSE误差差fE=(r-1)(s-1)MSE=SE/fE总和和fT=rs-12022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组54【例】为提高某种产品的合格率，考察原料用量和来源地对其是否有影响。原料来源地有三个：甲、乙、丙；原料用量有三种：现有量、增加5%、增加8%。每个水平组合各作一次试验，得到的数据如表下所示。试分析

32、原料用量和来源地对产品合格率的影响是否显著？2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组55原料用量原料用量 原料来源地原料来源地 现有量现有量B B1 1增加增加5%B5%B1 1增加增加8%B8%B1 1甲地甲地A A1 1595970706666乙地乙地A A2 2636374747070丙地丙地A A3 36161666671712022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组56解:(1)建立假设H01:1.=2.=3.H02:.1=.2=.3 (2)计算相应的均值和平方和：2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组57

33、 方差分析表方差来源方差来源方差方差S自由度自由度f均方均方MSF值因素因素ASA=26fA=2MSA=26/2=13FA=13/7=1.86因素因素BSB=146fB=2MSB=146/2=73FB=73/7=10.43误差差SE=28fE=4MSE=28/4=7总和和ST=200fE=82022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组58例例题分析分析 对于显著性水平=0.05，查表得临界值F0.05(2,4)=6.94，因为 FA=1.86 F0.05(2,4)，故不能拒绝H01;FB=1.86F0.05(2,12)=3.89,FB=92.25F0.05(2,12)=3

34、.89,FA*B=88.41F0.05(2,12)=3.89说明不仅冲压机的型号和垫片材料对垫片数量有显著影响，而且其交互作用也是显著的。由结构均值表可知，在冲压机中,第一种的均值较大；垫片材料中,木的均值较大，故最优方案是A1B3。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组76以例7.3为例，将数据输入到Excel工作表的区域为B2:D7，冲压机的二个水平A1、A2在第一列，垫片材料的水平B1、B2、B3在第一行。再按以下步骤进行：(1)点击“工具”栏中的数据分析项。(2)分析工具框中连击“方差分析：可重复双因素方差分析”。(3)在对话框的“数据区域”框中键入A1:D

35、7；在“每一样本的行数”框中键入3。在框中保持=0.05不变（也可依据须要变为0.01）；在“输出选项”中键入空白地方，如F2；选择“确定”，输出结果如表7-20所示：2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组77SUMMARY橡胶橡胶B1塑料塑料B2软木软木B3总计总计A1观测数观测数3339求和求和10.2611.8412.9835.08平均平均3.423.9466674.3266673.897778方差方差0.00360.0036330.0044330.158394A2观测数观测数3339求和求和11.5610.4311.7433.73平均平均3.8533333.

36、4766673.9133333.747778方差方差0.0030330.0030330.0086330.045694总计总计观测数观测数666求和求和21.8222.2724.72平均平均3.6366673.7116674.12方差方差0.0589870.0689370.05648方差分析方差分析差异源差异源SSdfMSFP-valueF crit样本样本0.1012510.1012523.040460.0004344.747225列列0.81194420.40597292.383065.15E-083.885294交互交互0.76803320.38401787.386857.03E-083.

37、885294内部内部0.052733120.004394总计总计1.73396117由表7-20于检验行因素冲压机A（Excel表中为“样本”）、用于检验列因素垫片材料B、用于检验冲压机A和垫片材料B交互作用A*B的p值均小于0.05，故不仅因素A和B对试验指标有显著影响，而且其交互作用也是显著的。由于A1的试验指标均值大于A2的试验指标均值，B3的试验指标均值大于B1和B2的试验指标均值，故最优方案应为A1B3，买第一种型号的冲压机、接受软木材料，这种组合的单位时间内生产的垫片最多。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组79一、试验设计的概念和设计原则试验设计有三

38、个基本原则：重复性、随机化和区组化。(1)重复性原则：重复性是指对一项试验要在相同的条件下重复进行若干次。只有进行多次的试验，才能驾驭其规律性。(2)随机化原则：随机化是指试验材料和试验地点都要随机地确定。这样进行试验得出的结论才具有客观性和普遍性，且每次进行的试验都可认为是相互独立的。(3)区组化原则：一组试验，试验者总希望在相同或近似相同的条件下进行，以便在相互比较中得出正确的结论。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组80第一、尽量削减试验误差。在试验时，要尽可能使对试验产生影响的其他因素达到理论中要求的精确程度，这样我们在对目的指标进行测算时才能达到较为客观

39、的结果。在一项试验中误差是必定存在的，我们的目的就是要尽量削减该误差。其次、尽量削减试验次数。试验的次数越多，进行试验所耗费的人力、物力也就会相应地增多，最佳的试验就是用完可能少的费用来获得最有效的试验结果。第三、所设计的试验要便于对指标值进行统计分析。影响一个事务的指标是多样的，在进行设计时要选择比较简洁测算且对事务影响较大的指标进行计算。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组81 在现实问题中，影响试验指标的因素通常有很多个，要考察它们就涉及多因子的试验设计问题。多因子试验中一个很困难的问题就是因子数较多，而又须要进行多次的试验。例如，有10个因子对某一指标有显

40、著影响，而每个因子取两个水平进行比较，那么就有210=1024个不同的水平组合，即每个水平组合作一次试验，就须要进行1024次试验，耗费的人力、财力可想而知，这在实际中是不行行的。因此，须要依据确定的方法从中选择一部分进行试验。常用的试验设计方法有正交试验设计法、参数设计法、回来设计法、匀整设计法、混料设计法等。限于篇幅，这里仅介绍正交试验设计的基础学问，其他方法请读者自行阅读试验设计的有关书籍。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组82 在多因子试验中，各因子又有不同的水平数，我们的目的是要从这些因子不同的水平组合中，找出一组或几组组合使所要求的指标达到最优。下面

41、以一个二因子的例子来具体相识一下多因子试验问题。例7.4 为提高合金钢的强度，同时考虑碳(C)含量(因子)及钛(Ti)与铝(AL)的含量(因子)对强度Y的影响，希望找出最佳的含量组合，使强度Y达到最大（表7-21）。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组832022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组842022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组85 一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一个因子水平制约的状况，称为因子A和B的交互作用，记作 或AB。因子A和B的交互作用可以用图形较为直观地表示。2022/11/5版权全部版

42、权全部 BY 统计学课程组统计学课程组862022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组87 因子间的交互作用会随着因子个数的增加而增加。如四个因子A，B，C，D间的交互作用有以下几类：(1)二级交互作用有6个：AB，AC，AD，BC，BD，CD；(2)三级交互作用有4个：ABC，ABD，ACD，BCD；(3)四级交互作用有1个：ABCD。交互作用共有11个，比因子个数还多。实践阅历表明，多数交互作用是不存在或者很小以至可以忽视不计的，一般我们主要考虑部分二级交互作用，但具体考察哪些二级交互作用还要依据下面的方法来确定。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组

43、统计学课程组88 正交试验设计法是利用正交表科学地选择试验条件，合理支配试验的方法，是探讨与处理多因素试验的一种科学方法。正交设计有两个重要的特点：（1）随意一对因子（也称因素）的任一水平组合必在试验中出现，且出现的次数相同；（2）总试验次数比全面试验（全部因子的任一水平组合都进行搭配）要少很多次。例如，对7个二水平因子进行全面试验要进行27=128次，而用正交表支配试验只须要作8次。用正交表合理地支配试验，可以做到省时、省力、省钱，还能得到令人满足的检验效果，因此这种方法在改进产品质量、探讨接受新工艺、试制新产品、了解设备工艺性能以及改进技术管理等方面都有广泛的应用。2022/11/5版权全

44、部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组89 正交表是正交设计的工具，是运用组合数学理论在正交拉丁方的基础上构造的一种规格化表格，符号为：其中，L为正交表符号；n为正交表的行数(试验次数，试验方案数)；j为正交表中每一列因子的水平个数；i为正交表的列数(试验因子的个数)。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组90 例如，表示一张8行7列，每列有两个水平的正交表（表7-22），它表示在这个试验中，要作8次不同条件的试验，共有7个影响因素，每个因素都有两个水平，我们称这张表为两水平的正交表。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组912022

45、/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组92 正交表具有正交性，这是指它有如下两个特征：（1）每列中不同的数字重复的次数相同。在表7.22中，每列有两个不同的数字：1，2，每一个各出现4次。（2）将随意两列的同行数字看成一个数对，那么随意可能数对重复的次数相等。在 中，随意两列有4种可能数对：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，每一对各出现2次。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组932022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组94正交表支配试验的步骤如下：（1）明确试验目的，确定要考察的试验指标。（2）确定要考

46、察的因子和因子的水平。（3）选用合格的正交表，进行表头设计。（4）依据试验号的支配进行试验，并记录试验指标的具体数据。（5）数据分析。对一个正交表形式的试验设计通常有三种分析方法：一是用极差分析各因子对指标影响程度的大小，这是一种较为简洁的直观分析方法；二是用方差分析进行数据分析；三是贡献率分析法。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组95例7.5 某化工厂生产的一种产品的收率较低，为此希望通过试验提高收率。在试验中考察如下三个因子三个水平（表7-23）：表7-23 因子水平表 2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组96解 由于所考察的因

47、子是三水平的，因此选用三水平正交表，又现在只考察三个因子，故选择 支配试验。选定了正交表后把因子放在正交表的列上去，称为表头设计。在例7.5中将三个因子置于前三列，将它写成如下的表头设计形式：2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组97九次试验的结果收率(%)分别是：51 61 58 72 69 59 87 85 84(一)用极差分析各因子对指标影响程度的大小1用直观分析表对该试验进行分析为便利起见，把试验结果写在正交表的右边一列上，并分别用 表示，全部计算可以在表上进行。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组98 首先来看第一列，该列中的

48、1，2，3分别表示因子的三个水平，按水平号将数据分为三组：“1”对应 ，“2”对应 ，“3”对应 。在其次列，该列中的1，2，3分别表示因子B的三个水平，按水平号将数据分为三组：“1”对应 ，“2”对应 ，“3”对应 。同理我们可以从图中得到第三列的状况。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组99 分别对每一列每个水平的数据进行相加，得到这个水平下该因子对应指标值的和，例如，2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组100 同理我们可以得到对应C水平的T1，T2，T3的值，用每个水平得出的Ti的值去除以3就得到其均值 。由以上计算可知，每个因

49、子下间的差异反映了这个因子三个水平间的差异；分别对三个因子的各个水平进行数值大小比较：因子A的三个水平均值差异较大，其第三个水平的均值最大，故因子A的三水平最好。对其次、三列进行类似地分析，可知因子B的其次个水平好，因子C的其次个水平好。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组101对第四列也可以进行上述分析，按其中的1，2，3分别将数据分为三组，但三组的水平组合相同，因此该列仅反映误差。综上可知，使指标达到最佳的水平组合是，即反应温度为90度、加碱量为48公斤、选取乙类催化剂可以使转化率达到最大。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组10

50、2 一个因子的极差是该因子各水平均值的最大值与最小值之差，假如该值大，则说明变更这一因子的水平会对指标造成较大的变更，所以该因子对指标的影响大，反之，则影响小。极差最大的列所对应的因子是最主要因子。当要求指标愈高愈好时，可选R行中最大者，所对应的水平为优水平；当要求指标愈低愈好时，可选R行中最小者其所对应的水平为优水平。2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计学课程组103在例7.5中各个因子的极差分别是：它们被置于表7-24的最下方一行。从三个因子的极差可知因子A的影响最大，其次是C，而因子B的影响则最小，通常记为 2022/11/5版权全部版权全部 BY 统计学课程组统计