数学思想与方法试题总卷分析.docx

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1、数学思想与方法试题A卷一、填空题每题5分，共25分1算法有效性是指如果使用该算法从它初始数据出发，能够得到这一问题正确解 。3所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形、见形思数、数形结合考虑问题一种思想方法。5古代数学大体可分为两种不同类型：一种是崇尚逻辑推理，以?几何原本?为代表；一种是长于计算和实际应用，以?九章算术?为典范。7数学统一性是客观世界统一性反映，是数学中各个分支固有内在联系表达，它表现为数学各个分支相互渗透和相互结合趋势。9学生理解或掌握数学思想方法过程一般有三个主要阶段：潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段。二、判断题每题5分，共25分。在括号里填上是或否1计算机是

2、数学创造物，又是数学创造者。 是 2抽象得到新概念与表述原来对象概念之间一定有种属关系。 否 3一个数学理论体系内每一个命题都必须给出证明。 否 4贯穿在整个数学开展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。 是 5提出一个问题猜测是解决这个问题终结。 否 三、简答题每题10分，共50分1为什么说?几何原本?是一个封闭演绎体系？1答：因为在?几何原本?中，除了推导时所需要逻辑规那么外，每个定理证明所采用论据均是公设、公理或前面已经证明过定理，并且引入概念除原始概念也根本上是符合逻辑上对概念下定义要求，原那么上不再依赖其它东西。因此?几何原本?是一个封闭演绎体系。另外，?几何原本?理

3、论体系回避任何与社会生产现实生活有关应用问题，因此对于社会生活各个领域来说，它也是封闭。所以，?几何原本?是一个封闭演绎体系。评分标准：1答对，得4分；2答对，得4分；3答对，得2分；4完整答出，得10分。2为什么说最早使用数学模型方法是中国人？2答：因为在中国汉代古算书?九章算术?中就已经系统地使用了数学模型。?九章算术?将246个题目归结为九类，即九种不同数学模型，分列为九章。它在每一章中所设置问题，都是从大量实际问题中选择具有典型意义现实原型，然后再通过“术(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是专门探讨某种数学模型应用，例如“勾股、“方程等章。这在世界数学史上是最早。因此，我们说最早使

4、用数学模型方法是中国人。评分标准：1每答对一个，得3分；2完整答出，得10分。3什么是类比猜测？并举一个例子说明。3答：人们运用类比法，根据一类事物所具有某种属性，得出与其类似事物也具有这种属性一种推测性判断，即猜测，这种思想方法称为类比猜测。例如，分式与分数非常相似，只不过是用字母替代数而已。因此，我们可以猜测，分式与分数在定义、根本性质、约分、通分、四那么运算等方面都是对应相似。评分标准：1每答对一个，得5分；2完整答出，得10分。4简述表层类比，并用举例说明。4答：表层类比是根据两个被比拟对象外表形式或构造上相似所进展类比。这种类比可靠性较差，结论具有很大或然性。例如，从类比出是错误，而

5、类比出在数列极限存在条件下是正确。又如，由三角形内角平分线性质，类比得到三角形外角平分线性质，就是一种构造上类比。5数学思想方法教学为什么要遵循循序渐进原那么？试举例说明。5答：数学思想方法形成难于知识理解和一般技能掌握，它需要学生深入理解事物之间本质联系。学生对每种数学思想方法认识都是在反复理解和运用中形成，是从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级沿着螺旋式方向上升。例如，学生理解数形结合方法可从小学画示意图找数量关系着手孕育；在学习数轴时，要求学生会借助数轴来表示相反数、绝对值、比拟有理数大小等。B卷一、填空题每题3分，共30分1在数学中建立公理体系最早是几何学，而这方面代

6、表著作是古希腊欧几里得 ?几何原本? 。2随机现象特点是在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。3演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要推理方法。4在化归过程中应遵循原那么是简单化原那么、熟悉化原那么、和谐化原那么。5数学思想方法是联系数学知识与数学能力纽带，是数学科学灵魂，它对开展学生数学能力，提高学生思维品质都具有十分重要作用。6三段论是演绎推理主要形式，它由大前提、小前提、结论三局部组成。7传统数学教学只注重形式化数学知识传授， 而忽略对知识发生过程中 数学思想方法 挖掘。8特殊化方法是指在研究问题中，从对象一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合较小集合思想方法。9

7、分类方法原那么是不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分。10数学模型可以分为三类：概念型、方法型、构造型。二、判断题每题2分，共10分。在括号里填上是或否1数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。 否 2在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。 是 3如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题准确解。 否 4分类可使知识条理化、系统化。 是 5在建立数学模型过程中，不必经过数学抽象这一环节。 否 三、简答题每题6分，共30分1我国数学教育存在哪些问题？1答：数学教学重结果，轻过程；重解题训练，轻智力、情感开发；不重视创新能力培养，虽然学生

8、考试分数高，但是学习能力低下；重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力；学生学业负担过重。原因是课堂教学效益不高，教学围绕升学考试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质想法，造成学生学业负担过重。2?几何原本?贯彻哪两条逻辑要求？2答：?几何原本?贯彻了两条逻辑要求。第一，公理必须是明显，因而是无需加以证明，其是否真实应受推出结果检验，但它仍是不加证明而采用命题；初始概念必须是直接可以理解，因而无需加以定义。第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律与逻辑规那么；同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义逻辑规那么。3简述数学抽象

9、特征。3答：数学抽象有以下特征：数学抽象具有无物质性；数学抽象具有层次性；数学抽象过程要凭借分析或直觉；数学抽象不仅有概念抽象还有方法抽象4什么是算法有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点例子。答：算法得有限性是指一个算法必须在有限步之内终止。例如，对初始数据20和3，计算过程为无论怎样延续这个过程都不能完毕，同时也不会出现中断。如果在某一处中断过程，我们只能得到一个近似、不准确结果。而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来算法。可见，十进小数除法对于20和3这组数不符合算法“有限性特点。5简述将“化隐为显列为数学思想方法教学一条原那么理由。5答：由于数学思想方法往往隐含在知识背后，知识

10、教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层数学知识，而注意不到处于深层思想方法。因此，进展数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程到达思想方法教学之目。四、解答题每题15分，共30分1(1)什么是类比推理？(2)写出类比推理表示形式。(3)怎样才能增加由类比得出结论可靠性？四、解答题1解答：类比推理是指，由一类事物所具有某种属性，可以推测与其类似事物也具有这种属性一种推理方法。类比推理表示形式为：A具有性质B具有性质因此，B也可能具有性质。尽量满足以下条件可增加

11、类比结论可靠性：l A与B共同(或相似)属性尽可能多些；l 这些共同(或相似)属性应是类比对象A与B主要属性；l 这些共同(或相似)属性应包括类比对象不同方面，并且尽可能是多方面；l 可迁移属性d应是和属于同一类型。2一个星级旅馆有150个房间。经过一段时间经营实践，经理得到数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；如果每间客房定价为140元，住房率为65%；如果每间客房定价为120元，住房率为75%；如果每间客房定价为100元，住房率为85%。欲使每天收入提高，问每间住房定价应是多少？2答：弄清实际问题加以化简。经分析，为了建立旅馆一天收入数学模型，可作如下假设：l 设每间客房最高定

12、价为160元；l 根据题中提供数据，设随着房价下降，住房率呈线性增长；l 设旅馆每间客房定价相等。建立数学模型。根据题意，设表示旅馆一天总收入，为与160元相比降低房价。由假设，可得每降低1元房价，住房率增加为因此一天总收入为 1由于。于是问题归结为：当时，求最大值点，即求解(模型求解。将(1)左边除以(1500.005)得由于常数因子对求最大值没有影响，因此可化为求最大值点。利用配方法得易知当=25时最大，因此可知最大收入对应住房定价为160元25元=135元相应住房率为25=67.5%最大收入为15013567.5%=13668.75(元)检验。容易验证此收入在各种客房定价对应收入中确实是

13、最大，这可从下面表格中看出。定价160元140元120元100元135元收入13200元13650元13500元12750元元如果为了便于管理，那么定价140元也是可以，因为这时它与最高收入只差元。如果每间客房定价为180元，住房率为45%，其相应收入只有12150元。由此可见假设是合理。实际上二次函数在之内只有一个极值点。C卷一、填空题每题3分，共30分1学生理解或掌握数学思想方法过程有如下三个主要阶段对同一数学对象，假设选取不同标准，可以得到不同分类。2强抽象就是指，通过数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常数学教学原那么就可实现数学思想方法教学目标 而形成新概念抽象过程。3菱形概

14、念抽象过程就是把一个新特征：由类比法推得结论必然正确，参加到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。4分类必须遵循原那么是不重复，无遗漏，标准同一。5面对一个问题，经过认真观察和思考，通过归纳或类比提出猜测，然后从两个方面入手：演绎证明此猜测为真；或者寻找反例说明此猜测为假，并且进一步修正或否认此猜测。6?几何原本?所开创公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们开展。7变量数学产生数学根底是解析几何，标志是微积分。8数学根底知识和数学思想方法是数学教学两条主线。9深层类比又称实质性类比，它是通过对被比拟对象处理相互依存各种相似属性之间多种因果关系分析而得

15、到类比。10一个概括过程包括比拟、区分、扩张、分析。二、判断题每题2分，共10分1?九章算术?不包括代数、几何内容。 否 2既没有脱离数学知识数学思想方法，也没有不包括数学思想方法数学知识。 是 3对同一数学对象，假设选取不同标准，可以得到不同分类。 是 4特殊化是研究共性中个性一种方法。 否 5数学模型方法应用面很窄。 否 三、简答题每题6分，共30分1简述培养数学猜测能力途径。1答：猜测能力培养可以通过数学教学，如：新知识学习、数学规律寻求、解题思路探索等途径来实现。2简述特殊化方法在数学教学中应用。2答：利用特殊值(图形)解选择题；利用特殊化探求问题结论；利用特例检验一般结果；利用特殊化

16、探索解题思路。3什么是归纳猜测？并举一个例子说明。3答：人们运用归纳法，得出对一类现象某种一般性认识一种推测性判断，即猜测，这种思想方法称为归纳猜测。例如，人们在量度了很多圆周长和半径以后，发现它们比值总是近似地等于3.14，于是提出了圆周率是3.14猜测。后来数学家从理论上证明了圆周率数值为，果然和3.14很接近。4简述概括与抽象关系。4答：概括方法与抽象方法是不同，但是它们又有十分密切联系。抽象是舍弃事物一些属性而收括固定出其固有另一些属性思维过程，抽象得到新概念与表述原来对象概念之间不一定有种属关系。概括是在思维中由认识个别事物本质属性，开展到认识具有这种本质属性一切事物，从而形成关于这

17、类事物普遍概念。由概括得出新概念是表述概括对象概念一个属概念。概括和抽象虽有差异，但又是互相联系、密不可分。抽象是概括根底，没有抽象就不能认识任何事物本质属性，就无法概括。概括也是抽象思维过程中所必须一个环节，前述“收括操作实际上也是一个概括过程，有人就把“收括称之为概括，由于对共同点概括才能得出对象本质属性，从而完成抽象过程。5在实施数学思想方法教学时应注意哪些问题？5答：为了切实加强数学思想方法教学，还应注意以下几点事项：要把数学思想方法学习纳入教学目标，并在教案中设计好数学思想方法教学内容和教学过程；重视数学知识发生、开展过程，认真设计数学思想方法教学目标；做好数学思想方法教学铺垫工作和

18、稳固工作；不同类型数学思想方法应有不同教学要求；注意不同数学思想方法综合运用。四、解答题每题15分，共30分1圆周角定理证明思路如下：将圆周角两边所处位置分成三种情况：角一边落在直径上；角两边在某一直径两侧；角两边在某一直径同侧。如上图所示。先对情况进展证明，然后将情况、转化为情况分别进展证明。最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立结论。试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想2论述?几何原本?思想方法特点。2答：封闭演绎体系因为在?几何原本?中，除了推导时所需要逻辑规那么外，每个定理证明所采用论据均是公设、公理或前面已经证明过定理，并且引入概念除原始概念也根本上是符合逻辑上对概念下定义要求，原

19、那么上不再依赖其它东西。因此?几何原本?是一个封闭演绎体系。另外，?几何原本?理论体系回避任何与社会生产现实生活有关应用问题，因此对于社会生活各个领域来说，它也是封闭。所以，?几何原本?是一个封闭演绎体系。抽象化内容?几何原本?中研究对象都是抽象概念和命题，它所探讨是这些概念和命题之间逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间关系，也不考察这些数学模型所由之产生现实原型。因此?几何原本?内容是抽象。公理化方法?几何原本?第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明根本前提，接着给出23个定义，然后再逐步引入 和证明定理。定理引入是有序，在一个定理证明中，允许采用论据只有公设和公理与前面

20、已经证明过定理。以后各篇除了不再给出公设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与表述方法就是公理化方法。D卷一、填空题每题5分，共25分2所谓类比，是指由一类事物所具有某种属性，可以推测与其类似事物也具有该属性一种推理方法；常称这种方法为类比法，也称类比推理。4猜测具有两个显著特点：具有一定科学性，具有一定推测性。6所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题一般数学方法 。8数学模型具有抽象性、准确性和演绎性、预测性特性。10概括通常包括两种：经历概括和理论概括。 而经历概括是从事实出发，以对个别事物所作观察陈述为根底，上升为普遍认识由对个体特性认识上升为对个体所属种特性认识。二、判断题每题5分，

21、共25分1数学思想方法教学隶属数学教学范畴，只要贯彻通常数学教学原那么就可实现数学思方法教学目标。 否 2由类比法推得结论必然正确。 否 3有时特殊情况能与一般情况等价。 是 4演绎根本特点就是当它前提为真时，结论必然为真。 是 5抽象得到新概念与表述原来对象概念之间不一定有种属关系。 是三、简答题每题5分，共50分1简述确定性现象、随机现象特点以及确定性数学局限性。1答：确定性现象特点是：在一定条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否认，不存在其他可能。即这种现象在一定条件下必然会发生某种结果，或者必然不会发生某种结果。随机现象特点是：在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某

22、种结果。对于随即现象，由于条件和结果之间不存在必然性联系，因此不能用确定数学来加以定量描述；此外，由于随机现象并不是杂乱无章现象，就个体而言，似乎没有什么规律存在，但当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性，而确定数学无法定量地提醒这种规律性。2简述计算机在数学方面三种新用途。2答：推动了数学应用、加快了科学数学化、促进了数学开展。3简述化归方法和谐化原那么3答：和谐化是数学内在美主要内容之一。美与真在数学命题和数学解题中一般是统一。因此，我们在解题过程中，可根据数学问题条件或结论以及数、式、形等构造特征，利用和谐美去思考问题，获得解题信息，从而确立解题总体思路，到达以美启真作用。4常

23、量数学应用局限性是什么？4答：在建立了太阳中心理论后，17世纪人们面临了如何改良计算行星位置，以及如何解释地球上静止物体保持不动、下降物体还落在地球上等之类问题。这类问题核心是物体运动。面对这类带有运动特征问题，人们已有数学知识：算术、初等代数、初等几何和三角等构成初等数学，显得无效。由于初等数学都是以不变数量(即常量)和固定图形为其研究对象(因此这局部内容也称为常量数学)。运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定事物和现象。可是，对于这些运动变化事物和现象，它们显然无能为力。5简述代数解题方法根本思想。5答：代数解题方法根本思想是，首先依据问题条件组成内含数和未知数代数式，并按等量关系列出方

24、程，然后通过对方程进展恒等变换求出未知数值。E卷一、填空题每题3分，共30分1三段论是演绎推理主要形式。三段论由大前提、小前提、结论 三局部组成。2化归方法是指，把待解决问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决问题中，最终获得原问题解答一种方法。3在计算机时代，计算方法 已成为与理论方法、实验方法并列第三种科学方法。4算法具有以下特点：有限性，确定性，有效性 。5化归方法三个要素是：化归对象、化归目标、化归途径 。6根据学生掌握数学思想方法过程有潜意识、明朗化、深刻理解三个阶段，可相应地将小学数学思想方法教学设计成屡次孕育、初步理解、简单应用 三个阶段。7一个概括过程包括比拟、区

25、分、扩张和分析等几个主要环节。8古代数学大致可以分为两种不同类型：一种是崇尚逻辑推理，以?几何原本?为代表；一种是长于计算和实际应用，以?九种算术?为典范。9?九章算术?思想方法特点主要有开放归纳体系、算法化内容、模型化方法 。10初等代数特点是是用字母符号来表示各种数，并且最初研究对象主要是代数式运算和方程求解 。二、判断题每题2分，共10分1完全归纳法实质上属于演绎推理范畴。 是 2古希腊柏拉图曾在他学校门口张榜声明：不懂几何人不得入内。这是因为他学校里所学习课程要用到很多几何知识。 否 3完全归纳法一般推理形式是：设S有性质P，因此推断集合S中每一个对象都具有性质P。 否 4?九章算术?

26、是世界上最早系统地表达分数运算著作，它关于负数论述也是世界上最早。 是 5算术反映是物体集合之间函数关系。 否 三、简答题每题6分，共30分1试对?九章算术?思想方法一个特点“算法化内容加以说明。1答：?九章算术?在每一章内先列举假设干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给出“术，作为一类问题共同解法。以后遇到其它同类问题，只要按“术，给出程序去做就一定能求出问题答案。历代数学家受到追求实用、讲究算法传统思想影响，使他们对?九章算术?注、校，主要集中在对“术进展研究，即不断改良算法。因此我们说，内容算法化是?九章算术?思想方法上特点之一。2简述化归方法在数学教学中应用2答：化归方法在数学

27、教学中功能至少可以归结为以下三个方面：利用化归方法学习新知识；利用化归方法指导解题；利用化归原那么理清知识构造。评分标准：3试用框图表示用特殊化方法解决问题一般过程。3答：用特殊化解决问题一般过程，可以用框图表示如下：这个框图告诉我们：假设我们面对问题A解决起来比拟困难，可以先将A特殊化为A，因为A与A相比拟，外延变小，因此内涵势必增多，所以由A所导出结论B，它包含内涵一般也会比拟多。把信息B反应到问题A中，就会为问题解决提供一些新信息，再去推导结论B就会比拟容易一些。假设解决问题A仍有困难，那么可对A再次进展特殊化，进一步增加信息量，如此反复屡次，最终推得结论B，使问题A得以解决。4微积分产

28、生可以归结为哪四类情况4答：这些问题归结到数学上主要有如下四类情况。第一类是：物体移动距离为时间函数，求物体瞬时速度和加速度；反过来，物体加速度为时间函数，求速度和距离。第二类是：求曲线切线斜率和方程。第三类是：求函数最大值与最小值。第四类是：求曲线长度，曲边梯形面积，曲面围成物体重心。这四类问题核心是求一个常量无法确定量变量问题。5变量数学产生意义是什么？5答：变量数学产生，为自然科学更准确地描述物质世界提供了有效工具；变量数学产生，促进数学自身开展与严密；变量数学产生，使辩证法进入数学四、解答题每题15分，共30分1解方程最大整数。1答： 先从定义入手估计取值范围，然后划分成假设干小区间求

29、解。根据定义，由原方程得； 1分即。1 1分 解不等式得。2 1分由于原方程解包含在1解中，因此可将2划分为四个小区间来求解：(I)当时，原方程为 2分。 1分(II)当时，原方程为 1分 2分(III)当时，原方程为 1分 1分(IV)当时，显然满足原方程。 2分所以，原方程解为。 2分2简述数学模型在数学教学中作用。2答： 数学模型在数学教学中作用主要有三方面：其一是构造数学模型解决实际问题。求解某些应用问题时，常常需要我们根据实际情况创设条件构造数学模型，然后通过求解数学模型解获得实际问题解。其二是数学模型应用。如果根据问题条件可以判断所求结果具有某种确定数学构造，那么可直接应用该数学模型解题。其三是数学模型之间相互转换。某些不同数学模型之间具有同构关系，我们往往可以通过将一种模型转换成另一种模型，使问题求解更加容易。