复变函数期末考试复习题及答案详解.pdf

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1、。精选资料，欢迎下载复变函数考试试题（一）1、1|00)(zznzzdz_. （n为自然数）2.zz22cossin _. 3. 函数zsin的周期为 _. 4. 设11)(2zzf，则)(zf的孤立奇点有_. 5. 幂级数0nnnz的收敛半径为_. 6. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是_. 7. 若nnzlim，则nzzznn.lim21_. 8.)0,(Renzzes_，其中 n 为自然数 . 9. zzsin的孤立奇点为 _ . 10. 若0z是)(zf的极点，则_)(lim0zfzz. 三. 计算题（ 40 分） ：1. 设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在 1

2、|0:zzD内的罗朗展式. 2. .cos11|zdzz3. 设Cdzzf173)(2，其中3|:|zzC，试求).1( if4. 求复数11zzw的实部与虚部. 四. 证明题 .(20分) 1. 函数)(zf在区域D内解析 . 证明：如果|)(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数 . 2. 试证 : ( )(1)f zzz在割去线段0Re1z的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re1z上岸取正值的那支在1z的值 . 复变函数考试试题（二）二. 填空题 . (20分) 。精选资料，欢迎下载1. 设iz，则_,arg_,|zzz2.设Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2

3、()(222，则)(lim1zfiz_. 3. 1|00)(zznzzdz_. （n为自然数）4. 幂级数0nnnz的收敛半径为 _ . 5. 若z0是f(z) 的m阶零点且m0，则z0是)( zf的_零点 . 6. 函数ez的周期为 _. 7. 方程083235zzz在单位圆内的零点个数为_. 8. 设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有 _. 9. 函数|)(zzf的不解析点之集为_. 10. _)1 ,1(Res4zz. 三. 计算题 . (40分) 1. 求函数)2sin(3z的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析

4、分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点iz处的值 . 3. 计算积分：iizzId|，积分路径为（1）单位圆（1| z）的右半圆 . 4. 求dzzzz22)2(sin.四. 证明题 . (20分 ) 1. 设函数f(z) 在区域D内解析，试证：f(z) 在D内为常数的充要条件是)(zf在D内解析 . 2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 复变函数考试试题（三）二. 填空题 . (20分 ) 1. 设11)(2zzf，则f(z) 的定义域为 _. 2. 函数ez的周期为 _. 。精选资料，欢迎下载3. 若nnninnz)11 (12，则nznlim_. 4. zz22cossin_. 5.

5、1|00)(zznzzdz_. （n为自然数）6. 幂级数0nnnx的收敛半径为 _. 7. 设11)(2zzf，则f(z) 的孤立奇点有 _. 8. 设1ze，则_z. 9. 若0z是)(zf的极点，则_)(lim0zfzz. 10. _)0,(Resnzze. 三. 计算题 . (40分) 1. 将函数12( )zf zz e在圆环域0z内展为 Laurent级数 . 2. 试求幂级数nnnznn!的收敛半径 . 3. 算下列积分：Czzzze)9(d22，其中C是1| z. 4. 求0282269zzzz在|z|1 内根的个数 . 四. 证明题 . (20分) 1. 函数)(zf在区域D

6、内解析 . 证明：如果| )(|zf在D内为常数，那么它在D内为常数 . 2. 设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当Rz|时nzMzf|)(|，证明)(zf是一个至多n次的多项式或一常数。复变函数考试试题（四）。精选资料，欢迎下载二. 填空题 . (20分) 1. 设iz11，则_Im_,Rezz. 2. 若nnzlim，则nzzznn.lim21_. 3. 函数ez的周期为 _. 4. 函数211)(zzf的幂级数展开式为_ 5. 若函数f(z) 在复平面上处处解析，则称它是_. 6. 若函数f(z) 在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内

7、的_. 7. 设1|:| zC，则_) 1(Cdzz. 8. zzsin的孤立奇点为_. 9. 若0z是)(zf的极点，则_)(lim0zfzz. 10. )0,(Resnzze_. 三. 计算题 . (40分) 1. 解方程013z.2. 设1)(2zezfz，求).),(Rezfs3. .)(9(2|2zdzizzz . 4. 函数( )f zzez111有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数） . 四. 证明题 . (20分 ) 1.证明：若函数)(zf在上半平面解析，则函数)(zf在下半平面解析. 2. 证明0364zz方程在2|1z内仅有 3 个根 . 复变函数考试试题（五）

8、二. 填空题 . （20 分）1. 设iz31，则_,arg_,|zzz. 。精选资料，欢迎下载2. 当_z时，ze为实数 . 3. 设1ze，则_z. 4. ze的周期为 _. 5. 设1|:| zC，则_) 1(Cdzz. 6. _)0,1(Reszez. 7. 若函数f(z) 在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_。8. 函数211)(zzf的幂级数展开式为_. 9. zzsin的孤立奇点为_. 10. 设C是以为a心，r为半径的圆周， 则_)(1Cndzaz.（n为自然数）三. 计算题 . (40分) 1. 求复数11zz的实部与虚部 . 2. 计算积分：zzILdRe

9、，在这里L表示连接原点到1i的直线段 . 3.求积分：I202cos21aad，其中0a1. 4.应用儒歇定理求方程)(zz，在 |z|1 内根的个数，在这里)(z在1|z上解析，并且1|)(|z. 四. 证明题 . (20分 ) 1. 证明函数2|)(zzf除去在0z外，处处不可微. 2. 设)(zf是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当Rz|时nzMzf|)(|，。精选资料，欢迎下载证明 :)(zf是一个至多n次的多项式或一常数. 复变函数考试试题（六）1.一、填空题（ 20 分）1.若21(1)1nnnzinn，则limnz_. 2.设21( )1f zz，则(

10、 )f z的定义域为_. 3.函数sin z的周期为 _. 4.22sincoszz_. 5.幂级数0nnnz的收敛半径为 _. 6.若0z是( )f z的m阶零点且1m，则0z是( )fz的_零点. 7.若函数( )fz在整个复平面处处解析，则称它是_. 8.函数( )f zz的不解析点之集为_. 9.方程532380zzz在单位圆内的零点个数为_. 10.公式cossinixexix称为 _. 二、计算题（30 分）1、2lim6nni. 2、设2371( )Cf zdz，其中:3Cz z，试求(1)fi. 3、设2( )1zef zz，求Re ( ), )s f z i. 4、求函数36

11、sin zz在0z内的罗朗展式 . 5、求复数11zwz的实部与虚部 . 6、求3ie的值 . 三、证明题（20 分）1、 方程7639610zzz在单位圆内的根的个数为6. 2、 若函数( )( , )( , )fzu x yiv x y在区域D内解析，( , )v x y等于常数，则( )f z在D恒等于常数 . 。精选资料，欢迎下载3、 若0z是( )f z的m阶零点，则0z是1( )f z的m阶极点 . 计算下列积分 （分）(1) 22sin()2zzdzz?； (2) 2242(3)zzdzzz?计算积分2053cosd （分）求下列幂级数的收敛半径（分）(1) 1(1)nnniz；

12、(2) 21( !)nnnnzn设3232( )()f zmynx yi xlxy为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值 （分）三、证明题设函数( )f z在区域D内解析，( )f z在区域D内也解析， 证明( )f z必为常数（分）试证明0azazb的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数 （分）试卷一至十四参考答案复变函数考试试题（一）参考答案二填空题1. 2101inn； 2. 1； 3. 2k，()kz； 4. zi； 5. 1 6. 整函数； 7. ； 8. 1(1)!n； 9. 0；10. . 三计算题 . 1. 解因为01,z所以01z111( )(1)(2)12(1)2f

13、 zzzzz001()22nnnnzz. 2. 解因为22212Re( )limlim1cossinzzzzs f zzz, 。精选资料，欢迎下载22212Re( )limlim1cossinzzzzs f zzz. 所以22212(Re( )Re( )0coszzzdzis f zs f zz. 3. 解令2()371, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在3z内, ( )( )2( )cf zdzizz. 所以1(1)2( )2(13 6 )2 ( 613 )zifiiziii. 4. 解 令zabi, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)zabiabwzzaba

14、bab. 故2212(1)Re()11(1)zazab, 2212Im()1(1)zbzab. 四. 证明题 . 1. 证明设在D内( )f zC. 令2222( ),( )f zuivf zuvc则. 两边分别对, x y求偏导数 , 得0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv因为函数在D内解析 , 所以,xyyxuvuv. 代入 (2) 则上述方程组变为00 xxxxuuvvvuuv. 消去xu得, 22()0 xuvv. 1)若220uv, 则( )0f z为常数 . 2)若0 xv, 由方程 (1) (2) 及.CR方程有0,xu0yu, 0yv. 所以12,uc vc. (12,c

15、c为常数 ). 所以12( )fzcic为常数 . 2. 证明( )(1)f zzz的支点为0,1z. 于是割去线段0Re1z的z平面内变点就不可能单绕0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支. 由于当z从支割线上岸一点出发, 连续变动到0,1z时 , 只有z的幅。精选资料，欢迎下载角增加. 所以( )(1)f zzz的幅角共增加2. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z的幅角为2, 故2( 1)22ifei. 复变函数考试试题（二）参考答案二. 填空题1.1 ，2，i； 2. 3(1sin 2)i； 3. 2101inn； 4. 1

16、；5. 1m. 6. 2k i，()kz. 7. 0； 8. i； 9. R；10. 0. 三. 计算题1. 解3212163300( 1) (2)( 1) 2sin(2)(21)!(21)!nnnnnnnzzznn. 2. 解 令izre. 则22( ),(0,1)kifzzrek. 又因为在正实轴去正实值，所以0k. 所以4( )if ie. 3. 单位圆的右半圆周为ize, 22. 所以22222iiiizdzdeei. 4. 解dzzzz22)2(sin2)(sin2zzi2cos2zzi=0. 四. 证明题 . 1. 证明 ( 必要性 ) 令12( )f zcic, 则12( )f

17、zcic. (12,c c为实常数). 令12( ,), ( ,)u x yc v x yc. 则0 xyyxuvuv. 即,u v满足.CR, 且,xyyxuv uv连续 , 故( )fz在D内解析 . ( 充分性 ) 令( )f zuiv, 则( )f zuiv, 因为( )f z与( )f z在D内解析 , 所以,xyyxuvuv, 且(),()xyyyxxuvvuvv. 比较等式两边得0 xyyxuvuv. 从而在D内, u v均为常数, 故( )f z在D内为常数 . 。精选资料，欢迎下载2. 即要证“任一n次方程101100(0)nnnna za zazaa有且只有n个根 ” .

18、证明令1011( )0nnnnf za za zaza, 取10max,1naaRa, 当z在:CzR上时, 有111110( )()nnnnnnza RaRaaaRa R. ( )f z. 由儒歇定理知在圆zR内 , 方程10110nnnna za zaza与00na z有相同个数的根 . 而00na z在zR内有一个n重根0z. 因此n次方程在zR内有n个根 . 复变函数考试试题（三）参考答案二. 填空题 . 1.,z zizC且; 2. 2()k ikz; 3. 1ei; 4. 1; 5. 2101inn; 6. 1; 7. i; 8. (21)zki; 9. ; 10. 1(1)!n.

19、 三. 计算题 . 1. 解12222011(1)2!nznzz ezzzn. 2. 解11! (1)11limlimlim()lim(1)(1)!nnnnnnnnnncnnnecnnnn. 所以收敛半径为e. 3. 解 令22( )(9)zef zzz, 则2001Re( )99zzzes f zz. 故原式022Re( )9ziis f z. 4. 解 令962( )22f zzzz, ( )8zz. 则在:C1z上( )( )f zz与均解析 , 且( )6( )8f zz, 故由儒歇定理有(,)(,)1NfCN fC. 即在1z内, 方程只有一个根. 四. 证明题 . 1. 证明证明设

20、在D内( )f zC. 令2222( ),( )f zuivf zuvc则. 两边分别对, x y求偏导数 , 得0(1)0(2)xxyyuuvvuuvv因为函数在D内解析 , 所以,xyyxuvuv. 代入 (2) 则上述方程组变为。精选资料，欢迎下载00 xxxxuuvvvuuv. 消去xu得 , 22()0 xuvv. 1) 220uv, 则( )0f z为常数 . 2)若0 xv, 由方程 (1) (2) 及.CR方程有0,xu0yu, 0yv. 所以12,uc vc. (12,c c为常数 ). 所以12( )f zcic为常数 . 2. 证明取rR, 则对 一切 正 整数kn时,

21、( )1!( )!(0)2nkkkzrkf zk Mrfdzzr. 于是由r的任意性知对一切kn均有( )(0)0kf. 故0( )nnnkf zc z, 即( )f z是一个至多n次多项式或常数. 复变函数考试试题（四）参考答案. 二. 填空题 . 1. 12, 12; 2. ; 3. 2()k ikz; 4. 20( 1)(1)nnnzz; 5. 整函数 ; 6. 亚纯函数 ; 7. 0; 8. 0z; 9. ; 10. 1(1)!n. 三. 计算题 . 1.iiziziizkkikzz232135sin35cos1sincos23213sin3cos2 , 1 , 032sin32cos

22、1:3213解2. 解11Re( )12zzzees f zz, 111Re( )12zzzees f zz. 故原式1112(Re( )Re( )()zzis f zs f zi e e. 3. 解 原式22Re( )295zizizis f ziz. 4. 解zez111=) 1(1zzezez，令0)1(zez，得ikzz2,0，,2, 1k。精选资料，欢迎下载而zzzzzzzzzzeeezeezze11lim) 1(1lim)111(lim00021lim0zzzzzzeeee0z为可去奇点当ikz2时，01),0(zezk而0212)1(ikzzeeikzzezzzikz2为一阶极点

23、 . 四. 证明题 . 1. 证明设( )( )F zfz, 在下半平面内任取一点0z, z是下半平面内异于0z的点 , 考虑000000000( )()( )()( )()limlimlimzzzzzzF zF zf zf zf zf zzzzzzz. 而0z, z在 上 半 平 面 内 , 已 知( )f z在 上 半 平 面 解 析 , 因 此00()()F zfz, 从而( )( )F zf z在下半平面内解析. 2. 证明令( )63fzz, 4( )zz, 则( )f z与( )z在全平面解析, 且在1:2Cz上, ( )15( )16f zz, 故在2z内11(,)( ,)4Nf

24、CNC. 在2:1Cz上, ( )3( )1f zz, 故在1z内22(,)(,)1NfCNf C. 所以f在12z内仅有三个零点, 即原方程在12z内仅有三个根 . 复变函数考试试题（五）参考答案一. 判断题 . 1 6 10 . 二. 填空题 . 1.2, 3, 13i; 2. 2(,)ak ikz a为任意实数; 3. (21)ki, ()kz; 4. 2,()k ikz; 5. 0; 6. 0; 7. 亚纯函数; 8. 20( 1)(1)nnnzz; 9. 0; 10. 2101inn. 三. 计算题 . 1. 解 令zabi, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1

25、)(1)zabiabwzzababab. 故2212(1)Re()11(1)zazab, 2212Im()1(1)zbzab. 2. 解 连接原点及1i的直线段的参数方程为(1)01zi tt, 。精选资料，欢迎下载故11001ReRe(1) (1)(1)2cizdzi ti dtitdt. 3. 令ize, 则dzdiz. 当0a时212()(1)12 cos1()zaazaaa zzaz, 故11()(1)zdzIizaaz, 且在圆1z内1( )()(1)f zzaaz只以za为一级极点, 在1z上无奇点, 故211Re( ),(01)11zaz as f zaaza, 由残数定理有21

26、22Re( ),(01)1zaIis f zaia. 4. 解令( ),f zz则( ),( )f zz在1z内解析 , 且在:C1z上, ( )1( )zf z, 所以在1z内 , (,)(,)1NfCN f C, 即原方程在1z内只有一个根 . 四. 证明题 . 1. 证明因为22( , ), ( , )0u x yxyv x y, 故2 ,2 ,0 xyxyux uy vv. 这四个偏导数在z平面上处处连续, 但只在0z处满足.CR条件 , 故( )f z只在除了0z外处处不可微 . 2. 证明取rR, 则对 一切 正 整数kn时, ( )1!( )!(0)2nkkkzrkf zk Mr

27、fdzzr. 于是由r的任意性知对一切kn均有()(0)0kf. 故0( )nnnkf zc z, 即( )f z是一个至多n次多项式或常数. 复变函数考试试题（六）参考答案二、填空题：1. 1ei 2. 1z 3. 2 4. 1 5. 1 6. 1m阶 7. 整函数 8. 9. 0 10. 欧拉公式三、计算题：1.解：因为21151,69366i故2lim()06nni. 2. 解：123,iQ1( )( )2Cff zdiz2371.Cdz因此2( )2(371)fi。精选资料，欢迎下载故2( )2(371)f zizz1(1)2(67)2(136 )2 ( 613 )ifiiziii.

28、3. 解：211()12zzeezziziRe ( ), ).2ies f z i4. 解：32130( 1) ()sin,(21)!nnnzzn36360sin( 1).(21)!nnnzzzn5解：设zxiy, 则222211(1)211(1)zxiyxyyiwzziyxy. 22222212Re,Im.(1)(1)xyywwxyxy6解：31cos()sin()(13 ).332ieii四、 1. 证明：设673( )9,( )61,f zzzzz则在1z上，( )9,( )1618,f zz即有( )( )f zz. 根据儒歇定理，( )fz与( )( )fzz在单位圆内有相同个数的零

29、点，而( )f z的零点个数为6，故7639610zzz在单位圆内的根的个数为 6. 2.证明：设( , )v x yabi，则0 xyvv, 由于( )f zuiv在内D解析，因此( , )x yD有0 xyuv, 0yxuv. 于是( , )u x ycdi故( )()()f zacbd i，即( )f z在内D恒为常数. 3.证明：由于0z是( )f z的m阶零点，从而可设0( )()( )mfzzzg z，其中( )g z在0z的某邻域内解析且0()0g z，于是0111( )()( )mf zzzg z。精选资料，欢迎下载由0()0g z可知存在0z的某邻域1D，在1D内恒有( )0

30、g z，因此1( )g z在内1D解析，故0z为1( )f z的m阶极点 . 复变函数模拟考试试题复变函数考试试题（一）一、判断题 （4x10=40分） ：1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z) 在 z0的某个邻域内可导。（）2、有界整函数必在整个复平面为常数。 （）3、若函数),(),()(yxivyxuzf在 D内连续，则 u( x,y ) 与 v( x,y )都在 D内连续。 ( ) 4、cos z与 sin z在复平面内有界。（）5、若 z0是)(zf的 m阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m阶极点。 （）6、若f(z) 在z0处满足柯西 - 黎曼条件，则f(z)在z

31、0解析。 （）7、若)(lim0zfzz存在且有限，则 z0是函数的可去奇点。（）8、若 f (z) 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C都有0)(Cdzzf。 （）9、若函数 f (z) 是单连通区域 D内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。 （）10、 若函数 f (z) 在区域 D内的解析，且在 D内某个圆内恒为常数，则在区域 D内恒等于常数。（）二、填空题 （4x5=20 分）1、若 C 是单位圆周， n 是自然数，则Cndzzz)(10_。2、设Ciyxzyxixyxzf),sin(1()2()(222，则)(lim1zfiz_。3、设11)(2zzf，则 f (z)

32、 的定义域为 _。4、0nnnz 的收敛半径为 _。5、)0 ,(Resnzze_ 。三、计算题 （8x5=40 分） ：。精选资料，欢迎下载1、设)2)(1(1)(zzzf，求)(zf在 1|0:zzD内的罗朗展式。2、求3|1|1)4)(1(21sinzzzzzdzizdze。3、求函数)2sin(3z的幂级数展开式。4、求)2)(1(1)(zzzf在|z|2内的罗朗展式。5、求0154zz，在| z|1 内根的个数。复变函数考试试题（二）一、判断题 （4x10=40分） ：1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z)在 z0连续。 （）2、有界整函数必为常数。 （）。精选资料，

33、欢迎下载3、若nz收敛，则Renz与Imnz都收敛。 ( ) 4、若 f (z) 在区域 D 内解析，且0)( zf，则Czf)(（常数） 。（）5、若函数 f ( z)在 z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（）6、若 f (z) 在 z0解析，则 f (z) 在 z0处满足柯西 - 黎曼条件。 （）7、若函数 f ( z)在 z0可导，则 f ( z)在 z0解析。 （）8、若 f (z) 在区域 D内解析，则 | f (z)| 也在 D内解析。 （）9、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（）10、cos z 与 sin z 的周期均为k2。 （）二、填

34、空题 （4x5=20分）1、1|00)(zznzzdz_。2、设11)(2zzf，则 f (z) 的孤立奇点有 _ 。3、若函数 f ( z)在复平面上处处解析，则称它是_ 。4、zz22cossin _。5、若函数 f (z) 在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D内的_ 。三、计算题 （8x5=40 分） ：1、.cos11|zdzz2、求).,1(Res2izeiz3、.62limnni4、求)2)(1(1)(zzzf在|z|2内的罗朗展式。5、求0282269zzzz在| z|0，则 z0是)( zf的_零点。7、若函数 f ( z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处

35、解析，则称它是 D内_。 、8、函数|)(zzf的不解析点之集为 _。9、)0,(Resnzze_，其中 n 为自然数。10、公式xixeixsincos称为_.三、计算题 （8x5=40 分） ：1、设Cdzzf173)(2，其中 3|:|zzC，试求).1( if2、求3|1|1)4)(1(21sinzzzzzdzizdze。3、设1)(2zezfz，求).),(Rezfs4、求函数ze1在|0z内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、求.212122ii。精选资料，欢迎下载四、证明题 （6+7+7=20分） ：1、设是函数f(z) 的可去奇点且CAzfz)(lim，试证：)(

36、lim),(ReAzfzzfsz。2、若整函数f ( z) 将复平面映照为单位圆内部且0)0(f，则)(0)(Czzf。3、证明0364zz方程在2|1z内仅有 3 个根。复变函数考试试题（四）一、判断题 （3x10=30分） ：1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z)在 z0的某个邻域内可导。（）2、如果 z0是 f ( z) 的本性奇点，则0lim( )zzf z一定不存在。（）3、若)(lim0zfzz存在且有限，则 z0是 f ( z) 的可去奇点。 ( ) 4、若函数 f ( z)在 z0可导，则它在该点解析。 （）5、若数列nz收敛，则Renz与Imnz都收敛。 （）

37、6、若 f (z) 在区域 D内解析，则 | f ( z)| 也在 D内解析。 （）7、若幂级数的收敛半径大于0，则其和函数必在收敛圆内解析。（）8、存在整函数 f ( z) 将复平面映照为单位圆内部。 （）9、若函数 f (z) 是区域 D内的解析函数，且在D 内的某个圆内恒等于常数，则 f ( z)在区域 D内恒等于常数。（）10、)( 1|sin|Czz。 （）。精选资料，欢迎下载二、填空题 （2x10=20分）1、函数 ez的周期为 _ 。2、幂级数0nnnz的和函数为 _。3、函数 ez的周期为 _ 。4、设211)(zzf，则)(zf的孤立奇点有 _。的收敛半径为 _。5、幂级数0

38、nnnx的和函数为 _ 。6、若函数 f ( z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D内的_ 。7、若nnzlim，则nzzznn.lim21_ 。8、)0,(Renzzes_，其中 n 为自然数。9、方程083235zzz在单位圆内的零点个数为_。10、函数211)(zzf的幂级数展开式为 _。三、计算题 （5x6=30分） ：1、.)(9(2|2zdzizzz2、求).,1(Res2izeiz3、.62limnni4、求函数ze1在|0z内的罗朗展式。5、求方程14258zzz在单位圆内零点的个数。6、求nni21lim。四、证明题 （6+7+7=20分）1、设函数 f

39、(z) 在区域 D内解析，试证： f (z) 在 D 内为常数的充要条件是)(zf在 D内解析。2、如果函数)(zf在 1|:|zzD上解析，且)1|(|1| )(|zzf，则)1|(|1| )(|zzf。3、设方程014258zzz证明：在开单位圆内根的个数为5。精选资料，欢迎下载复变函数考试试题（五）一、判断题 （3x10=30分） ：1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z)在 z0连续。 （）2、若函数 f ( z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann条件，则 f (z) 在 z0解析。 （）3、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f (z) 在 z0处满足 Ca

40、uchy-Riemann条件。 ( ) 4、若函数 f (z) 在是区域 D 内的单叶函数，则)(0)( Dzzf。（）5、若 f ( z) 在单连通区域 D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C都有0)(Cdzzf。 （）6、若 f ( z) 在区域 D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(Cdzzf。 （）7、若)(0)( Dzzf，则函数 f ( z) 在是 D内的单叶函数。（）8、若 z0是 f (z) 的 m阶零点，则 z0是 1/ f (z) 的 m阶极点。 （）9、如果函数 f (z) 在 1|:|zzD上解析，且)1|(|1|)(|zzf，则)1|(|1|)(|zzf。

41、 （）10、)( 1|sin|Czz。 （）二、填空题 （2x10=20分）1、若nnninnz)11 (12，则nzzlim_ 。精选资料，欢迎下载2、设11)(2zzf，则)(zf的定义域为 _ 。3、函数 sin z 的周期为 _ 。4、zz22cossin_。5、幂级数0nnnz的收敛半径为 _ 。6、若 z0是 f ( z)的 m阶零点且 m 1，则 z0是)( zf的_零点。7、若函数 f ( z)在整个复平面处处解析，则称它是_。8、函数 f ( z)=| z| 的不解析点之集为 _。9、方程083235zzz在单位圆内的零点个数为_。10、公式xixeixsincos称为_ 。

42、三、计算题 （5x6=30分） ：1、.62limnni2、设Cdzzf173)(2，其中3|:|zzC，试求).1 ( if3、设2( )1zef zz，求Re ( ), ).s f z i4、求函数63sinzz在|0z内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、求ie3的值。四、证明题 （6+7+7=20分）1、方程0169367zzz在单位圆内的根的个数为6。2、若函数),(),()(yxivyxuzf在区域 D 内解析，v(x,y)等于常数，则( )f x在 D内恒等于常数。3、若 z0是)(zf的 m阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m阶极点。精选资料，欢迎下载复变函数考

43、试试题（六）一、判断题 （3x8=24分）1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z) 在 z0的某个邻域内可导。（）2、若函数 f ( z)在 z0处解析，则 f ( z) 在 z0满足 Cauchy-Riemann条件。 （）3、如果 z0是 f ( z)的可去奇点，则)(lim0zfzz一定存在且等于零。( ) 4、 若函数 f (z) 是区域 D内的单叶函数，则)(0)( Dzzf。（）5、若函数 f ( z)是区域 D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。 （）6、若函数 f ( z)在区域 D内的解析，且在 D内某个圆内恒为常数，则在区域 D内恒等于常数。（）7、若 z0

44、是 f (z) 的 m阶零点，则 z0是 1/ f (z) 的 m阶极点。 （）8、)( 1|sin|Czz。 （）二、填空题 （2x10=20分）1、若11sin(1)1nnzinn，则 limnnz_ 。2、设2( )1zf zz，则)(zf的定义域为 _。3、函数ze的周期为 _ 。4、zz22cossin_。5、幂级数220nnn z的收敛半径为 _ 。6、若 z0是 f (z) 的 m阶零点且 m 1，则 z0是)( zf的_零点。7、若函数 f ( z)在整个复平面处处解析，则称它是_。8、函数 f ( z)=| z| 的不解析点之集为 _。9、方程833380zzz在单位圆内的零

45、点个数为 _。精选资料，欢迎下载10、)0,(Resnzze_ 。三、计算题 （5x6=30分）1、求.212122ii2、设Cdzzf173)(2，其中3|:|zzC，试求).1 ( if3、设2( )zef zz，求Re ( ),0).s f z4、求函数(1)(2)zzz在1 |2z内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分：20,(1).cosdxaax四、证明题 （6+7+7=20分）1、方程7633249610zzzz在单位圆内的根的个数为7。2、若函数),(),()(yxivyxuzf在区域 D内解析，|( ) |f z等于常数，则( )f z在 D

46、内恒等于常数。3、若 z0是)(zf的 m阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m阶极点。五、计算题 （10 分）求一个单叶函数，去将 z 平面上的上半单位圆盘:| 1,Im0zzz保形映射为 w平面的单位圆盘:| 1ww。复变函数考试试题（七）一、 判断题（ 2x10=20分）。精选资料，欢迎下载1、若函数 f ( z)在 z0可导，则 f ( z)在 z0解析。 （）2、若函数 f ( z)在 z0处满足 Cauchy-Riemann条件，则 f (z) 在 z0解析。 （）3、如果 z0是 f ( z)的极点，则)(lim0zfzz一定存在且等于无穷大。( ) 4、若f(z) 在单连通区域

47、D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有0)(Cdzzf。 （）5、若函数 f ( z)在 z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（）6、若 f (z) 在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C都有0)(Cdzzf。 （）7、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，则 f ( z) 在区域 D内恒等于常数。（）8、若 z0是 f ( z)的 m阶零点，则 z0是 1/ f ( z)的 m阶极点。 （）9、如果函数f(z) 在 1|:|zzD上解析，且)1|(|1|)(|zzf，则) 1|(|1|)(|zzf。 （）10、limzze。 （）二、填空题

48、（ 2x10=20分）1、若2sin(1)1nnnzinn，则nzzlim_ 。2、设1( )sinfzz，则)(zf的定义域为 _ 。3、函数 sin z 的周期为 _。4、zz22cossin_。5、幂级数0nnnz的收敛半径为 _ 。6、若 z0是 f (z) 的 m阶零点且 m 1，则 z0是)( zf的_零点。7、若函数f ( z) 在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是 _。8、函数( )fzz的不解析点之集为 _。9 、 方 程832011350zzz在 单 位 圆 内 的 零 点 个 数 为_ 。10、2Res(,1)1zez_ 。精选资料，欢迎下载三、计算题（ 5x

49、6=30 分）1、.62limnni2、设Cdzzf173)(2，其中3|:|zzC，试求).1 ( if3、设2( )1zef zz，求Re ( ),).s f zi4、求函数(1)(2)zzz在1 |2z内的罗朗展式。5、求复数11zzw的实部与虚部。6、利用留数定理计算积分2422109xxdxxx。四、证明题（ 6+7+7=20分）1、方程0169367zzz在单位圆内的根的个数为6。2、若函数),(),()(yxivyxuzf在区域 D内解析，),(yxu等于常数，则( )f z在 D内恒等于常数。3、若 z0是)(zf的 m阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m阶极点。五、计算题（

50、 10 分）求一个单叶函数，去将z 平面上的带形区域:Im2zz保形映射为 w平面的单位圆盘:| 1ww。复变函数考试试题（八）二、判断题（ 4x10=40分） ：1、若函数 f ( z)在 z0解析，则 f ( z)在 z0的某个邻域内可导。（）2、如果 z0是 f ( z) 的本性奇点，则)(lim0zfzz一定不存在。（）3、若函数),(),()(yxivyxuzf在D内连续，则u(x,y) 与v(x,y)都在 D内连续。 ( ) 。精选资料，欢迎下载4、cos z 与 sin z 在复平面内有界。（）5、若 z0是)(zf的 m阶零点，则 z0是 1/)(zf的 m阶极点。 （）6、若