算法各种算法总结.docx

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1、(1)用计算机求解问题的步骤：1、问题分析2、数学模型建立3、算法设计与选择4、算法指标5、算法分析6、算法实现7、 程序调试8、结果整理文档编制(2)算法定义：算法是指在解决问题时，依据某种机械步骤肯定可以得到问题结果的处理 过程(3)算法的三要素1、操作2、掌握结构3、数据结构算法具有以下5个属性：有穷性：一个算法必需总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。确定性：算法中每一条指令必需有准确的含义。不存在二义性。只有一个入口和一个出可行性：一个算法是可行的就是算法描述的操作是可以通过已经实现的基本运算执行有 限次来实现的。输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定

2、对象的集合。输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出同输入有着某些特定关系的量。算法设计的质量指标：正确性：算法应满足详细问题的需求；可读性：算法应当好读，以有利于读者对程序的理解；健壮性：算法应具有容错处理，当输入为非法数据时，算法应对其作出反响，而不是产 生莫名其妙的输出结果。效率与存储量需求：效率指的是算法执行的时间；存储量需求指算法执行过程中所需要 的最大存储空间。一般这两者与问题的规模有关。常常采纳的算法主要有迭代法、分而治之法、贪欲法、动态规划法、回溯法、分支限界法迭代法 也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方 法。采用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面

3、的工作：一、确定迭代模型。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或 间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下 一个值的公式(或关系)。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以 使用递推或倒推的方法来完成。三、对迭代过程进行掌握。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必 需考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的掌握通常可 分为两种状况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是 所需的迭代次数无法确定。对于前一种状况，可以构建一个固定次数的循环来实 现对迭代过程的掌

4、握；对于后一种状况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的 条件。编写计算斐波那契(Fibonacci)数列的第n项函数fib (n)o斐波那契数列为:0、1、1、2、3、,即:fib (0)=0;fib(l)=l;f ib (n) =f ib (n-l) +f ib (n-2)(当 nl 时)。写成递归函数有：scanf(%c,&awn);if (awn=，Q|awn=q) exit(O);queen_all(k+l,n);ai=bk+i=cn+k-i; )采纳递归方法找一个解与找全部解稍有不同，在找一个解的算法中，递归算法要对当 前候选解最终是否能成为解要有回答。当它成为最终解时，递归函数就不

5、再递归摸索，马上 返回；假设不能成为解，就得连续摸索。设函数queen_one()返回1表示找到解，返回。表示 当前候选解不能成为解。细节见以下函数。【程序】# define MAXN 20int n;int colMAXN+1 ,aM AXN+1 ,b2*M AXN+1 ,c2*M AXN+1 ;int queen_one(int k,int n) int i,found;i=found=0;While (!found&i i+;if (ai&bk+i&cn+k-i) colk=i;ai=bk+i=cn+k-i=O;if (k=n) return 1; elsefound=queen_one

6、(k+ l,n); ai=bk+i=cn+k-i=l;) return found;)分支定界法：分支限界法：这是一种用于求解组合优化问题的排解非解的搜寻算法。类似于回溯法，分枝定界法在搜寻 解空间时、也常常使用树形结构来组织解空间。然而与回溯法不同的是，回溯算法使用深度 优先方法搜寻树结构，而分枝定界一般用宽度优先或最小耗费方法来搜寻这些树。因此，可 以很简洁比拟回溯法与分枝定界法的异同。相对而言，分枝定界算法的解空间比回溯法大得 多，因此当内存容量有限时，回溯法胜利的可能性更大。算法思想：分枝定界(branch and bound)是另一种系统地搜寻解空间的方法，它与回溯法 的主要区分在于

7、对E-节点的扩充方式。每个活节点有且仅有一次机会变成E-节点。当一个 节点变为E.节点时，那么生成从该节点移动一步即可到达的全部新节点。在生成的节点中， 抛弃那些不行能导出(最优)可行解的节点，其余节点加入活节点表，然后从表中选择一个 节点作为下一个E-节点。从活节点表中取出所选择的节点并进行扩充，直到找到解或活动 表为空，扩充过程才结束。有两种常用的方法可用来选择下一个E-节点(虽然也可能存在其他的方法)：1)先进先出(FIFO)即从活节点表中取出节点的挨次与加入节点的挨次相同，因此活 节点表的性质与队列相同。2)最小耗费或最大收益法在这种模式中，每个节点都有一个对应的耗费或收益。假如查找

8、一个具有最小耗费的解，那么活节点表可用最小堆来建立，下一个E-节点就是具有最小耗费 的活节点；假如盼望搜寻一个具有最大收益的解，那么可用最大堆来构造活节点表，下一个E-节点是具有最大收益的活节点装载问题用一个队列Q来存放活结点表，Q中weight 表示每个活结点所相应的当前载重量。当 weight = - 1时，表示队列已到达解空间树 同一层结点的尾部。算法首先检测当前扩展结点的左儿子结 点是否为可行结点。假如是那么将其加入到活 结点队列中。然后将其右儿子结点加入到活 结点队列中(右儿子结点肯定是可行结点)。2 个儿子结点都产生后，当前扩展结点被舍 弃。活结点队列中的队首元素被取出作为 当前扩

9、展结点，由于队列中每一层结点之后 都有一个尾部标记-1,故在取队首元素时， 活结点队列肯定不空。当取出的元素是-1 时，再推断当前队列是否为空。假如队列非 空，那么将尾部标记-1加入活结点队列，算法 开头处理下一层的活结点。/*该版本只算出最优解.*/#include#includestructQueueint weight ;struct Queue* next ;int bestw = 0 ; /目前的最优值Queue* Q; /活 结点队列 Queue* lq = NULL Queue* fq = NULL ;int Add(int w) Queue* q ;q = (Queue*)ma

10、lloc(sizeof(Queue);if(q=NULL) printf(M没有足够的空间安排 nn) ; return 1 ;q-next = NULL ;q-weight =w ;if(Q-next = NULL) Q-next = q ； fq = lq = Q-next ; /肯定要使元素放到 链中else lq-next = q ; lq = q ;/ lq = q-next;return 0 ;int IsEmpty() if(Q-next=NULL) return 1 ;return 0 ;int Delete(int&w) Queue* tmp = NULL ;/ fq = Q

11、-next ;tmp = fq ;w = fq-weight ;Q-next 二 fq-next ; /*肯定不能 丢了链表头*/fq = fq-next ;free(tmp) ;returnE-节点是具有最大收益的活节点装载问题用一个队列Q来存放活结点表，Q中weight 表示每个活结点所相应的当前载重量。当 weight = - 1时，表示队列已到达解空间树 同一层结点的尾部。算法首先检测当前扩展结点的左儿子结 点是否为可行结点。假如是那么将其加入到活 结点队列中。然后将其右儿子结点加入到活 结点队列中(右儿子结点肯定是可行结点)。2 个儿子结点都产生后，当前扩展结点被舍 弃。活结点队列中

12、的队首元素被取出作为 当前扩展结点，由于队列中每一层结点之后 都有一个尾部标记-1,故在取队首元素时， 活结点队列肯定不空。当取出的元素是-1 时，再推断当前队列是否为空。假如队列非 空，那么将尾部标记-1加入活结点队列，算法 开头处理下一层的活结点。/*该版本只算出最优解.*/#include#includestructQueueint weight ;struct Queue* next ;int bestw = 0 ; /目前的最优值Queue* Q; /活 结点队列 Queue* lq = NULL Queue* fq = NULL ;int Add(int w) Queue* q ;

13、q = (Queue*)malloc(sizeof(Queue);if(q=NULL) printf(M没有足够的空间安排 nn) ; return 1 ;q-next = NULL ;q-weight =w ;if(Q-next = NULL) Q-next = q ； fq = lq = Q-next ; /肯定要使元素放到 链中else lq-next = q ; lq = q ;/ lq = q-next;return 0 ;int IsEmpty() if(Q-next=NULL) return 1 ;return 0 ;int Delete(int&w) Queue* tmp =

14、NULL ;/ fq = Q-next ;tmp = fq ;w = fq-weight ;Q-next 二 fq-next ; /*肯定不能 丢了链表头*/fq = fq-next ;free(tmp) ;return0 ;void EnQueue(int wt, int& bestw, int i,intn)/该函数负责加入活结点假如不是 叶结点，那么将结点权值wt加入队列Qif(i = n) 叶子 if (wtbestw) bestw = wt;else Add(wt); / 不是叶子int MaxLoading(int w, int c, int n) / 返回 最优装载值为层次1初始

15、化int err ; 返 回值inti=l;当前扩展结点的层int Ew 二 0; /当前扩展结点的权值bestw=0;目前 的 最 优 值 Q = (Queue*)malloc(sizeof(Queue) ;Q-next = NULL ;Q-weight = -1 ;err = Add(-l); 标记 本层的尾部 if(err) return 0 ; while (true) 检查左孩子结点if (Ew + wi = c) / xi = 1 EnQueue(Ew + wi, bestw , i, n); /右孩子总是可行的 EnQueue(Ew, bestw, i, n); / xi = 0

16、 Delete(Ew); / 取下 一个扩展结点if (Ew=-1) /到达层的尾部 if (IsEmptyO) return bestw; if(in) Add(-l); / 同层结点的 尾部 Delete(Ew); /取下一扩展结 点i+;进入下一层 int main()int n =0 ; int c = 0 ;int i = 0 ;int* w ;FILE *in , *out ;in = fopen(input.txt , nrn) ;out 二 fopen(output.txt” , nwH) ；if(in=NULL|out=NULL) printf(n 没有输入输出文件n”);

17、return 1 ;fscanf(in , -d” , &n) ;fscanf(in , d” , &c) ;w = (int*)malloc(sizeof(int)*(n-i-l) ;for(i =1 ; il) return fib (n-l)+fib(n-2);)一个饲养场引进一只刚诞生的新品种兔子，这种兔子从诞生的下一个月开头， 每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。假如全部的兔子都不死去，问到 第12个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。我们不妨假设第1个月时兔子的只数为 u 1 ,第2个月时兔子的只数为u 2 ,第3个月时兔子的只数为u 3 , 依据题意，

18、“这种兔子从诞生的下一个月开头，每月新生一只兔子”，那么有u 1 = 1 , u2 = ul+ulXl = 2, u3 = u2 + u2Xl = 4 ,依据这个规律，可以归纳出下面的递x=l推公式：for i=2 to 12u n = u n 1 X 2 (nN 2)y=x*2对应un和un 1 ,定义两 x=y个迭代变量y和x ,可将上面的递next i推公式转换成如下迭代关系：print yy=x*2endx二y让计算机对这个迭代关系重复执行11次，就可以算出第12个月时的兔子数。参考程序如下：cis分治法1、分治法的基本思想任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模N有关。

19、问题 的规模越小，越简洁直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的 排序问题，当n=l时，不需任何计算；n=2时，只要作一次比拟即可排好序；n=3时 只要作3次比拟即可，。而当n较大时，问题就不那么简洁处理了。要想直接解决 一个规模较大的问题，有时是相当困难的。分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的 相同问题，以便各个击破，分而治之。分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：(1)该问题的规模缩小到肯定的程度就可以简洁地解决；(2)该问题可以分解为假设干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结 构性质；(3)采用该问题分解出的子问题的解可以合并为该

20、问题的解；(4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共 的子子问题。3、分治法的基本步骤分治法在每一层递归上都有三个步骤：（1）分解：将原问题分解为假设干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同 的子问题；（2）解决：假设子问题规模较小而简洁被解决那么直接解，否那么递归地解各个子 问题；（3）合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。快速排序在这种方法中，n个元素被分成三段（组）：左段left,右段right和中段middle。中 段仅包含一个元素。左段中各元素都小于等于中段元素，右段中各元素都大于等于中段元素。 因此1 e f t和r i g h t中的元素可以独立排序,

21、并且不必对因f t和r i g h t的排序结果进行合 并。middle中的元素被称为支点（pivot）。图1 4 - 9中给出了快速排序的伪代码。/使用快速排序方法对a 0 :n- 1 排序从a 0 :n- 1 中选择一个元素作为middle,该元素为支点把余下的元素分割为两段left和right,使得left中的元素都小于等于支点，而right 中的元素都大于等于支点递归地使用快速排序方法对left进行排序递归地使用快速排序方法对Fght进行排序所得结果为 left + middle + right考察元素序列4,8,3,7 , 1 , 5,6,2 。假设选择元素6作为支点，那么6位于m

22、i d d 1 e； 4, 3, 1, 5, 2位于left； 8, 7位于right。当left排好序后，所得结果为1, 2, 3, 4, 5；当rig hi排好序后，所得结果为7, 8。把right中的元素放在支点元素之后，left中 的元素放在支点元素之前，即可得到最终的结果1,2,3,4,5,6,7,8。把元素序列划分为left、middle和right可以就地进行（见程序14-6）。在程序 146中，支点总是取位置1中的元素。也可以采纳其他选择方式来提高排序性能，本章稍后局部将给出这样一种选择。程序14-6快速排序templatevoid QuickSort(Ta, int n)/对

23、a0:n-l进行快速排序/要求an必需有最大关键值quickSort(a, 0, n-1);templatevoid quickSort(T a, int 1, int r)/ 排序ar+l有大值if (1 = r) return;int i = 1, /从左至右的游标j = r+ 1；从右到左的游标T pivot = al;/把左侧=pivot的元素与右侧二 pivot的元素进行交换while (true) 后局部将给出这样一种选择。程序14-6快速排序templatevoid QuickSort(Ta, int n)/对a0:n-l进行快速排序/要求an必需有最大关键值quickSort(

24、a, 0, n-1);templatevoid quickSort(T a, int 1, int r)/ 排序ar+l有大值if (1 = r) return;int i = 1, /从左至右的游标j = r+ 1；从右到左的游标T pivot = al;/把左侧=pivot的元素与右侧=pivot的元素 i = i + 1; while (a pivot);if (i = j) break; /未觉察交换对象 Swap(a, aj);)/ 设置 pivotal = aj;aj= pivot;quickSort(a, 1, j-1); / 对左段排序 quickSort(aJ+l, r);

25、/ 对右段排序贪欲法它采纳逐步构造最优解的思想，在问题求解的每一个阶段，都作出一个在一定标准下看上 去最优的决策；决策一旦作出，就不行再更改。制定决策的依据称为贪欲准那么。贪欲法是一种不追求最优解，只盼望得到较为满足解的方法。贪欲法一般可以快速得到 满足的解，由于它省去了为找最优解要穷尽全部可能而必需耗费的大量时间。贪欲法常以当前状况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体状况，所以贪欲法不要回溯。【问题】 背包问题问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，前状况为基础作最优选择，而不考虑各种可能的整体状况，所以贪欲法不要回溯。【问题】 背包问题问题描述：有不同价值、不同重量的物品n件，选中物

26、品的总重量不超过指定的限制重量，但选中物品的价值之和最大。#includevoid main()(int m,n,i,j,w50,p50,pl50,b50,s=0,max;printf(输入背包涵量m,物品种类n :)； scanf(n%d %dn,&m,&n);for(i= 1 ;i=n;i=i+1)(printf(输入物品的重量W和价值P :”)；scanf(n%d %d,&wi,&pi);pli=pil；s=s+wi;)if(s=m)printf(nwhole choosenn);/return;动态规划的基本思想求从这n件物品中选取一局部物品的选择方案，使)for(i=l;i=n;i=

27、i+l) (max=l;for(j=2;jplmax/wmax) max寸 plmax=0;bi=max;)for(i=l,s=0;sm & i二n;i=i+1)s=s+wbi;if(s!=m)wbi-l |=m-w|bi-l;for(j=l；j=i-l;j=j+l)printf(choose weight %dnn,wbj);前文主要介绍了动态规划的一些理论依据，我们将前文所说的具有明显的阶段划分和状态转 移方程的动态规划称为标准动态规划，这种标准动态规划是在讨论多阶段决策问题时推导出 来的，具有严格的数学形式，适合用于理论上的分析。在实际应用中，很多问题的阶段划分 并不明显，这时假如刻意地

28、划分阶段法反而麻烦。一般来说，只要该问题可以划分成规模更 小的子问题，并且原问题的最优解中包含了子问题的最优解（即满足最优子化原理），那么可 以考虑用动态规划解决。动态规划的实质是分治思想和解决冗余，因此，动态规划是一种将问题实例分解为更小的、 相像的子问题，并存储子问题的解而避开计算重复的子问题，以解决最优化问题的算法策略。 由此可知，动态规划法与分治法和贪心法类似，它们都是将问题实例归纳为更小的、相像的 子问题，并通过求解子问题产生一个全局最优解。贪心法的当前选择可能要依靠已经作出的全部选择，但不依靠于有待于做出的选择和子问 题。因此贪心法自顶向下，一步一步地作出贪心选择；而分治法中的各个

29、子问题是独立的（即不包含公共的子问题），因此一旦递归地求出各子问 题的解后，便可自下而上地将子问题的解合并成问题的解。缺乏之处：假如当前选择可能要依靠子问题的解时，那么难以通过局部的贪心策略到达全局最 优解；假如各子问题是不独立的，那么分治法要做很多不必要的工作，重复地解公共的子问题。 解决上述问题的方法是采用动态规划。该方法主要应用于最优化问题，这类问题会有多种可 能的解，每个解都有一个值，而动态规划找出其中最优（最大或最小）值的解。假设存在假设干 个取最优值的解的话，它只取其中的一个。在求解过程中，该方法也是通过求解局部子问题 的解到达全局最优解，但与分治法和贪心法不同的是，动态规划允许这

30、些子问题不独立，(亦 即各子问题可包含公共的子问题)也允许其通过自身子问题的解作出选择，该方法对每一个 子问题只解一次，并将结果保存起来，避开每次遇到时都要重复计算。因此，动态规划法所针对的问题有一个显著的特征，即它所对应的子问题树中的子问题呈现 大量的重复。动态规划法的关键就在于，对于重复消失的子问题，只在第一次遇到时加以求 解，并把答案保存起来，让以后再遇到时直接引用，不必重新求解。3、动态规划算法的基本步骤设计一个标准的动态规划算法，通常可按以下几个步骤进行：(1)划分阶段：依据问题的时间或空间特征，把问题分为假设干个阶段。留意这假设干个阶段 肯定要是有序的或者是可排序的(即无后向性)，

31、否那么问题就无法用动态规划求解。(2)选择状态：将问题进展到各个阶段时所处于的各种客观状况用不同的状态表示出来。 当然，状态的选择要满足无后效性。(3)确定决策并写出状态转移方程：之所以把这两步放在一起，是由于决策和状态转移有 着自然 的联系，状态转移就是依据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以，假 如我们确定了决策，状态转移方程也就写出来了。但事实上，我们常常是反过来做，依据相 邻两段的各状态之间的关系来确定决策。(4)写出规划方程(包括边界条件)：动态规划的基本方程是规划方程的通用形式化表达式。 一般说来，只要阶段、状态、决策和状态转移确定了，这一步还是比拟简洁的。动态规划的 主要

32、难点在于理论上的设计，一旦设计完成，实现局部就会特别简洁。依据动态规划的基本 方程可以直接递归计算最优值，但是一般将其改为递推计算，实现的大体上的框架如下： 标准动态规划的基本框架1.对fn+l(Xn+l)初始化；边界条件for k:=n downto 1 dofor 每一个 XkXkdofor 每一个 Uk Uk(xk) dobeginfk(Xk)： =一 个极值；8 或一8xk+i：=Tk(xk,uk)； 状态转移方程t：=q)(fk+l(Xk+l),Vk(Xk,Uk)； 基本方程式if t 比 fk(xQ更优 then fk(xk):=t; 计算 fk(xk)的最优值end;t：二 一个

33、极值；8或一8for 每一个 xiXi doiffi(xi)比t更优then t:=fi(xi); 依据10式求出最优指标输出t;但是，实际应用当中常常不显式地依据上面步骤设计动态规划，而是按以下几个步骤进行:(1)分析最优解的性质，并刻划其结构特征。(2)递归地定义最优值。(3)以自底向上的方式或自顶向下的记忆化方法(备忘录法)计算出最优值。(4)依据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。步骤(1)(3)是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出最优值的情形，步骤(4)可 以省略，假设需要求出问题的一个最优解，那么必需执行步骤(4)o此时，在步骤(3)中计算 最优值时，通常需纪录更多的信息，以

34、便在步骤(4)中，依据所纪录的信息，快速地构造 出一个最优解。总结：动态规划实际上就是最优化的问题，是指将原问题的大实例等价于同一最优化问题的 较小实例，自底向上的求解最小实例，并将所求解存放起来，存放的结果就是为了预备数据。 与递归相比，递归是不断的调用子程序求解，是自顶向下的调用和求解。回溯法回溯法也称为摸索法，该方法首先临时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按 某种挨次逐一枚举和检验。当觉察当前候选解不行能是解时，就选择下一个候选解；如果当 前候选解除了还不满足问题规模要求外,满足全部其他要求时.，连续扩大当前候选解的规模, 并连续摸索。假如当前候选解满足包括问题规模在内的全部

35、要求时，该候选解就是问题的一 个解。在回溯法中，放弃当前候选解，查找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候选解 的规模，以连续摸索的过程称为向前摸索。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的问题P,通常要能表达为：对于的由n元组（Xi，X2,，Xn）组成 的一个状态空间E= （xi，X2，xn） I XieSi , i=l, 2, , n）,给定关于n元组中的 一个重量的一个约束集D,要求E中满足D的全部约束条件的全部n元组。其中Si是重量 土的定义域，且|Si|有限，i=l, 2,，no我们称E中满足D的全部约束条件的任一 n元 组为问题P的一个解。解问题P的最朴实的方法就是枚举法，即对E中的全

36、部n元组逐一地检测其是否满足D的 全部约束，假设满足，那么为问题P的一个解。但明显，其计算量是相当大的。我们觉察，对于很多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（X1，X2,，Xi）满 足D中仅涉及到X1，X2,，Xi的全部约束意味着j （jj。因此，对于约束集D具有完备性的问题P, 一旦检测断定某个j元 组（X1，X2，Xj）违反D中仅涉及X, X2，Xj的一个约束，就可以确定，以（XI， X2，Xj）为前缀的任何n元组（X1，X2，Xj, Xj+1，Xn）都不会是问题P的解， 因而就不必去搜寻它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，采用这类问题的上述性质而 提出来的比枚举法效率更高的算

37、法。回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T,把在E中 求问题P的全部解转化为在T中搜寻问题P的全部解。树T类似于检索树，它可以这样构 造：设Si中的元素可排成Xi，Xi，Xi（mi-D , |Si|=mi，i=l, 2,，no从根开头，让T 的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序, 分别带权Xi+i，Xi+i，Xi+尸），i=0, 1, 2,n-L照这种构造方式,E中的一 个n元组（xi, X2,，xn）对应于T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上 依次的n条边的权分别为X” X2，Xn，反之亦然。此外，对于任

38、意的0iWn-l, E中n 元组（XI，X2,，Xn）的一个前缀I元组（XI，X2,，Xj）对应于T中的一个非叶子结点， T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为XI，X2,，Xi，反之亦然。特 殊，E中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。因而，在E中查找问题P的一个解等价于在T中搜寻一个叶子结点，要求从T的根到该叶 子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权xi，X2,，心满足约束集D的全部约束。 在T中搜寻所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根动身，按深度优先的策略逐步深 化，即依次搜寻满足约束条件的前缀1元组（Xli）、前缀2元组（XI，X2）、，前缀I元组 （xi,

39、 X2，X），直到i=n为止。在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点被称为问题 P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树T上满足 约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点，它对应于问 题P的一个解。【问题】n皇后问题问题描述：求出在一个nXn的棋盘上，放置n个不能相互捕获的国际象棋“皇后” 的全部布局。这是来源于国际象棋的一个问题。皇后可以沿着纵横和两条斜线4个方向相互捕获。 如下图，一个皇后放在棋盘的第4行第3列位置上，那么棋盘上凡打“ X”的位置上的皇后 就能与这个皇后相互捕获。12345678xxXXX

40、XXXxxQxxxxxXXXXXXXXXX从图中可以得到以下启示：一个合适的解应是在每列、每行上只有一个皇后，且一条 斜线上也只有一个皇后。求解过程从空配置开头。在第1列至第m列为合理配置的基础上，再配置第m+1歹U， 直至第n列配置也是合理时，就找到了一个解。接着转变第n列配置，盼望获得下一个解。 此外，在任一列上，可能有n种配置。开头时配置在第1行，以后转变时，顺次选择第2 行、第3行、直到第n行。当第n行配置也找不到一个合理的配置时，就要回溯，去转 变前一列的配置。得到求解皇后问题的算法如下：（ 输入棋盘大小值n；m=0;good=1;do if （good）if （m=n）（ 输出解；

41、转变之，形成下一个候选解；）else 扩展当前候选接至下一列；else 转变之，形成下一个候选解；good二检查当前候选解的合理性； while （m!=0）;在编写程序之前,先确定边式棋盘的数据结构。比拟直观的方法是采纳一个二维数组, 但认真观看就会觉察，这种表示方法给调整候选解及检查其合理性带来困难。更好的方法乃 是尽可能直接表示那些常用的信息。对于此题来说，“常用信息”并不是皇后的详细位置， 而是“一个皇后是否已经在某行和某条斜线合理地安置好了”。因在某一列上恰好放一个皇 后，引入一个一维数组(col),值coli表示在棋盘第i歹1J、coli行有一个皇后。例如：col3=4,就表示在棋

42、盘 的第3歹U、第4行上有一个皇后。此外，为了使程序在找完了全部解后回溯到最初位置，设 定col0的初值为。当回溯到第0列时，说明程序已求得全部解，结束程序运行。为使程序在检查皇后配置的合理性方面简易便利，引入以下三个工作数组：(1) 数组a口，ak表示第k行上还没有皇后；数组b, bk表示第k列右高左低斜线上没有皇后；(2) 数组c口，ck表示第k列左高右低斜线上没有皇后；棋盘中同一右高左低斜线上的方格，他们的行号与列号之和相同；同一左高右低斜线 上的方格，他们的行号与列号之差均相同。初始时，全部行和斜线上均没有皇后，从第1列的第1行配置第一个皇后开头，在第 m列colm行放置了一个合理的皇

43、后后，预备考察第m+1列时，在数组打、b口和c中为第m歹I，colm行的位置设定有皇后标志；当从第m列回溯到第 m-1歹U,并预备调整第m-1列的皇后配置时，清除在数组如、b和c门中设置的关于第m-1歹colm-l行有皇后的标志。一个皇后在m列, colm行方格内配置是合理的，由数组a 、b和c对应位置的值都为1来确定。细节见 以下程序：【程序】include# includedefine MAXN 20int n,m,good;int colMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1;void main() intj;char awn;printf(tcEnter

44、n: );scanf(“d”,&n);for (j=O;jv=n;j+)aj=l;for (j=0;jv=2*n;j+)cbj=cj=l;m=l; coll=l; good=l; col0=0;do if (good)if (m=n)printf(“列 t 行);for (j=l;jv=n;j+)printfCc%3 dt%diT,j ,colj);printfiEntcr a character (Q/q for cxit)!n)；scanf(c”,&awn);if (awn=Q|awn=q) exit(0);while (colm=n)m-;acolm=bm+col m =cn+m-colm=l;) colm+；) elseacolm=bm4-colm=cn+m-colm=0;col+m=l;) else while (colm=n)m-;acolm=bm+colm=cn+m-colm=l;) colm+；)good=a col m &b m+col m &c n+m-co