第三章第3节-单自由度系统的强迫振动优秀PPT.ppt
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1、3.3 3.3 系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分求解系统随意激励响应的方法求解系统随意激励响应的方法 该方法是用傅里叶积分来表示激励,它是由傅里叶该方法是用傅里叶积分来表示激励,它是由傅里叶级数通过包括令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。级数通过包括令周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。实质上激励不再是周期性的。实质上激励不再是周期性的。该方法是将激励视为持续时间特别短的脉冲的叠加,该方法是将激励视为持续时间特别短的脉冲的叠加,引用卷积积分的方法,对具有任何非齐次项的微分方程,引用卷积积分的方法,对具有任何非齐
2、次项的微分方程,都可以用统一的数学形式把解表示出来,而且所得到的都可以用统一的数学形式把解表示出来,而且所得到的解除代表强迫振动外,还包括伴随发生的自由振动。解除代表强迫振动外,还包括伴随发生的自由振动。傅里叶积分法傅里叶积分法卷积积分法卷积积分法3.3 3.3 系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲 一一单单位位脉脉冲冲输输入入,具具有有零零初初始始条条件件的的系系统统响响应应,称称为系统的为系统的脉冲响应脉冲响应。宽度宽度T0,高度,高度1/T0的矩形脉冲,如图的矩形脉冲,如图3
3、.3-1(a)所示。所示。这个矩形脉冲的面积为这个矩形脉冲的面积为1。为为了了得得到到单单位位脉脉冲冲,使使脉脉冲冲宽宽度度T0接接近近于于零零,而而保保持面积为持面积为1。图 3.3-13.3 3.3 系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲在极限状况下,单位脉冲的数学定义为在极限状况下,单位脉冲的数学定义为 这这个个脉脉冲冲发发生生在在t=0t=0处处,如如图图3.3-3.3-1(b)1(b)所所示示。假假如如单单位位脉脉冲冲发发生生在在t=at=a处,则它可由下式定义处,则它可由
4、下式定义(3.3-1)(3.3-2)留留意意,(t-a)(t-a)是是一一个个沿沿着着时时间间轴轴的的正正向向移移动动了了a a时时间间的的单位脉冲。单位脉冲。图 3.3-13.3 3.3 系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应单位脉冲单位脉冲 数数学学上上,单单位位脉脉冲冲必必需需具具有有零零脉脉冲冲宽宽度度、单单位位面面积积和和无无限限的的高高度度。这这样样的的脉脉冲冲模模型型不不行行能能在在现现实实应应用用中中实实现。现。在在具具体体系系统统的的脉脉冲冲试试验验中中,若若激激励励的的持持续续时
5、时间间同同系系统统的的固固有有周周期期(T=1/f(T=1/f)相相比比时时特特别别的的短短,则则激激励励就就可可以以考虑为一个脉冲。考虑为一个脉冲。函函数数的的单单位位为为s-1,在在其其它它方方面面的的状状况况,函函数数将将有有不同的量纲。不同的量纲。具具有有上上述述特特性性的的任任何何函函数数(并并不不确确定定是是矩矩形形脉脉冲冲),都可用来作为一个脉冲,而且称为都可用来作为一个脉冲,而且称为 函数。函数。3.3 3.3 系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应 如如果果在在t=
6、0与与t=a处处分分别别作作用用有有瞬瞬时时冲冲量量 ,则则对对应应的的脉冲力脉冲力可方便地写成可方便地写成式中式中 的单位为的单位为Ns。单单自自由由度度阻阻尼尼系系统统对对脉脉冲冲力力 的的响响应应,系统振动微分方程为系统振动微分方程为 假定系统在作用脉冲力假定系统在作用脉冲力F(t)之前处于静止,即之前处于静止,即(3.3-3)(3.3-4)(3.3-5)由于由于F(t)F(t)作用在作用在t=0t=0处,对于处,对于t t 0+0+,系统不再受脉冲力的,系统不再受脉冲力的作用,但其影响照旧存在。作用,但其影响照旧存在。3.3 3.3 系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激
7、励的响应系统对随意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应 把把求求解解单单自自由由度度阻阻尼尼系系统统对对脉脉冲冲力力F(t)的的响响应应问问题题变变换换为为系系统统对对于于零零初初始始条条件件的的响响应应问问题题,将将变变成成t=0+处处的初始条件引起的自由振动。的初始条件引起的自由振动。为为了了找找出出t=0+的的初初始始条条件件,对对方方程程(3.3-4)在在区区间间0-t 0+上积分两次,有上积分两次,有(3.3-6)因为因为(3.3-7)则方程则方程(3.3-6)(3.3-6)中的左端其次项、第三项、右端项的积分中的左端其次项、第三项、右端项
8、的积分值均为无限小量,可以略去不计。值均为无限小量,可以略去不计。3.3 3.3 系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应依据式依据式(3.3-6),(3.3-6),考虑到考虑到x(0-)=0 x(0-)=0,则有,则有也也就就是是说说,在在脉脉冲冲力力 作作用用的的极极短短时时间间内内,质质量量m还还来不及发生位移来不及发生位移。x(0+)=0(3.3-8)对方程对方程(3.3-4)在区间在区间0-t 0+上积分一次,有上积分一次,有(3.3-9)同理,得同理,得(3.3-10)若系
9、统在脉冲力作用之前静止,脉冲力使速度产生瞬时若系统在脉冲力作用之前静止,脉冲力使速度产生瞬时变化,可以认为在变化,可以认为在 t=0 时作用的脉冲力等效于时作用的脉冲力等效于初始速度初始速度 3.3 3.3 系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应 方程方程(3.3-4)等价于初始速度引起的自由振动,即等价于初始速度引起的自由振动,即(3.3-11)其解为其解为(3.3-12)令令 ,则则系系统统受受单单位位脉脉冲冲力力 F(t)=(t)的的作作用用,其其响应称为响应称为脉冲响应脉冲响
10、应。3.3 3.3 系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分1 脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应脉冲响应为脉冲响应为(3.3-13)3.3 3.3 系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分2 卷积积分卷积积分 利利用用脉脉冲冲响响应应,可可以以计计算算对对随随意意激激励励函函数数F(t)F(t)的的响响应应,把把F(t)F(t)视视为为一一系系列列幅幅值值不不等等的的脉脉冲冲,用用脉脉冲冲序序列列近近似地代替激励似地代替激励F(t)F(t)。如如图
11、图3.3-23.3-2所所示示,在在随随意意时时刻刻t=t=处处,相相应应的的时时间间增增量量为为,由由一一个个大大小小为为F(F()的的脉脉冲冲,相相应应的力可以用数学表示为的力可以用数学表示为因因为为在在t=处处对对脉脉冲冲响响应应为为h(t-),所所以以此此脉脉冲冲的的响响应应为为其其单位脉冲响应和脉冲强度的乘积,即单位脉冲响应和脉冲强度的乘积,即图 3.3-23.3 3.3 系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应系统对随意激励的响应 卷积积分卷积积分卷积积分卷积积分2 卷积积分卷积积分(3.3-14)通过叠加,求出序列中每一脉冲引起的响应的总和通过叠加,求出序列中
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