(完整版)有理数知识点总结.pdf

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1、有理数知有理数知识识点点总结总结（20162016）第一章第一章 有理数有理数1.11.1 正数和正数和负负数数一、概念一、概念 1、正数：大于零的数，有时根据需要在正数前面加“+” （正号） 2、负数：在正数前面加上“” （负号）的数说明：一个数前面的“+” “”叫做它的号，其中“+”有时可以省略，但仍然表示正数，有时“+”是为了强调它是正数，但“”号是绝对不能省略的。3、0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界。 说明：关于 0 的总结实数，自然数，有理数，整数，非正数，非负数，偶数，相反数是本身，没有倒数，绝对值是本身，正负数分界二、二、实际应实际应用用在解决 一些实际问题时，可以认为

2、规定具有相反意义的量的正负。 例如：收入为正，支出为负，收支平衡为 0 零上为正，零下为负，分界为 0 向北（东）走为正，向南（西）走为负，原地不动为 0 加分为正，扣分为负，不加不扣为 0 逆时针为正，顺时针为负超标为正，低标为负，标准为 0 地上为正，地下为负，地面基准为 0 盈余为正，亏空为负，收支平衡为 0 水位上升为正，水位下降为负，水平面为 0高于平均分为正，低于平均分为负增加为正，减少为负，不增不减为 0海平面以上为正，以下为负，海平面记为 0三、三、易易错错易易误误点点1、-a 一定是负数么？答案：不一定，需要分类分析解析：当 a 大于 0 时，-a 就是负数；当 a 等于 0

3、 时，-a 为 0；当 a 小于 0时，-a 是正数 因此，a 不一定是正数也不一定是负数，判断字母的正负时，需要分类讨论，也不能忽略 0 的存在。2、海拔 0 米并不表示没有海拔，而是说海拔中海平面的平均高度为 0 米。3、非正数：0 和负数 非负数：0 和正数1.21.2 有理数有理数1、概念概念1、有理数：正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数（含有限小数和无限循环小数）的形式，这样的数称为有理数。2、无理数：既不是正数也不是分数，就一定不是有理数。如无限不循环小数 =3.1415926 它不能化成分数形式。2 2、 、分分类类1 1、按定按定义义分分类类；有理数分；有理数分为

4、为整数（正整数、整数（正整数、0 0、负负整数）整数） ；分数（正分数、；分数（正分数、负负分数）分数）2 2、按性按性质质符号分符号分类类；有理数分；有理数分为为正有理数（正整数、正分数）正有理数（正整数、正分数） 、0 0、负负有理数（有理数（负负整数、整数、负负分数）分数）三、数三、数轴轴1、定义：数轴是一条可以向两端无限延伸的直线 规定三要素原点，正方向，单位长度 注意“规定”二字，是说三要素是根据实际需要认为规定的。 2、画法：（必须用直尺！）、1、先画一条直线（2）在直线上任取一点，作为原点，记为 0（3）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右（向左）每隔一个单位长度取一点。3、与

5、有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示，通常“正右负左，原点中间” ； 但数轴上的点不都来表示有理数。四、相反数（重点）四、相反数（重点）1 1、概念、概念（1）几何定义：在数轴上分别位于原点两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。（2）代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如，2 和-2 ；0 的相反数是 0。2、表示方法以及多重符号的简化 （1）a 的相反数是-a，这里 a 是任意有理数(即正数、负数、0) 当 a 大于 0 时，-a 小于 0（正数的相反数是负数） 当 a 小于 0 时，-a 大于 0（负数的相反数是正数） 当 a 等于 0 时，-a

6、等于 0（0 的相反数是 0） （2）多重符号化简方法：正数前有偶数个“” ，可以把“”一起去掉 2 / 5 正数前有奇数个“” ，最后只留一个“” 0 前无论有多少个“” ，化简后仍是 0五、五、绝对值绝对值1 1、概念、概念（1）几何定义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，记作a，读作 a 的绝对值，绝对值不能是负数。（2）代数定义：正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数。2、做题时需要慎重考虑 0 的情况。六、有理数大小比六、有理数大小比较较1、具体方法：将各数在同一条数轴上表示出来，那么从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即为负数0正

7、数。2、两个负数，绝对值大的反而小。3 两数大小：同号同正，绝对值大的数大 同负，绝对值大的反而小 异号正数大于负数 一数为零正数0，负数0 1.3 有理数的加减法 1.3.1有理数的加法一、一、法法则则1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2、绝对值不相等的异号两数相加，去绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3、互为相反数的两个数相加得 0；4、一个数同 0 相加，仍得这个数。二、运算律二、运算律1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。a+b=b+a2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a+b)+c=(a+c

8、)+b1.3.21.3.2 有理数的减法有理数的减法 法法则则：减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b)注意两变：减法变加法，减数变为它的相反数1.41.4 有理数的乘除法有理数的乘除法1.4.11.4.1 有理数的乘法有理数的乘法1、法法则则 1、两数相乘，同号得正，异号的负，并把绝对值相乘。 2、任何数同 0 相乘，都得 0。2、推广推广 1、几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。2、几个数相乘，有一个因数为 0，则乘积为 0。3、运算律1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba2、乘法结合律：三个数相乘，

9、先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab)c=(ac)b3、乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a(b+c)=ab+ac4、倒数倒数 1、乘积是 1 的两个数互为倒数。当 a0 时，与 1/a 互为倒数；当 m0，n0 时 n/m 与 m/n 互为倒数2、注意：0 没有倒数，做题时应当注意分母不为 0 3、-1 的倒数是-1；0 -1 之间的数的倒数比本身小；小于-1 的数的倒数比本身大。1.4.21.4.2 有理数的除法有理数的除法1、法法则则1、除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数。2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对

10、值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0，0 不能做除数。二、化二、化简简 1、分数可以理解为分子除以分母，分数线就是除号。 2、0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。三、混合运算三、混合运算1 1、乘除混合运算、乘除混合运算（1）如果一个带分数的整数部分和分数部分都能与某分数相乘时约分，则将这个带分数写成整数部分与分数部分的和，再利用分配律运算（2）运算时应该从左至右，并将除法化成乘法再进行运算。（3）除法化乘法，算式化连乘，小数化分数，带分数化假分数，负因数的个数确定符号的正负。2、加减、乘除混合运算 遵循原则：先乘除，后加减；按小括号、中括号、大括号依次计算；灵活运用分配

11、律。1.51.5 有理数的乘方有理数的乘方1.5.11.5.1 乘方乘方1、乘方的意乘方的意义义 1、求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方， 乘方的结果叫做幂。在 an中，a 叫做底数，n 叫做指数。2、一个数可以看做是这个数本身的一次方，指数 1 通常省略不写。3、因为 an就是 n 个 a 相乘，所以可以利用乘法运算计算乘方运算。2、乘方运算的性乘方运算的性质质1、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数，2、正数的任何次幂都是正数，3、0 的任何正整数次幂都是0。3、做有理数的混合运算做有理数的混合运算时时，应应注意以下运算注意以下运算顺顺序序：1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。1.5.21.5.2 科学科学记记数法数法。一、概念一、概念 把一个大于 10 的数表示成 ax10n的形式（其中 a 是整数位只有一位的数，n 是原数的整数位减 1.即 1a10，n 是正整数） ，这种计数方法叫做科学记数法。1.5.31.5.3 近似数近似数1、概念概念 四舍五入的近似数，从左边第一个非 0 的数字起，到精确到的数位止，所有的数都叫做这个数的有效数字。二、二、说说明明 一个数只是接近实际数，但与实际数还有差别，它是一个近似数。 近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。