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1、. . . . .下载可编辑 . 一、简单计算题 ：1、 已知某连续信号( )f t的傅里叶变换为21()23Fjj，按照取样间隔1T对其进行取样得到离散时间序列( )f k，序列( )f k的 Z 变换。2、 求序列10( )1,2,1kf k和2( )1cos( )2fkkk的卷积和 。. . . . .下载可编辑 . 3、 已知某双边序列的 Z 变换为21( )1092F zzz，求该序列的时域表达式( )f k。4、 已知某连续系统的特征多项式为：269111063)(234567ssssssssD试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个 ？. . .

2、. .下载可编辑 . 5、 已知某连续时间系统的系统函数为：3232642( )21sssH ssss。试给出该系统的状态方程 。6、 求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。1z1z2-0.3)(ke)(kr-0.2. . . . .下载可编辑 . 答案 ：1、已知某连续信号( )f t的傅里叶变换为21()23Fjj，按照取样间隔1T对其进行取样得到离散时间序列( )f k，序列( )f k的 Z 变换。解法一 ：f(t)的拉普拉斯变换为2111)2)(1(1321)(2sssssssF，2111)(Re)(ezzezzezzKezzsFszFniTsissnisTii解法二 ：f(t)=

3、L1F(jw)=(et e2t ) (t) f(k)= (ek e2k ) (k)=)()()(21keekkF(z)=Zf(k)= 21ezzezz2、求序列10( )1 ,2,1kf k和2( )1cos( )2fkkk的卷积和 。解： f1(k)=1,2,1=(k)+2(k 1)+ (k 2) f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k 1)+ f2(k 2) 3、已知某双边序列的Z 变换为21( )1092F zzz，求该序列的时域表达式( )f k。解：5.014.01)(zzzF，两个单阶极点为0.4、0.5 当收敛域为 |z|0.5 时，f(k)=( 0.4)k 1(

4、0.5)k 1) (k 1) 当收敛域为0.4|z|0.5时， f(k)= ( 0.4)k 1(k 1)+( 0.5)k 1( k) 当收敛域为 |z|0.4 时，f(k)= ( 0.4)k 1( k)+( 0.5)k 1( k) 点评 ：此题应对收敛域分别讨论， 很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。4、已知某连续系统的特征多项式为：269111063)(234567ssssssssD试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？解构作罗斯 -霍维茨阵列611617s291036s03168385s2314s342(00)32sss此时出现全零行，有辅助多项

5、式. . . . .下载可编辑 . 34646 ,4,6ss求导可得以代替全零行系数。210322232sss由罗斯 - 霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明s右半平面无极点。再由42320ss令2sx则有2320 xx可解得1,2x相应地有1, 21sj 3 ,42sj2这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j2，系统为临界稳定。所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根 。点评 ：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。5、已知某连续时间系统的系统函数为：3232642( )21sssH ssss。试给出该系统的状态方程 。解： 系统的微分方程为)(

6、2)(4)(6)()()()(2)(tetetetetytytyty取原来的辅助变量q及其各阶导数为状态变量并分别表示为1xq、2xq、3 xq、 3xq，于是 ，由此微分方程立即可以写出如下方程状态方程 ：)(232133221texxxxxxxx输出方程 ：)(436423213213texxxxxxxy或者写成矩阵形式，上式即为exxxxxx100211010100321321BeAx )(431321texxxyDeCx. . . . .下载可编辑 . 6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。1z1z2-0.3)(ke)(kr-0.2解：06.05 .03.22.01)3.021(

7、)(2zzzzzzH二、已知系统框图如图 （a），输入信号e(t)的时域波形如图 （b），子系统 h(t)的冲激响应波形如图 (c)所示，信号( )f t的频谱为()jnnFje。e(t)图 (a)h(t)y(t)(tfe(t)244t图(b)h(t)t图(c)011试：1） 分别画出)(tf的频谱图和时域波形 ；2） 求输出响应 y(t)并画出时域波形 。. . . . .下载可编辑 . 3） 子系统 h(t)是否是物理可实现的 ？为什么 ？请叙述理由 ；解：1） 根据傅立叶变换的性质得：nnttf)2()(2-4-24tf(t)(1)nnjF)()(wF(jw)22）y(t)=e(t)f(

8、t)h(t)=(t+2)+2(t)+ (t 2) h(t)= h(t+2)+2h(t)+ h(t2) 2-212-13ty(t)3）因 h(t) 是有始因果信号，所以子系统h(t)是物理可实现的。三已知电路如下图所示 ，激励信号为)()(tte，在 t=0 和 t=1 时测得系统的输出为1)0(y，5.0)1(ey。分别求系统的零输入响应、零状态响应 、全响应、以及自然响应和受迫响应。. . . . .下载可编辑 . e(t)L=2HC=1FR1=2R2=1+y(t)_解：1） 电路满足KVL：得)(5.0)(5 .0)(5.1)(tetytyty2）系统函数为 ：5.05 .15.0)(2s

9、sssH，特征根为1=0.5，2=1 Yzs(s)=H(s)E(s)= ssss15.05.15 .02=115.01ss零状态响应 ： yzs(t)=(e0.5tet) (t) yzs(0)=0 ，yzs(1)=(e0.5e1)；yzi(0)= y(0) yzs(0)=1 ，yzi(1)= y(1) yzs(1)= e1；yzi(t)=(C1e0.5t +C2et) (t),得 C1=0 ，C2=1 零输入响应 ： yzi(t)= et(t)；全响应 ：y (t)= e0.5t(t) 四、已知某离散系统的差分方程为)1()()1(3)2(2kekykyky其初始状态为6)2(,2)1(ziz

10、iyy，激励)()(kke；求：1） 零输入响应)(kyzi、零状态响应)(kyzs及全响应)(ky；2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；3） 判断该系统的稳定性 。解：132)(2zzzzH，特征根为1=0.5 ，2=1 1） yzi(k)=(C10.5k+C2) (k)；. . . . .下载可编辑 . 代入初始条件得C1=2，C2=2 零输入响应 ： yzi(k)= (220.5k) (k) Yzs(z)=H(z)E(z)= 22) 1(15.01132zzzzzzzzzzz=115 .01ss零状态响应 ： yzs(k)= (0.5k +k1) (k) yzs(0)=0 ，yz

11、s(1)=(e0.5e1)；全响应 ：y (k)= (1+k0.5k) (k) 2）自由响应 ：(1 0.5k) (k) 受迫响应 ：k (k)，严格地说是混合响应。3）系统的特征根为1=0.5 （单位圆内 ），2=1 （单位圆上 ）， 所 2 系统临界稳定。五已知某离散时间系统的单位函数响应( )cos( )2kh kk。1） 求其系统函数( )Hz；2） 粗略绘出该系统的幅频特性；3） 画出该系统的框图。解：1） 系统函数为 ：121)(21)(21)(2)()2cos(22222222zzezzezzkeZkeZkeeZkkZjjkjkjkjkj1)(22zzzH2）系统的幅频特性为：|

12、cos2|1|1)()(|)(|22jjjeeeHw|H(ejw)|22230.5. . . . .下载可编辑 . 3）系统的框图1z1z-1E(z)Y(z)六、请叙述并证明 z 变换的卷积定理 。解：卷积定理设)()(11zFkfZ,)()(22zFkfZ，则)()()(*)(2121zFzFkfkfZ或用符号表示为： 若)()(11zFkf，)()(22zFkf，则)()()(*)(2121zFzFkfkf两序列卷积后z变换的收敛区是原来两个Z变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和及 Z 变换的定义证明如下kjkjjkfjfzjkfjfZkfkfZ)()()()()(*)(212121

13、交换上式右方的取和次序，上式成为jkkjkfzjfkfkfZ)()()(*)(2121对上式右方第二个取和式应用式(8 15)的移序特性 ，则得)()()()()(*)(212121zFzFzFzjfkfkfZjj1-1 已知信号( )f t的波形如图1-1 所示 ，画出(12 )ft的波形 。( )f t0112t图 1-1 信号( )f t 的波形. . . . .下载可编辑 . 1-2 计算下列各式。（1）0(2)sin(3)dttt（2）20()dtett（3）10(3)dj ttet（4）0sin 2( )dtttt1-3 设系统的输入和输出信号分别为( )f t，( )f k及(

14、)y t，( )y k，判断下列各系统是：线性的 ； 时不变的 ； 因果的 ； 稳定的 。（1）( )( )fty te（2）( )(cos )( )y ttf t（3）( )(1)( )0(0)(1)(0)f kky kkf kk1-4 已知( )f t， 为求0()f tat应按下列哪种运算求得正确结果？（ 式中0,ta都为正值）（1）()fat左移0t（2）()f at右移0t（3）()f at左移0ta（4）()fat右移0ta1-5 应用冲激信号的性质，求下列表达式的值。（1）0() ( )df tttt（2）0() ( )df tttt（3）00() ()d2tttu tt（4）0

15、0() (2 )dttu ttt（5）() (2)dtettt（ 6）(sin ) ()d6tttt（7）0 ( )()djtetttt（ 8）221(31) ( )dttt（9）(cos) (1)dtttt（ 10）30()dk tketkt解答-1 解：信号波形变换为信号分析中的一个难点， 通常的方法是对给定的信号波形用反折、 时移、 尺度变换3 种运算按不同的排列顺序依次进行变换。如反折 时移 尺度变换 ，反折尺度变换 时移等6 种变换方法 。但不管哪一种变换方法都容易出现错误。在这里介绍一种简单可靠的方法，很容易得到变换后的波形且准确无误。具体步聚如下：（1） 对给定信号的自变量用t表

16、示 ，变换后信号的自变量用x表示 ， 则本例中的对应. . . . .下载可编辑 . 自变量为( )f t、(12 )fx。（2）令括号的变量相等，即12xt，解出1(1)2xt。（ 3） 给定不同的t值 ，求出相应的x值 ，当然最好用已知波形的特殊点所对应的t值。 如果用拐点处的t求x，则x对应于变换后波形的拐点。 即0t，12x；1t，0 x；2t，12x。（ 4 ） 找 到 各x值 处 的 信 号 值 。12x处 的 值 为 对 应 于0t处 的 值 ， 即1 2( )xf x0( )0tf t；0 x处 的 值为01( )( )1xtf xf t。同 理，1 22( )( )1xtf

17、xf t。各点值对应于图中的a、b、c、d各点 。（5）按给定的信号波形变化规律依次连接变换后的信号各x值的信号值 ，即得到变换后的波形 。图 1（a）中abcd对应于图1（b）中abcd。（6）需特别注意冲激信号的尺度变换，因为冲激信号的尺度变换对应着冲激强度的变化， 即1()( )atta。（7）最后令xt恢复原自变量，如图 1（b）所示 。( )f t0112t(12 )fx1 21 2tabcdabcd1( )a( )b图 1 波形变换的过程1-2 解 ：（ 1）00(2)sin(3)d(2)sin( 1)dsinttttt（ 2）22200(0)()d()d0(0)tetettett

18、t（ 3）11300(3)d(3)d0jtjtetett（ 4）00002sin 2sin 2sin 2dsin 2( )d( )()( )d()0d2cos2sin20ttttttttttttttttt ttt1-3 解：（1）( )( )fty te. . . . .下载可编辑 . 1( )1( )fty te，2( )2( )ftyte，1212( )( )( )( )12( )( )ftftftfty tyteee， 所以该系统是非线性系统 。0()0()ftty tte，所以该系统是时不变的。( )y t与( )f t有关 ，与0()f tt无关0(0)t， 所以该系统是因果的。 假

19、设( )f t是有界的 ，( )f tM，则对应的输出( )( )ftMy tee也是有界的，所以该系统是稳定的。（2）( )(cos )( )y ttf t11( )cos( )y ttft，22( )cos( )yttft，1212( )( )cos( )( )y tyttftft， 所以该系统是线性系统。0000()cos()()cos()y ttttf tttf tt，所以该系统是时变的。( )y t与0()f tt无关0(0)t，所以该系统是因果的。 若( )f t是有界的 ，即( )f tM，则对应的输出( )cos( )( )y tt f tf tM， 所以该系统是稳定的。（3）

20、( )(1)( )0(0)(1)(0)f kky kkf kk121212( )( )(1)( )( )0(0)(1)(1)(0)f kfkky kykkf kfkk所以 ，该系统是线性的。当输入为0()f kk时， 输出为0010()(1)0(0)(1)(0)kf kkkykf kkk00()kyy kk，所以该系统是时不变的。 因为( )y k与(1) (0)f kk有关 ，所以该系统是非因果的。 若( )f k有界 ， 则( )y k也有界 ，所以该系统是稳定的。1-4 解：（1）因为()fat左移0t，得00()()fa ttfatt，所以不能采用这种运算。（2） 因为()f at右移

21、0t，得000 ()()()f a ttf atatfatt， 所以不能采用这种运算 。. . . . .下载可编辑 . （3） 因为()f at左移0ta， 得000 ()()()tf a tf attfatta， 所以不能采用这种运算 。（4）因为()fat右移0ta，得00()()tfa tfatta，所以可采用此种运算。1-5 解：（1）000()d(0)()f tttftft（2）00()d( )f tttf t（3）00000)d()()222tttttu ttu tu（4）000)d()tt u tttut（5）22)d2tettte（6）1(sin ) ()d662tttt（7

22、）00( )()d1j tjtetttte（8）22211(31) ( )( )d1tt dttt（9）(cos) (1)d(1)d0tttttt（10）22333000()d()dktkkkkketktetkte2-1 给定电路如图2-1 所示 ，0t时开关S 处于1 的位置而且已经达到直流稳态； 当0t时 ，开关S 由 1 转向2。确定系统起始条件(0 )y，(0 )y和初始条件(0 )y，(0 )y。H1LF1C11R( )2x tV12R( )i t( )y t( )4tx te V21S( )Lit0t图 2-1 题 2-1 电路图2-2 已知系统微分方程、起始条件以及激励信号分别为

23、222dd( )3 ( )( )4 ( ),(0 )2, ( )( )ddty ty tx tx tyx teu ttt试求解该系统 。. . . . .下载可编辑 . 2-3 已知图 2-3 所示电路中 ，(0 )1cuV，(0 )1LiA，求响应( )cut。( )cit2R41R2L1H( )cu tC1 2F( )Lit图 2-2 题 2-3 电路图2-4 已知一LTI 系统对激励为1( )( )x tu t时的完全响应为1( )2( )ty te u t，对激励为2( )( )xtt时的完全响应为2( )( )y tt，试求（1） 该系统的零输入响应( )ziyt；（2） 该系统的阶

24、跃响应；（3） 该系统的冲激响应。2-5 求图 2-3 所示函数( )x t与( )h t的卷积积分( )y t。0202122( )x t( )h ttt图 2-3 题 2-5 的波形2-6 已知1( )(1)( )(1)f ttu tu t，2( )(1)(2)ftu tu t，分别利用图解法和公式法计算12( )( )f tft2-7 已知一个线性时不变系统的输入信号( )f t及单位冲激响应( )h t如图2-8所示 ，求零状态响应( )zsyt。( )f tt12110( )h t10t123( )a( )b图 2-4 题 2-7 的波形图2-8已知电路如图2-9所示 ，0t时合上开

25、关S，3( )( )tf teu t，求0t时的电流( )i t。. . . . .下载可编辑 . 1R2( )f t( )i t2( )it2R23R2L1HE4VS图 2-5 题 2-8 电路图2-1 解 ：首先根据电路求系统在0t时刻的电感电流(0 )Li和电容电压(0 )Cv及系统起始条件(0 ),(0 )yy。 换路前 ，电路已经到达直流稳态，电容相当于开路，电感相当于短路，所以122(0 )1ALiRR，112(0 )2V1VCRvRR因为( )( )( )Cy tx tvt，所以有(0 )(0 )(0 )211CyxvVddd1(0 )(0 )(0 )0(0 )0/dddCCCy

26、xvviVstttC下面用前面介绍的两种方法来求0t时刻系统的初始条件(0 )y，(0 )y。方法一 ：由电路直接求换路后电容电压和电感电流不跳变，即有(0 )(0 )1ALLii，(0 )(0 )1VCCvv由此可以画出0t瞬间的等效电路11R12R( )y t( )4tx te V(0 )1LiA(0 )1CvV图 2-2 0时刻等效电路所以有(0 )(0 )(0 )413CyxvV0dd1(0 )(0 )(0 )4(0 )4(0 )ddtCCCtyxveiittC而11(0 )(0 )(0 )1 10CLCiivAR故d(0 )4/dyVst. . . . .下载可编辑 . 方法二 ：用

27、微分方程两端冲激函数匹配法求0t到0t时刻系统状态的跳变， 再求初始条件该方法利用微分方程两端冲激函数匹配原理求0t时刻到0t时刻系统起始条件的跳变值 。求跳变值的基本思路是，首先由系统微分方程简化得到00t时刻的微分方程 ，该微分方程右端只包含信号的跳变值、 冲激信号及其各阶导数；接着利用微分方程两端冲激信号匹配条件求得从0t到0t时刻系统起始条件的跳变值； 最后根据跳变值求得0t时刻系统的初始条件。首先列写电路的微分方程。由算子法根据分压关系，得)(2212)(1111)(11)(22212txpppptxppptxRpLRpCRpLty即22(22) ( )(21) ( )ppy tpp

28、x t写成微分方程形式，即为2222dddd( )2( )2 ( )( )2( )( )ddddy ty ty tx tx tx ttttt激励信号及其导数为22( )2 ()4( )2(42) ( )d( )(42) ( )4( )2 ( )4( )dd( )2 ( )4 ( )4( )dttttttx tute u teu tx tete u tte u ttx ttte u tt下面只考虑00t时刻的跳变问题，用u表示在00t时刻的跳变值，有22( )2d( )2 ( )4dd( )2 ( )4 ( )4dx tux ttutx tttut注意式 只在时间范围00t有效 ，而且只考虑跳变

29、问题， 它们分别由式化简得到。 将它们代入式， 则系统在00t时刻的微分方程为22dd( )2( )2 ( )2( )2ddy ty ty ttutt方程 右端最高项是( ) t，因而假设22d( )( )( )dy tatbtc ut将式 连续积分二次分别得到. . . . .下载可编辑 . d( )( )dy tatb utuaty)(注意从式 到式 只考虑时间00t范围 ，而且只包含跳变值、冲激函数及其各阶导数 ， 不包含其他普通函数。 从式 、 和式 容易看出，a，b，c分别为( )y t，d( )dy tt，22d( )dy tt在0t到0t时刻的跳变值。将式 、 和代入式 ， 得(

30、 )( )2( )222 ( )2atbtc uatb ua utu求得2a，4b因为a和b分别表示( )y t和d( )dy tt在0t到0t时刻的跳变值 ， 因而有(0 )(0 )213dd(0 )(0 )044ddyyayybtt由此可以看出，两种方法求得的结果一致。一般来说 ，如果系统给定的是已知电路，则利用第一种方法直接由电路求系统的起始条件和初始条件比较方便；如果系统给定的是微分方程 ，则只有用第二种方法来求系统的起始条件和初始条件。2-2 解：（1）特征方程30，特征根3，齐次解为3( )thytC e（2）设特解为2( )tpytA e，代入原微分方程，有tttteeeAeA2

31、2224432整理得8A，所以特解为2( )8tpyte（3）根据冲激函数匹配法求跳变值首先 ，将激励信号代入微分方程的右端，化简得2( )2 ( )8( )ttteu t00t时的微分方程则为d( )3 ( )( )2 ( )8dy ty tttut因而有d( )( )( )d( )( )y tatbtc uty tatb u. . . . .下载可编辑 . 其中 ，b和c分别表示( )y t和d( )dy tt在0t到0t时刻的跳变值，代入微分方程， 得( )( )3( )3( )2 ( )8atbtc uatb uttu所以23,5,1cba因而有(0 )(0 )253yyb（4） 完全

32、解为32( )8tty tCee，由初始条件(0 )3y，得11C，所以完全解为32( )118tty tee（5） 根据式 的第二式 ， 我们知道( )y t在00t时还包含有( )( )att， 所以完全解为32( )( )( 118)( )tty tteeu t2-3 解：电路中无外加激励，故响应也为零输入响应，需要确定系统特征方程的特征根。另一方面在确定响应中待定常数时要知道(0 )cu及d(0 )dcut， 所以要从已知条件中求出(0 )cu及d(0 )dcut。电路的回路方程为11112( )( )( )0d ( )( )() ( )0dccLLcLu tit Rit Riti t

33、 RRR itLt2(2) ( )2 ( )02 ( )(6) ( )0cLcLi titpi tpit所以系统的特征方程为2222221012(2)(6)4026pppPppP可得12p，23p， 故2312( )() ( )ttcutC eC eu t方程 中的第一式中 ，令0t，有(0 )(0 ) 2(0 ) 20ccLuii1(0 ) 220ci. . . . .下载可编辑 . 1(0 )2ci因为d( )( )dccutitCt，所以d11(0 )(0 )21d2ccuitC由于系统没有输入信号，所以在0t时( )cut，d( )dcu tt没有跳变 。即(0 )(0 )1ccuu，

34、dd(0 )(0 )1ddccuutt将式 代入式 中 ，得121212( 3)1CCCC14C，23C， 即23( )(43) ( )ttcu teeu t。2-4 解：（1）该题既没有给出系统的微分方程，也没有给出电路结构，所以系统的数学模型是不知道的 ，但可以利用LTI 系统的线性分解性质。 假设1( )( )x tu t引起的零状态响应为( )g t。因为21d( )( )dx tx tt，所以有1( )2( )( )( )tziy te u tytg t2d( )( )( )( )dziyttytg tt式 减式 ， 有d( )( )( )2( )dtg tg tte u tt齐次解

35、为tAe， 求特解时 ， 由于只考虑0t的情况 ，所以上式中的冲激信号不用考虑， 故设特解为tBe，代入式 得1B，所以完全解为( ),0ttg tAeet根据冲激函数匹配法求初始条件， 由于式 右边只含( ) t，所以d( )( )d( )g tatb utg ta u代入式 ， 求得1a，所以(0 )(0 )1gga，代入式 得0A，所以有( )( )tg te u t将式 代入式 ， 则系统的零输入响应为( )( )tziyte u t（2）式 中的( )g t是( )u t引起的零状态响应， 也即为系统的阶跃响应。. . . . .下载可编辑 . （3）由系统的阶跃响应可求得系统的冲激

36、响应为d( )( )( )( )dth tg tte u tt2-5 解：将( )x t和( )h t中的自变量t换成时，得x( ),02222022,020, 10,0)(h波形分别如图2-5(a) 和 2-5(b) 所示 。 将( )h反折 ，得2,002,10,0)(h波形如图2-5(c) 所示 。 将()h移位 ， 得()h t，因此( )( )( )( ) ()dy tx th txh t（1）当t2时 ，( )x与()h t没有重叠部分，波形如图2-5(d) 所示 ，其乘积为零 ，故( )0y t。（ 2） 当20t时 ，()h t部分进入( )x的范围 ， 波形如图2-5(e)

37、所示 。 在( 2, ) t的范围内 ，( )x与()h t有重叠部分 ，于是22( )( ) ()d2 1d2(2)tty txh tt（ 3） 当02t时 ，()h t完全处于( )x的范围内， 波形如图2-5(f) 所示 。 在(2, )tt的范围内 ，( )x与()h t有重叠部分 ，于是22( )( ) ()d2 1d4tttty txh t（ 4） 当24t时 ，()h t部分离开( )x的范围 ， 波形如图2-5(g) 所示 。 在(2,2)t的范围内 ，( )x与()h t有重叠部分 ， 于是2222( )( ) ()d2 1d2(4)tty txh tt（ 5 ） 当4t时

38、，( )x与()h t没有重叠部分， 波形如图2-5(h) 所示 。 因此 ，( )0y t。归纳上述计算结果，得42,2820,402,424or 2,0)(tttttttty卷积结果波形如图2-5(i) 所示 。. . . . .下载可编辑 . 0( )x20( )h2122( )a( )b0()h120( )x222()h tt2t2t( )c()d10( )x222()h tt2t02t0( )x222()h tt2t20t( )e()f110( )x222()h tt2t42t0t( )x222()h t2t4t()g( )h11图 2-5 卷积积分的图解计算0t( )( )x th

39、 t2244( ) i2-6 解：解法一 ：图解法 。由信号表达式画出信号波形，如图 2-6 所示 。. . . . .下载可编辑 . 1( )f t211t112t2( )ftabcd2()f112tcd000( )a( )b( )c图 2-6 例 2-6 的波形图图解法计算卷积时如何确定积分区间是个难点，确定不准确会使计算出现错误。通常卷积中出现积分区间的变化是由于参与卷积的信号是由折线组成的，所以我们在图解之前先找出信号的拐点，如图2-6（a）中1( )f t波形的a、b点及图2-6(b) 中2( )ft波形的c、d点。图中当12( )( )f tft随t的变化从到变化过程中 ，当2()

40、ft中的一个拐点与1( )f中的一个拐点相遇时就会引发积分区间的变化， 利用这个结论就可以判断有几次积分区间的变化 。积分区间如何变化，要根据具体情况判断。2()ft的两个拐点c，d的位置分别为1t， 和2t时刻 。当2()ft中1t时， 两个函数不重合，12( )( )0f tft；1t时 ， 拐点c和a相遇 ，说明12( )( )f tft出现拐点 ，即12( )( )0f tft；当2t时，拐点c、b和d、a相遇 ， 说明12( )( )f tft又出现拐点 ；当12t时，12( )( )ftft无拐点 ，表明在12t内是一个积分区间，即在12t时，有11212022( )( )( )(

41、)d(1)d1111(1)0222tf tftffttt当2t时 ，拐点c、b、d、a相遇 ，12( )( )f tft出现拐点 ；当3t时，拐点d、b相遇 ， 表明12( )( )ftft又出现拐点； 当23t时 ，12( )( )f tft无拐点， 说明在23t时为一个新的积分区间。当23t时 ，有12121222211( )( )( )()d(1)d(1)221132(1)222tf tftffttttt当3t时 ， 拐点d、b相遇 ，表明12( )( )f tft在3t处出现拐点； 而3t以后1( )f与2()ft不再重合 ，即3t时12( )( )0ftft。12( )( )f tf

42、t波形如图 2-7 所示 。21220(1)(1)/ 2(12)( )( )/23/ 2(23)0(3)tttf tfttttt. . . . .下载可编辑 . 123t12( )( )f tft10图 2-7 12( )( )ftft 的波形图解法二 ：按定义计算12121200( )( )( )()d(1) ( )(1) (1)(2)d(1) ( ) (1)d(1) ( ) (2)d(1) (1) (1)d(1) (1) (2)d(1)(1ttf tftfftuuu tu tuu tuu tuu tuu td1211222222222)d(1)d(1)d1211(1)(1)(1)(2)00

43、221211(1)(2)(1)(3)112211(1) (1)(1)1 (2)2211(4) (2)(1)4 (3)2211(1) (1)(22ttttu tu tttu tu ttu ttu ttu ttu ttu t2221)5) (2)1(4)4) (3)2ttu ttu t所以21220(1)(1)/ 2(12)( )( )/23/ 2(23)0(3)tttf tfttttt解法三 ：用卷积性质计算由于1221d( )( )( )( )ddtftftftft，可先对2( )ft求导数 ， 对1( )ft求积分 ， 再卷积 。. . . . .下载可编辑 . 2d( ) (1)(2)(1

44、)(2)ddftu tu tttdtt1012222( )d(1) ( )(1)d(1)d(1)d11(1)( )(1)(1)0122111(1) ( )(1)4 (1)222ttttfuuttu tu ttu ttu t所以22122222222111( )( )(1) ( )(1)4 (1) (1)(2)2221111() (1)(1) (2)222211(2) (2)(1)2 (3)221113() (1)(2) (2)() (3)2222f tfttu ttu ttttu ttu ttu ttu ttu tttu tttu t21220(1)(1)/ 2(12)( )( )/23/ 2

45、(23)0(3)tttf tfttttt2-7 解：此题利用卷积的微积分性质可以简化运算。( )( )( )( )d( )tzsytf th tfh t002( )dsin ( )(2)dsin( )dsin(2)d11cos( )cos(2)0211(1 cos) ( )(cos1) (2)11 ( )(2)cos ( )(2)ttttfuuuuttu tu tt u ttu tu tu tt u tu t( )(1)(3)h ttt所以11( ) (1)(3)cos(1) (1)(3)11 (3)(5)cos(3) (3)(5)zsytu tu ttu tu tu tu ttu tu t.

46、 . . . .下载可编辑 . 2-8 解：（1）先求零状态响应，此题可用叠加法求解。设第二个回路电流为2( )it， 方向如图2-9 所示 。 设( )f t产生的电流为( )fit，E产生的电流为( )Eit，则( )( )( )zsfEititit。 在( )f t的作用下 （将电源E短路 ）， 有122 22122()( )( )( )( )() ( )0ffRRitR itf tR itRRLp it代入元件参数 ，整理得224( )2 ( )( )2( )(4) ( )0ffititf titp it解得411( )( )(1)( )41243fpitf tf tpp所以31( )

47、( ( ) ( )4tfhtteu t33311( )( ) ( ) ( )( )(1)( )44tttffithf tteu teu tt eu t 在E的作用下 ，有224( )2 ( )02( )(4) ( )EEitititp itE解得211( )41223EEitEpp故31( )( )2tEhteu t3312( )4 ( )( )4( )(1) ( )23ttEEithu teu tu teu t（2）求零输入响应( )ziit初始条件(0 )i的确定 ：此题中由电路可分析出0t时，S断开 ，(0 )1LiA，但在0t时 刻S闭 合 ，( )i t在 电 源( )f t及(0

48、)1LiA的 共 同 作 用 下 ， 使 得(0 )0i，30(0 )1ttfe，( )Lit在0t时刻也不能突变。所以(0 )(0 )1LLiiA2111(0 )(0 )(0 )()2LifiRAR由（ 1）可知 ，系统特性方程为30p，特征根3p。故. . . . .下载可编辑 . 3( )( )tziitCeu t1(0 )2iC因此31( )( )2tziiteu t33333311221( )( )( )( )() ( )44332512() ( )1243ttttfEzitti titititeteeeu teteu t3-1 已知信号( )f t波形如图3-1 如示 ，其中 ，1

49、2A，2T。（1）求该信号的傅里叶变级数（三角形式与指数形式）。（2）求级数1111357S之和 。( )f ttT2TAA0图 3-1 信号( )f t的波形3-2已知半波余弦脉冲如图3-2 所示 ，求其傅里叶变换。( )f tE022t图 3-2 半波余弦脉冲波形3-3已知信号1( )f tt，求( )F f t。3-4已知下列频谱函数()F， 求其所对应的原函数( )f t。（1）21()F（2）221()F（3）3()()aFeu3-5用帕什瓦尔定理计算积分4S( )da tt。3-6已知1( )f t如图3-3(a) 所示 ，11F( )()f tF，周期信号2( )ft与1( )f

50、 t的关系如图3-3(b) 所示 ，求2( )ft的傅里叶变换2()F。. . . . .下载可编辑 . 1( )ftt012( )ftt1231230( )a( )b图 3-3 1( )ft，2( )ft的波形图3-7 若对下列信号进行理想抽样，求下列信号的奈奎斯特频率Nf和奈奎斯特间隔NT。（1）( )100f tSat（2）2( )100f tSat（3）10( )100100f tSatSat3-8 已知三角脉冲如图3-4 （a）所示 ，现被冲激抽样 ，抽样函数如图3-4 （b）所示 ， 且6sT，求抽样后的频谱。1( )f t2( )fttt00(1)sT22( )a( )b图 3-