三角形知识点总结讲解学习.pdf
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1、资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除word 可编辑三角形知识点总结一、基础知识1、三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. (三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点) 2、三角形的表示三角形 ABC用符号表示为ABC,三角形ABC的边 AB 可用边 AB所对的角C 的小写字母 c 表示, AC可用 b 表示, BC可用 a 表示 .三个顶点用大写字母A,B,C来表示。注意: (1) 三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接; (2) 三角形是一个封闭的图形;
2、 (3)ABC是三角形 ABC的符号标记,单独的没有意义3、三角形的分类: (1)按边分类:等腰三角形、等边三角形、不等边三角形(2)按角分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形4、三角形的主要线段的定义:(1)三角形的中线:三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段如图: (1) AD是 ABC的 BC上的中线 .(2)BD=DC= BC. 注意:三角形的中线是线段;三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点(重心)中线把三角形分成两个面积相等的三角形(2)三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段如图: ( 1)AD 是 ABC的 BAC的平分
3、线 . (2) 1=2= BAC. 注意:三角形的角平分线是线段;三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点(内心)角平分线上的点到角的两边距离相等(3)三角形的高: 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段如图: AD 是 ABC的 BC上的高线; AD BC于 D; ADB= ADC=90 . 注意:三角形的高是线段;锐角三角形的三条高的交点在三角形内部;钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部:直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点(垂心)由于三角形有三条高线,所以求三角形的面积的时候就有三种(因为高底不一样)(4)三角形的
4、中垂线:过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段如图: DE是 ABC的边 BC的中垂线; DEBC于 D;BD=DC 注意:三角形的中垂线是直线;三角形的三条中垂线交于一点(外心)小总结: 内心:三条角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心. 性质:到三边距离相等. 外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心. 性质:到三个顶点距离相等. 重心:三条中线的交点. 性质:三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2 倍. 垂心:三条高所在直线的交点. 资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除word 可编辑5、三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.
5、注意: (1)三边关系的依据是:两点之间线段最短;(2)围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边 6、三角形的角与角之间的关系: (1)三角形三个内角的和等于(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和; (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 7、三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180推论:直角三角形的两个锐角互余。 8、三角形的外角的定义: 三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 注意:每个顶点处都有两个外角,但这两个外角是对顶角.(所以一般我们只研究一个)如:ACD、 BCE都是 ABC的外角,且 ACD= BC
6、E. 所以说一个三角形有六个外角,但我们每个一个顶点处只选一个外角,这样三角形的外角就只有三个了 . 三角形外角的性质:(1)三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和(2)三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角9、三角形的稳定性:三角形的三边长确定,则三角形的形状就唯一确定,这叫做三角形的稳定性10、多边形:在同一平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。(1)多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。(2)正多边形: 各边相等,各角都相等的多边形叫做正多边形(3)多边形的内角和为(n-2)*180 度 ;多边形的外角和为 360 度二、等腰三角形1
7、、等腰三角形的概念定义: 有两边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角2、三角形的性质( 1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”)(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边上的中线互相集合(简称为“三线合一” )3、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边” )注意:要正确区分等腰三角形的性质和判定4、等边三角形定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形注意:等边三角形是等腰三角形的特殊情况,它是底边与腰相等的等腰三角形5、等边三角形的性质和判定性质: (1)
8、等边三角形的三条边都相等(2)等边三角形的每一个角都等于60 度判定: (1)各边或角都相等的三角形是等边三角形(2)有一个角等于60 度的等腰三角形是等边三角形资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除word 可编辑相关规律:( 1)边长为a 的等边三角形面积等于( 2)等边三角形的内心、外心、垂心和重心重合于一点三、直角三角形1、定义:有一个角为直角 的三角形称为 直角三角形 。在直角三角形中,直角相邻的两条边称为 直角边 。直角所对的边称为斜边 。直角三角形直角所对的边也叫作“ 弦” 。若两条直角边不一样长,短的那条边叫作“ 勾” , 长的那条边叫作“ 股” 。2、分类:直角三角形如图所示
9、:分为两种情况,有普通的直角三角形,还有等腰直角三角形(属于特殊情况) 3、判定定理等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质: 稳定性, 两直角边 相等直角边夹亦直角锐角45,斜边上中线角平分线垂线 三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径 R。直角三角形是一种特殊的三角形4、特殊性质它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图,BAC=90 ,则AB2 +AC2 =BC2(勾股定理 ) 性质 2:在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若BAC=90 ,则 B+ C=90 性质 3:在直角三角形中,斜边 上的中线等
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