圆与方程知识点总结典型例题.pdf

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1、圆与方程1. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx. 2. 点与圆的位置关系：(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内dr；b.点在圆上d=r ；c.点在圆外d r (2). 给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC. M 在圆 C 内22020)()(rbyax M 在圆 C 上22020)()rbyax（ M 在圆 C 外22020)()(rbyax（3）涉及最值：圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值minPBBNBCrmaxPBBMBCr圆内一点

2、A，圆上一动点P，讨论PA的最值minPAANrACmaxPAAMrAC思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）3. 圆的一般方程：022FEyDxyx . (1) 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. (2) 当0422FED时，方程表示一个点2,2ED. (3) 当0422FED时，方程不表示任何图形. 注 ： 方 程022FEyDxCyBxyAx表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ：0B且0CA且0422AFED. 4. 直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax圆心到直线的距离22BACBbAad1）无交点直线与圆相离

3、rd；2）只有一个交点直线与圆相切rd；3）有两个交点直线与圆相交rd；弦长 |AB|=222drdrd=rrd还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组0022FEyDxyxCByAx求解，通过解的个数来判断：（1）当0时，直线与圆有2 个交点，直线与圆相交；（2）当0时，直线与圆只有1 个交点，直线与圆相切；（3）当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5. 两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:rbyaxC与圆2222222)()(:rbyaxC，圆心距221221)()(bbaad条公切线外离421rrd；条公切线外切321rrd；条公切线相交22121rrdrr；条公切线内切

4、121rrd；无公切线内含210rrd；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C：221110 xyD xE yF，圆2C：222220 xyD xE yF，则1212120DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程. 补充说明：若1C与2C相切，则表示其中一条公切线方程；若1C与2C相离，则表示连心线的中垂线方程. （3）圆系问题过两圆1C：221110 xyD xE yF和2C：222220 xyD xE yF交点的圆系方程为22221112220 xyD xE yFxyD xE yF（1）补充：上述圆系不包括2C；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）过 直 线0A xB y

5、C与 圆220 xyDxEyF交 点 的 圆 系 方 程 为220 xyDxEyFAxByC6. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即1)()(2110101RxakybRxxkyy求解 k，得到切线方程【一定两解】例 1. 经过点 P(1， 2)点作圆 (x+1)2+(y2)2=4 的切线，则切线方程为。(2) 过圆上一点的切线方程：圆 (xa)2+(yb)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0a)(xa)+(y0b)(yb)= r2特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP

6、的切线方程为200ryyxx. 例 2.经过点 P(4， 8)点作圆 (x+7)2+(y+8)2=9 的切线，则切线方程为。7切点弦(1)过C：222)()(rbyax外一点),(00yxP作C的两条切线， 切点分别为BA、，则切点弦AB所在直线方程为：200)()(rbybyaxax8. 切线长：若 圆 的 方 程 为 (x a)2(y b)2=r2， 则 过 圆 外 一 点P(x0,y0) 的 切 线 长 为d=22020b)(+)(ryax9. 圆心的三个重要几何性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在某一条弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10. 两个圆相交

7、的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆 C1：x2 +y22x =0 和圆 C2：x2 +y2 +4 y=0，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。一、求圆的方程例 1 (06 重庆卷文 ) 以点)1,2(为圆心且与直线0543yx相切的圆的方程为( ) (A)3)1()2(22yx(B)3)1()2(22yx(C)9)1()2(22yx(D)9)1()2(22yx二、位置关系问题例 2 (06 安徽卷文 ) 直线1yx与圆0222ayyx)0(a没有公共点， 则a的取值范围是( ) (A)12,0(B)12, 12(C)12, 1

8、2(D)12, 0(三、切线问题例 3 (06 重庆卷理 ) 过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线方程为( ) (A)xy3或xy31(B)xy3或xy31(C)xy3或xy31(D)xy3或xy31四、弦长问题例 4 (06 天津卷理 ) 设直线03yax与圆4)2()1(22yx相交于BA、两点，且弦AB的长为32，则a. 五、夹角问题例 5 (06 全国卷一文 ) 从圆012222yyxx外一点)2, 3(P向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) (A)21(B)53(C)23(D) 0 六、圆心角问题例 6 (06 全国卷二 ) 过点)2, 1(的直线l将圆4)2

9、(22yx分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k. 七、最值问题例 7 (06 湖南卷文 ) 圆0104422yxyx上的点到直线14yx0的最大距离与最小距离的差是 ( ) (A) 30 (B) 18 (C)26(D)25八、综合问题例 8 (06 湖南卷理 ) 若圆0104422yxyx上至少有三个不同的点到直线0:byaxl的距离为22，则直线l的斜率 k 取值范围 _ 圆的方程1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（t R）表示圆方程，则t的取值范围是A.1t71B.1t21C.71t1 D.1t2 2. 一圆与y轴相切，圆心在直线x3y=0

10、 上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程 . 3.方程x2y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲线关于x+y=0 成轴对称图形，则（）A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 4.（2004 年全国，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为 1，且与点B（3，1）距离为 2 的直线共有（）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条5.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x6y+3=0 上两点P、Q关于直线kxy+4=0 对称，则k=_. 6.（2004 年全国卷， 16）设P为圆x2+y2=1 上的动点，则点P到直线 3x4y10=0 的 距离的

11、最小值为 _. 7.已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0. 求（ 1）xy的最大值和最小值； （2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值. 经过两已知圆的交点的圆系例1求经过两已知圆：06422xyx和06422yyx的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。例 2设圆方程为：016448)4012()42()4()4(22yxyx其中4 求证：不论为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系例1：求由下列条件所决定圆422yx的圆的切线方程；(1) 经过点) 1, 3(P，(2) 经过点)0 ,3(Q，(3)斜率为1直线和圆1自 点 （ 3 ， 3 ） 发 出 的 光 线L射 到x轴 上 ， 被x轴 反 射 ， 其 反 射 线 所 在 直 线 与 圆074422yxyx相切，求光线L 所在直线方程2.求圆心在直线0 xy上，且过两圆22210240 xyxy，22xy2280 xy交点的圆的方程3.（2002 北京文， 16）圆x2y22x2y10 上的动点Q到直线 3x4y80 距离的最小值为弦长【例题】已知直线 l x+2y-2=0 与圆 C x2+y2=2 相交于 A、B 两点，求弦长AB.