2023届高考数学专项复习导数专题.pdf

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1、2023届高考数学专项复习导数专题目目 录录1.函数的单调性与导数之间的关系032.也谈指数找基友、对数单身狗053.“指数找基友”和“对数单身狗”的几种类型074.从穿针引线法谈极值点的那些事儿 125.导数中常见不等式之间的关系 166.由切线不等式衍生的一系列不等式 217.揭秘导数压轴题的命制策略 248.零点问题之命题转化 279.找点速成“2+3找点秘籍”2910.极值点方程代换（隐零点代换）的几种情况3311.恒成立问题中参数的最大（小）整数解问题4112.导数压轴题中x1+x2 2x0型不等式的证明 4713.对数平均不等式及其应用 5614.函数不等式证明之隐零点显化策略 6

2、215.导数放缩入门不得不知的几点 6716.三次函数的几种解析式及其应用 7117.对互化及其应用 7518.一道导数题的命制与解 7919.例谈解决导数压轴题的若干重要意识 8120.对一道函数不等式的探索 8701 函数的单调性与导数之间的关系在初学导数时，我们就知道这么一个事实：【结论 1】对于可导函数 f x，记其导函数为 fx.若在区间 D 上有 fx0，则区间D是函数 f x的一个增区间.这是最原始的关系，想必大家都不陌生，后面的讨论都是建立在这个基础上的.首先来看一组简单问题：求函数 f x=1x的单调减区间.求函数 g x=-x3的单调减区间.根据结论1，我们分别令 fx=1

3、x=-1x20和 gx=-3x20，都是解得x0，所以这两个函数在-,0和 0,+上都是单调递减的.但是这两个函数有着明显的区别，f x=1x在 x=0处无定义，g x=-x3在x=0处有定义且连续，因此这个问题的答案就是：f x=1x的减区间是-,0和 0,+，g x=-x3的减区间是(-,+).我们可以看到，导函数为负的时候，原函数一定递减，但是反过来，原函数递减，不见得导函数要恒小于0，因为一个大的单调减区间可以由若干个小的单调减区间首尾相连得到的.由此，我们可以得到下面这个引申结论：【结论2】对于可导函数 f x，记其导函数为 fx.若在区间D上有 fx0，且 fx=0的根是离散的（即

4、在D的任意子区间上 fx不恒等于0），则区间D是函数 f x的一个减区间；若在区间D上有 fx 0，且 fx=0 的根是离散的（即在 D 的任意子区间上 fx不恒等于 0），则区间 D 是函数f x的一个增区间.再来看一组问题：若函数 f x=x3+ax是增函数，求实数a的取值范围.若函数 f x=ax是增函数，求实数a的取值范围.第题，由 fx=3x2+a 0 恒成立可知 a 0，经过检验发现并没有问题.第题，由 fx=a0恒成立可知a0，经检验发现a=0不符合题意.两者的区别又体现出来了，出现这种差别的原因在于条件转化的“不等价”.事实上，根据前面的结论1和结论2，我们知道 fx0是 f

5、x单调递增的充分条件，但不是必要条件.通过这组题，我们又发现 fx0恒成立是 f x单调递增的必要条件，而非充分条件.综合考虑，可得到如下终极结论：【结论3】对于可导函数 f x，记其导函数为 fx.f x在区间 D上单调递减 fx0 在区间 D上恒成立，且 fx=0无实根，或它的实根是离散的（即在D的任意子区间上 fx不恒等于0）.f x在区间 D上单调递增 fx0 在区间 D上恒成立，且 fx=0无实根，或它的实根是离散的（即在D的任意子区间上 fx不恒等于0）.再来看一道题：若函数 f x=lnx-12ax2-2x存在单调减区间，求实数a的取值范围.存在减区间是什么意思呢？我们在求减区间

6、时，是令 fx 0，然后解不等式，这里也是如此.令fx=1x-ax-2=-ax2-2x+1x 0，所以减区间实际上就是-ax2-2x+1 0 的解集.对于抛物线（以及其他任何连续曲线）来说，只要有一个点在 x 轴下方，帅琪的数学笔记就必然会有一段曲线在 x 轴下方，所以只要保证-ax2-2x+10有正实数解即可.值得警惕的是，有些人会把条件“存在减区间”转化为“fx0有解”，这是不对的，这样算出来会包含a=-1，但是a=-1的时候只存在一个导数等于 0的点，虽然也使得该不等式有解，但其他点处的导数值都大于0，因此函数是单调递增的，没有减区间.其他的反例也有很多，比如 f x=1和 f x=x3

7、都满足“fx0有解”，但是它们都没有减区间.于是，我们得到第四个结论：【结论4】对于可导函数 f x，记其导函数为 fx.fx 在 D存在减区间 fx 0 在区间D上有解.02 也谈指数找基友、对数单身狗根据指数函数和对数函数的导数、以及导数的运算法则，不难知道：f xex=0 fx+f xex=0 fx+f x=0f xe-x=0 fx-f xe-x=0 fx-f x=0lnx-f x=01x-fx=0从这两个式子，我们大致可以得到如下两条经验：指数找基友：如果我们要证明ex大于（或小于）一个非超越式 f x，可以考虑采用作商法，这是因为作商构造出的新函数 f xe-x极值点一般可求，即方程

8、 fx-f x=0 可解，可避免多次求导.此所谓“指数找基友”给ex找基友 f x.对数单身狗：如果我们要证明lnx小于（或大于）一个非超越式 f x，可以直接作差，构造函数lnx1x-fx，这也是因为其极值点可求，即方程-f x=0 可解，可避免多次求导.如果待证的不等式形式较为复杂，可以将lnx分离出来，使其系数为常数，次数为1，此所谓“对数单身狗”.下面以一道例题进行说明：（2018全国二理数21（1）已知函数 f x=ex-ax2.若a=1，证明：当x0时，f x1.【方法一】指数找基友当a=1时，f x=ex-x2，不等式 f x1等价于x2+1ex.构造函数 g x=x2+1ex

9、，求导可得 gx=2x-x2+1ex=-x-12ex0，其中等号只在x=1时取得，所以 g x在 0,+上单调递减，所以当x0时，g x g 0=1，又因为ex0，所以x2+1ex.故原命题得证.【方法二】对数单身狗当a=1时，f x=ex-x2，令ex=t t1，则不等式 f x1等价于lntt-1t1.构造函数 g t=lnt-t-1，则 gt=1t-12t-1=2t-1-t2tt-1=-t-1-122tt-10，所以 g t是 1,+上的减函数，所以 g t g 1=0，即lntt-1，故原不等式得证.【方法三】戴上面具的对数单身狗当a=1时，f x=ex-x2，不等式 f x1 x0等

10、价于xex-1x0.构造函数 g x=x-ex-1，gx=1-ex2ex-1=-ex-1-122ex-10，所以 g x在 0,+上单调递减，故 g x g 0=0，即xex-1x0，原不等式得证.仔细观察，不难发现后两种方法是完全对应的.事实上，换元大部分时候是为了将某些关系变得更加“显化”，方便我们观察，并不能“无中生有”地创造出一些本不存在的关系.附三个练习题.请用“找基友”或“单身狗”证明下述不等式：【题1】求证：当x0时，有ex1+x+x22+x36.【题2】求证：当x1时，有xx-1lnx 0 时，fx 0，所以 fx 在 0,+上单调递减，所以当x0时，有 f x f 0=1，即

11、 1+x+x22+x36e-x1，故ex1+x+x22+x36.【题2】求证：当x0时，有exex+x-12.证明：构造函数 f x=ex+x-12e-x，则 fx=e+2 x-1-ex-x-12e-x=x-13-e-xe-x，当0 x3-e时，fx1时，fx0，f x递减，此时 f x1时，fx0，f x单调递减，所以方程 xlnx+xe+1e-x=a在 1,+上最多只有一个实数解，即方程aex-xlnx-xe-1=0在 1,+上最多只有一个实数解.【题4】求证：当x0时，有 2-xexx+2.证明：当x2时，由 2-xex0 x+2知不等式成立.构造函数 f x=2+x2-x e-x0 x

12、2，则 fx=42-x2-2+x2-x e-x=x22-x2e-x0恒成立，所以 f x在 0,2上单调递增，f x=2+x2-x e-x f 0=1，所以当0 x0时，有2ln2x+lnx+2x1.证明：构造函数 f x=2ln2x+lnx-1x，则 fx=4lnx+1-2ln2x+lnx-1x2=2-lnx1+2lnxx2，当0 x1e 时，fx f1e =-e；当1e xe2时，fx0，f x递增，此时 f x f1e =-e；当xe2时，lnx2，f x=2ln2x+lnx-1x0.综上可知 f x-e-2，即2ln2x+lnx-1x-2，所以2ln2x+lnx+2x1.正如在上一篇的

13、末尾提到的那样，“换元”只是能把一些关系显化而已，并不能“无中生有”，只要知道 lnx 和 x 在一起的时候，x=elnx是“指数”，与 lnx 有关的代数式（本题中的 2ln2x+lnx-1）是“基友”即可，并不需要在答题纸上把换元过程写出来.类型三：“放缩”后找基友【题6】求证：当x0时，有exxlnx+32x+1.证明：易证lnxx-1（证明过程略），所以只需证当x0时，exx x-1+32x+1=x2+12x+1.构造函数 f x=x2+12x+1e-x，则 fx=-x2+32x-12e-x=1-xx-12e-x，当0 x12时，fx0，f x递减，此时 f x f 0=1；当12x1

14、时，fx0，f x递增，此时 f x f 1=2.5e1时，fx0，f x递减，此时 f x f 1=2.5e0时，x2+12x+1e-xx2+12x+1.故证.对于这道题，如果直接把xlnx+32x+1作为“基友”，令 xlnx+32x+1e-x的导函数为0，得到方程 x-1lnx+32=0，恰好可以因式分解，也能得到函数的单调区间，但是函数 f x=ex-xlnx-32x-1在 0,e-32上递减，必须要考虑函数在0处的单侧极限值，而通过放缩则可避免这一点.除此之外，若xlnx+32x+1中的常数项不为1，帅琪的数学笔记则导函数不可以因式分解，则将其作为“基友”就不恰当了，不如事先放缩，把

15、一个二次多项式作为“基友”，保证导函数的零点可解.类型四：待定系数加强命题【题7】求证：当x0时，有exx2+x+12.证明：构造函数 f x=x2+x+59e-x，则 fx=-x2+x+49e-x=-x+13x-43e-x，当0 x0，f x递增；当x43时，fx0，f x递减.所以当 x 0 时，f x f43=113e43 =11327e4 13113342784 1383进行估值），故 ex x2+x+59x2+x+12，证毕.如果不对命题进行加强，直接把“x2+x+12”作为“基友”，算出来的极大值点是3+12，其极大值并不好估算，考虑到它约等于1.37，所以利用待定系数法使得函数的

16、极大值点为43，以便对极大值进行估计.“对数单身狗”的几种类型类型一：天生“单身狗”【题1】求证：当x1时，有xx-1lnx1时，f x f 1=0，即lnx2 x-1x+1，又因为lnx0,x+10，所以x-1lnxx+12；当0 x1时，f x f 1=0，即lnx2 x-1x+1，又因为lnx0，所以x-1lnxx+12.综上，当x1时，总有x-1lnx1时，g x g 1=0，即lnx0,x0，所以xx-1lnx；当0 x g 1=0，即lnxx-1x，又因为lnx0，所以xx-1lnx.综上，当x1时，帅琪的数学笔记总有xx-1lnx.故当x1时，有xx-1lnx2.证明：原不等式等

17、价于x-3lnx+ln2-2x20.构造函数 f x=x-3lnx+ln2-2x2，则 fx=1-3x+4x3=x+1x-22x30，所以 f x是 2,+上的减函数，所以 f x f 2=32-2ln20，其中32-2ln20ln216833163227，显然成立.故证.类型二：“换元”后单身【题4】求证：当x0时，有exxex2+1.证明：构造函数 f x=ex2-e-x2-x，则 fx=12ex2+12e-x2-1=12ex4-e-x420，所以 f x在 0,+上单调递增，故当x0时，f x f 0=0，即ex2e-x2+x，两边同时乘以ex2，得exxex2+1，证毕.正如在前两篇提

18、到的那样，“换元”只是能把一些关系显化而已，帅琪的数学笔记并不能“无中生有”，只要知道 ex和 x 在一起的时候，x=lnex是“对数”，将其分离出来让其“单身”即可，并不需要在答题纸上把换元过程写出来.类型三：“放缩”后单身【题5】求证：当ln3xex-3.证明：易证exex（证明过程略），所以ex-3ex+1 ex-3ex+1，所以只需证当ln3xex-3ex+1.构造函数 f x=lnx-ex-3ex+1，则 fx=1x-4eex+12=-ex-12ex+10，所以 f x递减，所以当ln3x f1e=0，即lnxex-3ex+1.故证.类型四：待定系数法加强命题【题6】求证：当x0时，

19、有exx2+x+12.证明：构造函数 f x=x2+x+59e-x，则 fx=-x2+x+49e-x=-x+13x-43e-x，当0 x0，f x递增；当x43时，fx0，f x递减.所以当 x 0 时，f x f43=113e43 =11327e4 13113342784 1383进行估值），故 ex x2+x+59x2+x+12，证毕.如果不对命题进行加强帅琪的数学笔记，直接把“x2+x+12”作为“基友”，算出来的极大值点是3+12，其极大值并不好估算，考虑到它约等于1.37，所以利用待定系数法使得函数的极大值点为43，以便对极大值进行估计.04 从穿针引线法谈极值点的那些事儿在高一学不

20、等式的时候，想必大家都学过用“穿针引线法”（也有点地方叫“序轴标根法”）解高次不等式.我们先来解这样一个不等式：x-1x-22x-330，画出如下图形（操作不再赘述，不清楚的可以问度娘）.这个图像体现了代数式 x-1x-22x-33在x变化时的符号变化情况：当x充分大时代数式一定为正；当x逐渐缩小并跨过3时，代数式由正变为负；当x再逐渐缩小并跨过2时，代数式符号不变；当x再逐渐缩小并跨过1时，代数式由负变为正.因此，不等式 x-1x-22x-330的解集为 1，2 2，3.在高一刚学习解高次不等式时，函数的意识尚不够强烈，帅琪的数学笔记对上述图形能理解到这个层次就算是掌握这个方法了.但是在学了

21、函数，研究了大量的函数图像之后，我们也应该能意识到上述图形其实在一定程度上可以视为函数 f x=x-1x-22x-33的草图当然，这个草图只体现了函数值的符号，没有体现函数值的大小.我们借助画图软件，可以画出它的标准图像，如下图所示：既然意识到了“穿针引线法”的图形可以视为函数草图，那么我们在学习了导数的有关知识之后，是不是又可以借助这个草图快速判断函数的极值点呢？在某种程度上，答案是肯定的.比如，对于函数 f x=x-1x-22x-33，由图 1 可知，在 x=2 附近，会有 f x 0=f 2，因此，x=2是函数 f x=x-1x-22x-33的极大值点.实际上，我们也不必画出草图，就可以

22、快速判断极值点.比如，对于函数 f x=x-1x-22x-33，在 x=2 附近，会有x-1x-330，因此有f(x)=(ex-1)(x-1)20=f 1，显然，f(x)=(ex-1)(x-1)2在x=1处取得极小值，帅琪的数学笔记故本题选C.【题2】（节选自某年浙江卷的高考题）已知a为给定的正实数，设函数f(x)=x-a2x+b，x=a是函数f x的极大值点，求b的取值范围.【分析】注意到 f a=0，要使得 x=a是极大值点，则在 x=a附近，需要满足 f x0，因此需要有 x+b0，即只需满足a+b0时，f x 2+xln 1+x-2x0=f 0，这与x=0是 f x的极大值点矛盾.（i

23、i）若a0，设函数h x=f x2+x+ax2=ln 1+x-2x2+x+ax2，由于当 x1，且 x0，故 h x与 f x符号相同.又 h 0=f 0=0，故 x=0是 f x的极大值点当且仅当x=0是h x的极大值点.求导可得hx=11+x-2 2+x+ax2-2x 1+2ax2+x+ax22=x2a2x2+4ax+6a+1x+1ax2+x+22.如果 6a+10，则当 0 x-6a+14a，且 x1，x0，故 x=0不是 h x的极大值点.如果 6a+1 0，则 a2x2+4ax+6a+1=0 存在根 x1 0，故当 x x1,0，且 x 1，x1a时，hx 0；当 x 0,1时，hx

24、0，故a的取值范围是12，+.当然，在正式解题时，求导之后的部分需要分类讨论进行说理.从上题来看，我们可以通过变形，把一些普通的函数的极值点问题，实现“对数单身狗”与“指数找基友”的转化.大家在平时的练习中可以适当运用这种转化，说不定会让一些难题变得非常简单哦05 导数中常见不等式之间的关系从lnxx-1谈起lnxx-1是一个常见的函数不等式，取等条件为 x=1.它刻画了曲线y=lnx位于它在x=1处的切线的下方（除切点外），由它可以引申出许许多多的结论，下面且听小编一一道来.第一组：关于第一组：关于lnx的不等式的不等式【结论0】lnxx-1.【结论1】lnx1-1x.在lnxx-1中，进行

25、x1x的代换，即证.【结论2】xlnxx-1.在结论1中，两边同乘x.【结论3】lnxxe.在lnxx-1中，进行xxe的代换，即证.【结论4】lnxex-2.在lnxx-1中，进行xex的代换，即证.【结论5】lnxx2-x.由lnxx-1及x-1x2-x即得.【结论6】lnxx x-1.在结论5中，两边同除以x.【结论7】lnx12x-1x,0 x1lnx12x-1x,x1 .对lnxx-1两边进行积分，可以得到 xlnx-x12x2-x，配一个常数，使得x=1恰为函数的零点，帅琪的数学笔记得到单调递减且零点为 x=1 的函数 f x=xlnx-x-12x2-x-12=xlnx-12x2-

26、1，进而得到结论7.【结论8】lnx2 x-1x+1,0 x12xp-px+lnp,0 x plnx12xp-px,x p.在结论7中，进行xxp的代换，即证.【结论10】lnx2 x-px+p+lnp,0 xx-1x ,0 x1lnxx-1x ,x1.在结论7中，进行xx的代换，即证.【结论12】lnx4x-1x+1,0 x1lnx4x-1x+1,x1.在结论8中，进行xx的代换，即证.【结论13】lnx0.在lnx1-pxp p0.其中结论13和结论14通常用来放缩“找点”.第二组：关于第二组：关于ex的不等式的不等式【结论15】exx+1.在lnxx-1中，进行xex的代换，即证.【结论

27、16】exex.在lnxx-1中，帅琪的数学笔记进行xex的代换，即证.【结论17】ex-1x.由lnxx-1可得elnxex-1，即证.【结论18】exex+12.在exx+1中，进行xx-12的代换，即证.【结论19】ex2+x2-x .在lnx2 x-1x+1x1中，进行xex的代换，即证.【结论20】ex-e-x-2x0 x0.在lnx12x-1xx1中，进行xex的代换，即证.【结论21】e2x-ex-x0，exxe-x+1.在lnxx2-x中，进行xex的代换，即证.【结论22】ex1+x+12x2x0.对ex两边进行积分，帅琪的数学笔记可以得到 ex12x2+x，配一个常数，使得

28、x=0恰为函数的零点，得到单调递增且零点为x=0的函数h x=ex-12x2+x+1，进而得到结论22.【结论23】ex1+x+12x2+16x3x0.【结论24】ex1+x+12x2+16x3+1n!xnx0.重复上述积分的操作即可.【结论25】exex+x-12x0.在ex1+x+12x2中，进行xx-1的代换，即证x1的部分，0 xx2x0.在exex中，进行xx2的代换，再两边平方.【结论27】exennxnn0,x0.在exex中，进行xxn的代换，再两边取n次方.其中结论24和结论25通常用来放缩“找点”.第三组：关于第三组：关于ln x+1的不等式的不等式【结论28】ln x+1

29、x.在lnxx-1中，进行xx+1的代换，即证.【结论29】ln x+1xx+1.在lnxx-1中，进行x1x+1的代换，即证.【结论30】ln x+1x2+x.由ln 1+xxx2+x得，或在lnxx2-x中，进行xx+1的代换.【结论31】ln x+1x2+2x2 x+1,-1x0ln x+1x2+2x2 x+1,x0.在结论7中，进行xx+1的代换，即证.【结论32】ln x+12xx+2 ,-1x2.由exx+1，lnxx-1即证.【结论34】ex-ln x+11.由exx+1，ln x+1x即证.【结论35】lnxx lnxx-1xlnxx2-xex-e-1x-1.【结论36】xex

30、x+lnx+1，ex1+lnx+1x在exx+1中，进行xx+lnx的代换，即证.【结论37】ex-1ln x+1x2x0.由 f x=ln x+1x的单调性及ex-1x可得.第五组：常见函数最值第五组：常见函数最值【结论38】x-lnx1，lnx-x-1，lnx+1x1，xlnx-x-1，lnx+1x1，lnxx 1e.【结论39】lnxxp 1pep0.由lnxx 1e，得lnxxp =1plnxpxp1pe.【结论40】lnx+pxep-1.由lnxx 1e，得lnx+px=epln epxepxep-1.【结论41】xlnx1e.由lnxx 1e，得xlnx=-ln1x1x -1e.【

31、结论42】xlnx-2e，x2lnx-12e，xplnx-1pep0.由xlnx-1e，得xplnx=1pxplnxp-1pe.【结论43】exxe x0，ex-ex0，xex-1 1，xe-x1e.【结论44】e2xx2e x0，e3xx3e x0，epxx pe p0,x0.由exxe x0，得epxx=pepxpx pe.【结论45】exx2e24，exx3e327x0，exxnennnn0,x0.由exxe x0，得exxn=1nnexnxnnennn.【结论46】xex-1e.在xlnx-1e，进行代换xex，即得.第六组：数列不等式第六组：数列不等式【结论47】1n+1 ln 1+

32、1n1n.在ln 1+xx中，分别进行x1n和x-1n+1 的代换，即证.【结论48】12+13+1n+1 ln n+11+12+1n，12+13+1nlnn1+12+1n-1 n2.由结论46可得1n+1 ln n+1-lnn1n，累加即得.【结论49】22n+1ln 1+1n1n n+1.在ln x+1x中，进行x1n的代换，得左边；在lnxx-1x 中，进行xn+1n 的代换，得右边；【结论50】23+25+22n+1ln n+112 +16 +1n n+1，23+25+22n-1lnn2 x-1x+1,x1lnx2 x-1x+1,0 xx-1,x1x+12lnxx-1,0 x1.为了判

33、断xlnx和x-1的大小关系，可构造函数G x=lnx-x-1x ，易得lnx1lnxx-1x ,0 x1，即xlnx1xlnxx-1,0 x1时，xlnxx-1x+12lnx；当0 x1时，x+12lnxx-11时，lnxx-1x 12x-1x；当0 xx-1x 12x-1x.这两组得到的不等式实际上就是对数平均不等式及其各种变形.第三组：关于第三组：关于exx+1和和e-x-x+1我们先将这两个不等式写作ex-1x,1-e-xx，然后通过判断ex-1,1-e-x的算术平均值ex-e-x2、几何平均值ex2-e-x2与x的大小，来判断x到底更偏向于ex-1,1-e-x两个中的哪个.易得如下结

34、论：【结论3】当x0时，ex-e-x2ex2-e-x2x；当x0时，ex-e-x2ex2-e-x2x.我们也可以先将这两个不等式写作ex x+1,ex11-xx1，然后通过判断x+1,11-x的算术平均值2-x22 1-x、几何平均值1+x1-x 与ex的大小，来判断ex到底更偏向于x+1,11-x两个中的哪个.易得如下结论：【结论4】当0 x1+x1-x ex；当-1x0时，2-x22 1-x1+x1-x ex.经过简单变形或代换，可得如下结论：【结论5】当0 x1时，1-xex1-x22；当0 x2时，ex-1时，ex-1ln x+1x2；当x0时，ex+ln x+12x+1；当-1x0时

35、，ex+ln x+11时，ex-1lnx+1x2；当0 x1时，ex-1lnx+11时，ex-1+lnx2x-1；当0 x1时，ex-1+lnx2x-1；第六组：关于第六组：关于ln x+1x和和sinxxtanx 0 x2可试着证明如下结论：【结论8】当-1x1时，ln x+1sinx；当-1x1时，ln tanx+1x；当0 x2x；当0 xx2；有兴趣的朋友可以自己写一些不等式玩玩，或者将上述不等式证明一遍.07 揭秘导数压轴题的命制策略我们在做导数题时，有时会遇到一个看似复杂的函数解析式，但实际上通过某种操作之后再求导，会发现导函数有一个非常漂亮的零点.这种函数解析式的构造给人一种非常

36、巧妙的感觉，小编今天就来揭秘命题人的命制方法.一.常见函数的极值点为了顺利命制新题或者识破命题人的套路，帅琪的数学笔记我们首先要具备一点基本技能熟悉以下几类函数类型的极值点.（1）f x=ex-ax a0的极值点是x=lna，出现频率最高的是 f x=ex-ex，其极值点是x=1；（2）f x=exxn的极值点是x=n；（3）f x=ax-lnx a0的极值点是x=1a；（4）f x=ax+lnx a0的极值点是x=a；（5）f x=lnxx 的极值点是x=e，f x=lnx+nx的极值点是x=e1-n；（6）f x=xex的极值点是x=-1，f x=x-aex的极值点是x=a-1；（7）f

37、x=xe-x的极值点是x=1，f x=x+ae-x的极值点是x=a-1；（8）f x=x-a2的极值点是x=a；（9）f x=x+a2xa0的极值点是x=a.二.构造函数的方法将两个具有相同极值点的函数简单的四则运算组合起来，再做一点小修饰（加参数、去分母等）.有时候会先构造出导函数的形式，再通过简单积分求出原函数.而识别命题人这种套路的方法，也就在于对上述几种基本类型的函数极值点具备一定的敏感度.三.具体实例下面举几个例子加以说明（原题第一问已略去）.【例1】已知函数 f x=ex-x2+1-ax-1，若对任意的x0，都有 f x0，求a的取值范围.思路一：x=0时显然成立，当x0时，a-1

38、exx-x+1x.构造函数F x=exx-x+1x，则Fx=x-1ex-x-1x2，其中exx+1恒成立，所以F xmin=F 1=e-2，所以ae-1，故a的取值范围是-,e-1.这道题乍一看，似乎是“端点效应”，由 f x0=f 0得 f0=2-a0，解得a2，其实我们从上面的过程可以看出来，a2仅是必要条件，并不充分.再 一 看，这 道 题 好 像 又 是“指 数 找 基 友”的 类 型，令 m=a-1，可 以 构 造 函 数 F x=x2+mx+1e-x-1来求解（当然，事实上确实也可以）.实际上，这道题是命题人把两个极值点为x=1的函数y=exx和y=x+1x组合起来的，分离参数之后

39、这样组合一下，求导之后的因式分解就会非常简单，如果一开始就做通分的操作，有可能对导函数进行因式分解会困难一些，甚至被卡住.若帅琪的数学笔记将原不等式变形，ex+1-axx2+1，左边是ex-ax的类型，右边是二次函数，很容易联想到y=ex-ex和y=x-12的极值点都是x=1，基于此，又可以得到如下做法：思路二：由 f 10得ae-1.当ae-1时，构造F x=x2+e-2x+1e-x-1，则Fx=-x-1x+e-3e-x，所以F x在 0,3-e,3-e,1,1,+上依次递减、递增、递减，所以F xmax=max F 0,F 1 =0，所以 x2+e-2x+1e-x-10，即exx2+e-2

40、x+1，故当x0时，有 f xex-x2-e-2x+10.故a的取值范围是-,e-1.在方法二中，我们顺便证明了exex+x-12，事实上，抛物线y=ex+x-12是曲线y=ex的一条非常重要的切曲线，切点为 1,e.仿照这道题的导函数Fx=x-1ex-x-1x2，我们可以构造导函数Gx=x-1ex-exx2=x-1exx2-e 1-1x，于是反求得 G x=exx-e x-lnx（又变成了指对互化的问题，意不意外？），可以函数 f x=ex-e x2-xlnx为依托命制题目.将exx换成exx2，exx2的导函数为x-2exx3，构造导函数Hx=x-2ex-xx3=x-2exx3-1x-2x

41、2，积分，求得原函数是H x=exx2-lnx+2x，于是可命制出如下例2：【例2】证明：当x0时，ex-2xx2lnx.分析：exx2lnx+2x，左右两边的极值点都是x=2.构造函数F x=exx2-lnx+2x，则Fx=x-2exx3-1x-2x2=x-2ex-xx3，其中exx恒成立，所以F xmin=F 2=e24-ln2-10，故exx2 lnx+2x，即ex-2xx2lnx.2014年的山东理数导数题中的函数 f x=exx2-k2x+lnx即是如此构造出来的.2016年全国理数压轴题中的函数 f x=x-2ex+a x-12则是以y=x-2ex和y=x-12这两个极值点都为x=

42、1的函数组合而成的.2013年新课标文数导数题中的 f x=4x+4ex-x2-4x则是以y=x+1ex和y=x+22这两个极值点都为x=-2的函数组合而成帅琪的数学笔记的.简单的函数可以直接构造，复杂一点的则可以先构造导函数，再求原函数.2017 年山东理数压轴题中的函数巨丑无比，吓坏了不少小朋友，其实是先构造了导函数 fx=x-sinxex-x，再反求原函数的这也告诉我们，一般题目巨丑的题，结构反而是出题人精心设计的，细心做下去一定会有“惊喜”.2017年山东文数压轴题中的函数则是先构造了导函数 fx=x-sinxx-a.我不妨也试着来构造一个巨丑无比的函数.先写出导函数 fx=x-1ln

43、x-x，看起来很漂亮，简单积分，可得原函数为f x=12x2-xlnx-13x3+14x2+x.易得其最大值为 f 1=1112，所以 f 11恒成立，因此可命制出如下题目：【例3】已知函数 f x=lnx，g x=12x2-x.（1）求证：f x gx；（2）证明：g xlnx+x+14x20，在极值点右侧寻找使得 f x00的x0.策略：结合exx2x0，可令x2ax，于是可取x0=a，即有 f a=ea-a20，它的证明可以通过构造函数h x=exx2x0来实现.【基本模型二】问题：已知 g x=lnx-ax a0，在极值点右侧寻找使得 g x00的x0.策略：结合lnxx，可令xax，

44、于是可取x0=1a2，即有 f1a2=ln1a2-1a=2ln1a-1a0来实现.（lnxx 1e122lnxxlnxx或lnxx 1e122ln1a-1a0）这两个基本模型都是当x+时，两个正无穷大的量之间的比较，大部分人更习惯于这种类型的找点，而对于0乘无穷的极限并不是很熟悉，但是后者其实可以转化为前者，不是这种类型的问题，可尝试转化到这种类型.比如说：【例1】已知 f x=xex-a-1ea0.分析：极值点左侧，有x-，则-x+，于是xex-a0 xexaxae-xe-x-1a-x.该问题转化为基本模型一了，于是可取-x2-1a-x，即x1a.于是可取x0=1a，f1a0.【例2】已知

45、f x=x2lnx-a-12ea0.分析：极值点左侧，有x0+，则1x+，于是x2lnx-a0-x2lnx-a-lnx-a1x212ln1x2-a1x2.该问题转化为基本模型二了，于是可取121x2-a1x2，即x-2a.于是可取x0=-2a，f-2a0.三个基本手法【基本手法一】并项与拆项：当函数有多项时，可以通过恒等变形或者放缩进行并项（将较小的几项合并成一项）与拆项（将最大的一项拆分成若干项）工作.【例3】已知 f x=ae2x+a-2ex-x 0a0.分析一：放缩并项结合exx，只需令ae2x+a-2ex-ex0，解得xln3a-1，故可取x0=ln3a-1或ln3a.分析二：拆项取1

46、2ae2x 2-aex12ae2xx，只需ex2a-1a 2x22x，即xln2a-1x12a，故可取x0=12a+ln2a-1,或直接取x0=2a.【例4】已知 f x=lnx-ax+b a0,b0，寻找x0，使得 f x0lnx+b=ln ebx，只需axebx，即xeba2，可取x0=eba2.分析二：拆项取12axlnx12axb，只需12axx12axb，即x4a2x2ba，故可取x0=4a2+2ba,或补项成完全平方x0=2a+b2.【例5】已知 f x=13x3-a x2+x+1，寻找x1,x2，分别使得 f x10和 f x2x1，所以x2+x+1a x2+x+1，只需13x3

47、3 ax2，取x9 a，还要保证x2x1，所以取x19 a+1.要使得13x3a x2+x+1，只需13x3-ax2+x+1，当x-时，-ax+1是正的，可丢掉，只要13x3-ax2即可，即xax219x3ax19x3a，a的正负不定，加强为19x3 ax219x3 ax19x3 a，即x9 ax3ax93a.于是可取x1=9 a+3a+93a+1或x1=max 9 a,3a,93a,1 .同理可取x2.【例6】已知 f x=e2x-axa0，寻找x00，使得 f x00.分析：要使得xe2xa，x越小越容易成功，可以令xaee2xe，即xaex0，在极值点左边寻找x0，使得 f x00.分析

48、：在极值点左侧有x 0,2，此时ex 1,e2，所以 exx21x2，只需1x2a即可，故可取x0=1a .【例7】已知 f x=x-lnx-kx-a k0,a3-4ln2，寻找x1,x2，使得 f x10,f x20越容易成功，因为其中对数项趋于正无穷大.对于不确定符号的参数，仍然用绝对值调节，于是只需-lnx kx+a，再限定 x 1，故只需-lnx k+a，即xe-k+a，而这个点是满足x1的，故可取x1=e-a+k.当x越大时，帅琪的数学笔记x-lnx-kx-a 1，则 只 需x-kx+a 0，即xk x-1 a，故 只 需 kx-1 a，即xa+1k2，结合x1和xa+1k2，可取x

49、2=a+1k2+1.【基本手法三】构造函数时可以：合理分参避开分母可能等于 0的情形；通过换元、开方、取对数、取指数等手法避开不熟悉的函数结构.【例8】已知 f x=exx2-a在 0,+恰有一个零点，求a.分析：方向一：补充定义转化为函数h x=x2ex-1a在 0,+只有一个零点.方向二：换元与降次，令x=2t，再因式分解转化为函数h t=et-2 at在 0,+只有一个零点.两个模型和三种手法足以应付绝大多数高考难度帅琪的数学笔记的题目，然而找点虽然不是玄学，但是光靠看资料研究答案的找点是永远学不会的，动手找点是学会找点的唯一途径，一起加油吧10 极值点方程代换（隐零点代换）的几种情况极

50、值点方程代换（或称为隐零点代换）是近几年导数压轴题的考查热点之一，经常出现在与极值有关的不等式的证明题中.我们通常利用隐零点代换的手段对函数的极值进行适当的估计，从而完成相关函数不等式的证明.隐零点代换的两个关键步骤是“虚设零点（并卡范围）”和“整体代换”.我们在利用导函数研究原函数f x的极值时，有时我们虽然证明了导函数的零点存在，甚至唯一，但是无法真正地把零点解出来，这时候我们不得不将零点虚设为x0，再利用导函数为0，我们可以得到关于隐零点x0的一个等式，利用它进行代换，帅琪的数学笔记可以将我们所求的极值f x0中的表达式进行化简，以便于我们接下来对f x0的大小或性质进行研究.具体来说，