立体几何专题六 外接球与内切球问题知识点+典型例题+变式训练(教师版).docx

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1、立体几何专题六 外接球与内切球问题(教师版)立体几何中的外接球与内切球问题，是立体几何的常考题型，也是难点问题。知识准备：1. 直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点处，2. 求三角形外接圆半径常用正弦定理:abc，sin A = sin B = sin C = 2R,(R为三角形外接圆的半径)3. 球心与截面圆的圆心的连线垂直于截面圆一、外接球的问题在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心此类问题实质是解决球的半径或确定球心 0 的位置问题，其中球心的确定是关键，主要掌握以下十种题型。【题型一】 正方体或长方体的外接球的球心其体对角线

2、的中点若长方体的长、宽、高分别为a ， b ， h ，则长方体的外接球半径是 1a2 + b2 + h2 2【例 1】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为 9p【答案】2【解析】设正方体的边长为a ，则6a2 = 18 a =3 ，其外接球直径为2R =3a = 3 ，故这个4279球的体积V = 4 R3 = = 3382【例 2】长方体的三个相邻面的面积分别为 2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上， 则这个球的面积为()A. 7 B.56C.14D.642分析：长方体的外接球直径为常长方体体对角线长。ab = 2a = 2解析： C.

3、设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c，则bc = 3 ，得b = 1 ,ac = 6c = 3令球的半径为 R，则(2R )2 = 22 + 12 + 33 = 14, R2 = 7 。2S =4p R2 =4p R2 = 14p 。球【变式 1】 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是 12，那么这个正方体的体积是()33A.B4C8D24解析： C设球的半径为R，则 4R212，从而 R 3，所以正方体的体对角线为 2 3，故正方体的棱长为 2，体积为 238，故选 C.【变式 2】若长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3，4，5则长方体外接球的表面积为（）A

4、 40 B 35 C 50 D 60 设球的半径为 R ，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则（2R）2 = 32 + 42 + 52 = 50 ， R = S5 22球= 4 R2 = 50 ，故选 C【题型二】正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点，直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。【例 1】已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB1，AC 3 ，ABAC，AA14，则球 O 的表面积为A5 pB10 pC20 pD 20 5p3【答案】C【解析】由直棱柱的外接球的半径与底面三角形的外接圆的半径和棱柱高的一半构成直

5、12 + ( 3)2角三角形AB = 1 ， AC = 3 ， AB AC ，外接圆的半径r = 1 BC = 1 = 1 ，22球心到底面的距离h = 1 AA = 2 ，球的半径满足 R2 = r 2 + h2 = 12 + 22 = 5 ，球O 的表面积为214p R2 = 20p 【例 2】直三棱柱 ABC - A B C 的各顶点都在同一球面上，若 AB = AC = AA= 2 , BAC = 120 ，1 1 11【答案】【解析】在DABC 中 AB = AC = 2 , BAC = 120 ,可得 BC = 2 3 ,由正弦定理,可得DABC 外接圆则此球的表面积等于.半径 r

6、=2,设此圆圆心为O ，球心为O ，在RT DOBO中，易得球半径R =5 ，故此球的表面积为4p R2 = 20p .【变式 1】已知三棱柱 ABC - A B C 的 6 个顶点都在球 O 的球面上 ,若 AB = 3，AC = 4 ,1 1 1AB AC , AA = 12 ,则球O 的半径为1（）A 3 172B 2 10C 132D 3 10【答案】C【解析】由球心作面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 中点 M.计算 AM= 5 ，由垂径定理，OM=6，2所以半径 R= 13 ,选 C.( 5)2 + 6222【变式 2】已知四棱锥 P - ABCD 的顶点都在球O 上，底面 ABC

7、D 是矩形，平面 PAD 平面ABCD ， DPAD 为正三角形， AB = 2 AD = 4 ,则球O 的表面积为A. 32 pB. 32pC. 64pD. 64p33解 如图 2，将四棱锥 P - ABCD 补为一个三棱柱 PAD - QBC ,因为DPAD 为正三角形，AD = 2 ,22 + 23 232 34 3所以DPAD 的外接圆的半径为3p 4 3 2 = 64 p，所以球O 的半径为 R =,所以球O 的333表面积为4 图 2【题型三】棱长相等的正四棱锥的外接球的球心在底面正方形的中心，其它正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过计算找到【例 1】正四棱锥的顶点都在同一个

8、球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为()81A 4 B16C927D 4 解析：A设正四棱锥 PABCD，外接球心 O 在 PE 上，半径为 R，AE12AE2OE2，R22(4R)2，2AC 2，OEPEPO4R，OAR9，S4R281，故选 A.44【例 2】在正四棱锥 P - ABCD 中，已知PBC = 60 ，若P 、 A 、B 、C 、D 都在球O 的表面上, 则球O 的表面积是四边形 ABCD 面积的（）A2 倍B 倍C 2 倍D 2 倍解析：答案为 D。设正四棱锥的底面 ABCD 的边长为a ，则四边形 ABCD 的面积为a2 ， 从 P 向 ABCD

9、作 PO 平面 ABCD ，则垂足O 为底面 ABCD 的中心，因为PBC = 60 ，所以侧面都是边长为a 的等边三角形， PB = a ， OB =22 a ，则 PO = PB2 - OB2 =22 a ，2所以OA = OB = OC = OD = OP = R =a ，所以球的表面积S = 4R2 = 2a2 ，2所以S SABCD= 2a2 = 2 ，所以选 Da2【变式 1】 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为2 2 ，则该球的体积为.解 如图所示，正四棱锥P - ABCD 的外接球的球心O 在它的高PO 上，设球的半径为 R ,底面边长为 2 2

10、，所以 AC = 4 ,在1RtDAO O 中， OA2 = O O2 + O A2 , 即 R2 = (4 - R )2 + 22 , 所以54125pR =，所以球的体积V =p R3 =236【变式 2】已知正四棱锥 P - ABCD (底面四边形 ABCD 是正方形，顶点 在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为 10 ，若该正四棱锥的体积为 50 ，则3此球的体积为（）A18B 8 6C 36 D 32 3【答案】C【解析】如图，设正方形 ABCD 的中点为 E ，正四棱锥P - ABCD 的外接球心为O ，底面正方形的边长为 10 ， EA = 5 ，正

11、四棱锥的体积为 50 ，V= 1 ( 10 )2 PE = 50 ，3P- ABCD33则 PE = 5 ，OE = 5 - R ，在AOE 中由勾股定理可得：(5 - R)2 + 5 = R2 ，解得 R = 3 ，V球=R3 = 36 ，故选 C43【题型四】若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心【例 1】在矩形 ABCD 中，AB = 4, BC = 3 ,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B - AC - D ,则四面体 ABCD 的外接球的体积为（）A. 125 pB.125 pC.125 pD.125 p12963544125125解析

12、： 2R = AC = 5, R =,V =p R3 =p =p .23386【变式 1】在矩形 ABCD 中， AB = 2, BC = 3 ,沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，连接AC，所得三棱锥 A - BCD 的外接球的表面积为 .解析：BD 的中点是球心 O, 2R = BD = 13, S = 4p R2 = 13p .【变式 2】已知ABC = 90 ， PA 平面 ABC，若 PA = AB = BC = 1 ，则四面体 PABC 的外接球（顶点都在球面上）的体积为（）A pB 3pC 2pD3p 2解析：D取 PC 的中点 O，连接 OA，OB，由题意得 PA BC ， 又因

13、为 AC BC, PC AC = A ，所以 BC 平面 PAC ，所以BC PB ，在 RtDPBC , OB = 1 PC ，同理OA = 1 PC ，所以22OA = OB = OC = 1 PC ，因此 P，A，B，C 四点在以 O 为球心的球面上，在 RtDABC 中，2AC =AB2 + BC2 =2. 在 Rt DPAC 中，PC =PA2 + AC 2 =3 ，球 O 的半径 R = 1 PC =3 ，22D.4 p 3 3 =3 p2所以球的体积为3，故选：2【题型五】正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体这个球的表面积（）A

14、4pB 8pC12pD 24 p【例 1】已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且这个正三棱锥的所有棱长都为2 2 ，求【解析】设该正三棱锥为 A - BCD ，将三棱锥 A - BCD 补成正方体 AEBF - GCHD ，如下图所示： 则正方体 AEBF - GCHD 的棱长为2 2 2 = 2 ，该正方体的体对角线长为2 3 ，2所以，正三棱锥 A - BCD 的外接球直径为2R = 2 3 ，可得 R = 3 ， 该球的表面积为S = 4p R2 = 12p .故选：C.【例 2】已知三棱锥 P-ABC 中，PB平面 ABC，ABC90，PA 5，ABBC1，则三棱锥 P-AB

15、C 的外接球的表面积为()A. 2 C24解析：答案为 BB. 64 6D.3如图，PB平面 ABC，PBAB，AB1，PA 5，PB2，又 ABBC，把三棱锥 P-ABC 补形为长方体，则长方体对角线长为 221212 6，则三棱6 62锥 P-ABC 外接球的半径为 2 ，三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为 4 2 6.故选 B.【变式 1】球面上有 A, B, C, D 四个点，若 AB, AC , AD 两两垂直，且 AB = AC = AD = 4 ，则该球的表面积为（）A 80p3B 32pC 42 pD 48p解析：D由题意可知，该球是一个棱长为 4 的正方体的外接球， 设球

16、的半径为 R ，由题意可得： (2R )2 = 42 + 42 + 42 ,据此可得： R2 = 12 ，外接球的表面积为： S = 4p R2 = 4p 12 = 48p .【题型六】同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体或正方体【例 1】在三棱锥 P - ABC 中，底面DABC 是以 AC 为斜边的直角三角形，且 PA 平面 ABC ， 若 PA = 3 ， AC = 4 ，则三棱锥 P - ABC 外接球的表面积为 .解析：把三棱锥放在以 PA, AB, BC 的长度为棱长的长方体中，三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径

17、， 2R =PA2 + AB2 + BC2 =PA2 + AC2 =9 +16 = 5则三棱锥 P ABC 外接球的表面积 S= 4p R2 = 25p 故答案为：25.【例 2】在三棱锥 S - ABC 中，SA = BC = 41 ，SB = AC = 5 ，SC = AB = 34 ， 则三棱锥 S - ABC 外接球的表面积为（）A 25B100C 50 D 50 2解析：答案为 C。对棱相等的三棱锥可以补为长方体（各个对面的面对角线），a2 + b2 = 41设长方体的长、宽、高分别是a ， b ， c ，则有b2 + c2 = 25 ，a2 + c2 = 34三个式子相加整理可得a

18、2 + b2 + c2 = 50 ，所以长方体的对角线长为5 2 ，所以其外接球的半径 R = 5 2 ，所以其外接球的表面积S = 4R2 = 50 ，故选 C2【变式 1】在三棱锥 A - BCD 中，AB = CD = 2, AD = BC = 3, AC = BD = 4 ,则三棱锥 A - BCD 外接球的表面积为 .(解析：补形为长方体，三个长度为相邻三个面的对角线长，设长方体的长宽高分辨为a,b,c,则a2 + b2 = 9,b2 + c2 = 4,c2 + a2 = 16 。 2a2 + b2 + c2)= 9 + 4 + 16 = 29 ，29 ， 429= 29222a2

19、+ b2 + c2 =R2 =, Sp .【变式 2】设正三棱锥 A - BCD 的所有顶点都在球O 的球面上， E ， F 分别是 AB ， BC的中点， EF DE ，且 EF = 1 ，则球O 的表面积为 解析： E,F 分别是 AB,BC 的中点，EFAC,又 EFDE,AC DE,取 BD 的中点 O,连接 AO,CO.三棱锥 A - BCD 为正三棱锥，AO BD, CO BD, BD 平面AOC ,又 AC 平面AOC , AC BD , 又 DE BD = D , AC 平面ABD, AC AB, AC AD. 同理可知：正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直。 EF = 1 ，则AC

20、=AB=AD=2. 侧棱长均为 2，将正三棱锥恢复为棱长为2的正方体，其外接球为同一球，正方体的体对角线长为外接球的直径，因此R = 2 3 = 3 ,球3O 的表面积为4p R3=12p 。【题型七】侧棱与底面垂直的棱锥的外接球【例 1 】已知三棱锥 S - ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， 且 SC 平面 ABC , 若SC = AB = AC = 1, BAC = 120 ,则球O 的表面积为. 根据球的对称性，画出球和平面 ABC 的截面圆，构建 RtD 利用勾股定理求出球的半径.解：如图 1 所示，设 DABC 的外接圆的圆心为O ，由题可知AB = AC = 1，BAC =

21、 120 ,则O B = 1 ,所以球心 O 在O 的正上方，且OO = 1 SC = 1 ，所以外接球的半径r = 1+ 1 2 =5 ，所以球O2222的表面积为 S = 4p r 2 = 5p【例 2】体积为 3的三棱锥 PABC 的顶点都在球 O 的球面上，PA平面 ABC，PA2，ABC120，则球 O 的体积的最小值为( )7 7A. 3 19 19C. 3解析：答案为 BB.28 7 376 19D. 3设 ABc，BCa，ACb，由题可得 31 S2，解得 S3 3 因为ABC120，3 313ABCABC 2 .S acsin 120，所以 ac6，由余弦定理可得 b2a2c

22、22accos 120a2c2ABC22minac2acac3ac18，当且仅当 ac 时取等号，此时 b3 2.设ABC 外接圆的半径为 r，b3 2则sin 1202r(b 最小，则外接圆半径最小)，故3 2rmin，所以rmin 6.如图，设O 为ABC12111外接圆的圆心，D 为 PA 的中点，R 为球的半径，连接 O A，O O，OA，OD，PO，易得 OO1，R2r2OO2r21，当 r 6时，R2 617，R 7，故球 O 体积的最小值14428 7minminmin为 R3 ( 7)3.3min33【变式 1】三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在同一个球面上，其中PA平面 AB

23、C，ABC 是正三角形，PA2BC4，则该球的表面积为 643球心应位于过正三角形 ABC 的中心且垂直于平面 ABC 的直线上，又 PA平面 ABC，2 324 3PA4，所以球心 O 到平面 ABC 的距离为 2，所以球的半径 r64球的表面积为 S4r2 3 .223 3 ，所以【题型八】侧面与底面垂直的三棱锥的外接球D. 3 【例 1】三棱锥 PABC 中，平面 PAC平面 ABC，ABAC，PAPCAC2，AB4，则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为()A.23解析：答案为 DB.234C.6464如图，设 O为正PAC 的中心，D 为 RtABC 斜边的中点， H 为 AC 中点

24、.由平面 PAC平面 ABC.则 OH平面 ABC.作OOHD，ODOH，则交点 O 为三棱锥外接球的球心，2232 314连接 OP，又OPPH 2，OODH AB2.R2OP2OP2OO2 416 3 .33232364故几何体外接球的表面积 S4R2 3 .【例 2】三棱锥 A - BCD 的一条长为 a ，其余棱长均为1 ，当三棱锥 A - BCD 的体积最大时， 它的外接球的表面积为()A. 5pB. 5pC. 5pD. 5p3468解析：A 不妨设 BC = a 。底面积不变，高最大时体积最大，所以，面 ACD 与面 ABD 垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为 a，其余棱长均为

25、 1，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径31 232 25R2 = 21 3 + 21 3 =。经过这个四面体12所有顶点的球的表面积： S = 4p R2 = 4p 5 = 5p .故选 A。123【变式 1】已知菱形 ABCD 边长为 2， A = 600，将 DABD 沿对角线 BD 翻折形成四面体 ABCD ，当四面体 ABCD 的体积最大时，它的外接球的表面积为 解析：当平面 ABD 平面CBD 时，四面体体积是最大，当体积最 大时，设 DABD 外心为O ， DCBD 外心为O ，过O ,O ，分别作平面面CBD 与平21123 2 2 3 25333面 ABD 的垂线

26、交于O ，则O 即是外接球的球心， R2 = OC2 = + =，外接球表面积4p R2 =20p20p，故答案为.33【变式 2】已知三棱锥 P - ABC 中，PA = 1 ，PB = 3，AB = 2 2 ，CA = CB =5 ，面PAB 面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A 14p3B 28p3C11pD12p解：如图，PA = 1 ， PB = 3， AB = 2 2 ， PA2 + AB2 = PB2 ， PAB = p ，2所以ABP 的外接圆的圆心为斜边 PB 的中点 N ,CA = CB =5 ，ABC 为等腰三角形. 取 AB 的中点 D ，连接CD ， DN

27、， CD AB ， AD = BD =2 , CD =BC2 - BD2 =3 ,又面 PAB 面 ABC ，面 PAB 面 ABC = AB ，CD 面 ABC ， CD 面 PAB ，过点 N 作CD 的平行线，则球心O 一定在该直线上. 设ABC 的外接圆的圆心为O ，,则O 点在CD 上，连接OO ,111由球的性质则， OO1平面 ABC ，则OOND 为矩形.1在ABC 中， cosCAB =5 + 8 - 5=10 ,则sin CAB =152 5 2 255BC2O A =5 = 5 3所以ABC 的外接圆的半径1sin CAB1535所以O A = 5 3，则O D =O A

28、2 - AD2 =25 - 2 =1则ON = O D =111611122 32 3所以球的半径为OP =ON 2 + NP2 =1 + 9 =211243p 21 2 = p2128p3所以三棱锥的外接球的表面积为4 4 =9故选：B3【题型九】由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O1 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心【例 1】已知过球面上三点 A，B，C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 ACBC6，AB4， 求球的表面积与球的体积【答案】如图所示，设球心为 O，球半径为 R，作 OO1平面 ABC 于点 O1，由于 OAOBOCR，则O1 是A

29、BC 的外心，设M 是 AB 的中点，由于ACBC，则 O1CM.设 O1Mx，易知 O1MAB，则 O1A22x2，11O CCMO M6222x.11又 O AO C，22x26222x，解得 x7 2.41114O AO BO C9 2.在 RtOO A 中，O OR，OO A90，OAR，11 21由勾股定理得R 9 2 R ，解得 R3 6，22 4 222则 S 4R254，V 4 R327 6.球球3【例 2】在半径为 5 的球面上有不同的四点 A, B, C, D ,若 AB = AC = AD = 2 5 ,则平面 BCD 被球所截得图形的面积为.解法 1如图所示，过 A 点

30、作平面 BCD 的垂线 AO ,连接OO ,OB ,设DBCD 所在截面的半径为r ，因为OA = OB = 5, AB = 2 5 ,所以在DABO 中，由余弦定理知： BO2 = AB2 + AO2 - 2 AB AO cos BAO ,所以cosBAO =5 ,所以sin BAO =5 ，在 RtDABO 中，55r = 2 5 sin BAO = 4 ，所求面积S = p r 2 = 16p解法 2如图 4 所示，过 A 点作平面 BCD 的垂线 AO ,连接OO ,OB ,设DBCD 所在截面的半径为r ，OO =25 - r 2 , AO = 5 -25 - r 2 .()2在 R

31、tDAO B 中， AB2 = O B2 + O A2 ,则20 = r 2 + 5 -25 - r 2，解得r = 4 ，所求面积S = p r 2 = 16p【变式 1】把边长为 3 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使得平面ABC 平面 ADC ，则三棱锥 D - ABC 的外接球的表面积为（）A. 32 【答案】CB. 27 C18D9【解析】把边长为 3 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 对折，使得平面 ABC 平面 ADC ， 则三棱锥 D - ABC 的外接球直径为 AC = 3 2 ，外接球的表面积为4R2 = 18 ，故选 C【变式 2】三棱锥 A - BCD 的所

32、有顶点都在球O 的表面上， AB 平面 BCD ， BC = BD = 2 ，AB = 2CD = 4 3 ，则球O 的表面积为（）A16 【答案】DB 32 C 60 D 64 22 + 22 - (2 3 )212【解析】因为BC = BD = 2 ，CD = 2 3 ，所以cosCBD =此三角形 BCD 外接圆半径为 1CD= 2 ，2 sinCBD AB 2= -，CBD =，因2 2 223设外接球半径为 R ，则 R2 =22 + = 4 + 12 = 16 ， S =4 R2 = 64 ，故选 D2 【变式 3】已知三棱锥P - ABC 的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC

33、满足 BA = BC =6 ，ABC = ，若该三棱锥体积的最大值为 3，则其外接球的体积为（）21632A 8B16CD33【答案】D【解析】因为ABC 是等腰直角三角形，所以外接球的半径是r = 1 12 = 3 ，设外接球的半2径是 R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则 SABC= 1 6 = 3 ， BD = 3 ，由题设2V = 1 Sh = 1 6h = 3 ，最大体积对应的高为SD = h = 3 ，故R2 = d 2 + 3 ，即R2 = (3 - R)2 + 3 ，解3 ABC6432之得 R = 2 ，所以外接球的体积是 3 R3 =，故答案为 D3【题型十】折叠问题

34、【例 1】如图，在ABC 中， AB = BC = 6 ， ABC = 90 ，点 D 为AC 的中点，将ABD 沿 BD 折起到PBD 的位置，使 PC = PD ，连接 PC ，得到三棱锥 P - BCD 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A 7B 5C 3D 【解析】由题意得该三棱锥的面 PCD 是边长为 3 的正三角形，且 BD 平面 PCD ，设三棱锥 P - BDC 外接球的球心为O ，PCD 外接圆的圆心为O ，则OO 面 PCD ，四边形11OO DB 为直角梯形，由BD = 3 ，O D = 1 ，及OB = OD ，得OB =7 ，外接球半径为R =7

35、 ，1该球的表面积 S = 4R2 = 47 4 =1227 故选 A【变式 1】将边长为 2 的正ABC 沿着高 AD 折起，使BDC = 120 ，若折起后 A、B、C、D 四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（）A. 7 2【答案】BB. 7C 13 2D 13 3【解析】BCD 中， BD = 1 ， CD = 1 ， BDC = 120 ，3底面三角形的底面外接圆圆心为M ，半径为r ，由余弦定理得到BC =，再由正弦定理得到33= 2r r = 1 ，见图示：AD 是球的弦，DA =sin120，将底面的圆心M 平行于 AD 竖直向上提起，提起到 AD 的高度的一半，即为球心

36、的位置O ， OM =3 ，在直角三角形OMD 中，应2用勾股定理得到OD ， OD 即为球的半径球的半径OD =7 31 +42该球的表面积为4 OD2 = 7 ；故选 B二内切球问题若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球。1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。【例 1】在九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱

37、锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑 M - ABC 中, MA 平面 ABC , MA = AB = BC = 2 ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 【答案】24p - 8 2p【解析】由题意，MC 为球 O 的直径，MC=2 3 ，球 O 的半径为 3 ，球 O 的表面积为 43=12，内切球的半径设为， 1 *(2 + 2 2 + 2 2 + 2)* r = 1 *2*233得到r = 2 -1 内切球的体积为12p - 8 2p ，故结果为24p - 8 2p .点睛：这个题目考查了四面体的外接球和内切球的体积问题，外接球是放到长方体中计算， 用的是补体法；内切球用的是体

38、积分割，将四面体分割成了 4 个小的棱锥，高都是内切球的半径，从而计算出内切球的半径。【例 2】已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16 3 ，则该正四棱锥内切球的表面积为 【答案】(32 - 16 3 )【解析】设正四棱锥的棱长为a ，则4 3 a2 = 16 3 ，解得a = 4 4于是该正四棱锥内切球的大圆是如图PMN 的内切圆，其中 MN = 4 ， PM = PN = 2 3 PE = 2 2 设内切圆的半径为r ，由PFO PEN ，得 FO = PO ，即 r = 2 2 - r ， r = 2 2= 6 - 2 ，ENPN22 33 + 1内切球的表面积为 S = 4r 2 = 4

39、( 6 - 2 )2 = (32 - 16 3 ) 【变式 1】将棱长为2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）A. 43B. 2 3C. 3 2D. 6体积最大的球即正方体的内切球，因此2r = 2 ， r =1，体积为 4 ，故选 A311 1 1【变式 2】在封闭的直三棱柱 ABC A B C 内有一个体积为 V 的球.若 ABBC，AB=6，BC=8，AA =3，则 V 的最大值是1068A. 4B. 9C. 6D. 3223【答案】B【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为 2，又 AA = 3 2 2 ，所以内1接球的半径为 3 ，即V 的最大值为 4 p R3 = 9p232【变式 3】已知球在底面半径为 1 高为2 2 的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为 .解析： 2 p易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，点M3为 BC 边上的中点，由题设 BC = 2 ， AM = 2 2 ，求得 AB = AC = 3 ，设内切圆的圆心为O ，内切圆半径为r 故SABC= 1 2 2 2 = 2 2 ，