湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题含解析.pdf

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1、第 1页/共 26页（北京）股份有限腾腾云联盟云联盟 20222023 学年度上学期高三年级十月联考学年度上学期高三年级十月联考数学试卷数学试卷注意事项：注意事项：1.答题前答题前，先将自己的姓名先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置题卡上的指定位置.2.选择题的作答选择题的作答：每小题选出答案后每小题选出答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.

2、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的1.已知集合|2Mx x，2=lg(3)Nx yxx，则MN为（）A.0,B.0,C.2,3D.2,2.已知复数1 i

3、z ，z为z的共轭复数，则zz（）A.iB.iC.1D.13.准线方程为2y 的抛物线的标准方程为（）A.24yxB.28yxC.24xyD.28xy4.已知O为ABC的重心，记OAa，OBb，则BC uuu r（）A.2ab rrB.2abrrC.2abrrD.2abrr5.投掷一枚质地均匀的骰子，下列说法中错误的是（）A.在前 5 次掷出的点数都是偶数的条件下，第 6 次掷出的点数仍是偶数的概率为12B.投掷两次掷出的点数之和为 7 的概率最大C.投掷十次，掷出的点数之和的期望为 35D.投掷两次，至少有一次掷出的点数为 3 的概率为5186.一个大风车的半径为 8m，匀速旋转的速度是每

4、12min 旋转一周.它的最低点0P离地面 2m，风车翼片的一第 2页/共 26页（北京）股份有限个端点P从0P开始按逆时针方向旋转，点P离地面距离mh与时间mint之间的函数关系式是（）A.8sin106h tt B.8sin26h ttC.8cos106h tt D.8cos106h tt7.数列 na满足1=2a，24a ，且对任意正整数n，有2121nnnaaa，则na的最小值为（）A.16B.17C.18D.198.已知e 0.1e0.1a，eeb，e 0.1e0.1c，则a，b，c的大小关系为（）A.cabB.acbC.abcD.cba二二、选择题选择题：本题共本题共 4 小题小题

5、，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列命题正确的是（）A.“1a”是“11a”的充分不必要条件B.命题“任意1x，都有21x”的否定是“存在1x，使得21x”C.设x，yR，则“2x 且2y”是“228xy”的必要不充分条件D.设a，bR，则“0a”是“0ab”的必要不充分条件10.正方体1111ABCDABC D的棱长为 4，点E，F分别为棱1DD，1BB上的动点，且满足1D EBF，则以下命

6、题正确的有（）A.三角形1AEF的面积始终保持不变B.直线1AC始终在平面1AEF内第 3页/共 26页（北京）股份有限C.三棱锥11CAEF的体积始终不变D.直线1C A可能与平面1AEF垂直11.已知函数=y f x的定义域为R，函数1yf x的图象关于点2,2对称，函数2yfx的图象关于直线=1x对称，下列结论正确的有（）A.22fB.32fC.134ffD.1722ff12.函数 xxf xxeex的大于 0 的零点为a，函数 lnlng xxxxx的大于 1 的零点为b，下列判断正确的是（提示：ln31.1）（）A.abeB.lnabeC.111abD.23b三、填空题：本题共三、填

7、空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13.522xx展开式中的常数项是_.14.已知圆22:4C xy，直线=+y x m，若直线截圆所得弦长为 2，则=m_.15.已知0a，0b，且2222a babab，则+2ab的最小值为_.16.一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数22(0)1xyxx的图像上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是_.四、解答题四、解答题.17.已知数列 na的前n项和为nS，12a，1124nnnnn aaaa.（1）证明：1nan为等比数列；（2）求nS.18.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c

8、，记ABC面积为S，且满足第 4页/共 26页（北京）股份有限22234Sacb.（1）求角B；（2）若=2b，且tantan3 3AC，求S.19.在图 1 的直角梯形ABCD中，/AB CD，90DAB，=4AB，2ADCD，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起，使得2 3BD，得到如图 2 的四棱锥BADCE.（1）证明：平面BEC 平面AECD；（2）在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由.20.甲，乙，丙三人进行相互传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中

9、的一人.（1）当传球 3 次后就停止传球，求球在乙手上次数的分布列与期望；（2）求第n次传球后球恰好在甲手上的概率.21.已知椭圆2222:10 xyCabab经过点0,1P，且离心率为32.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点30,5的直线l与椭圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，线段AB的中点为M，求MO的最大值.22.已知函数 1 eln1xf xxxa x，其中实数0a.（1）当e 1a 时，求函数 f x的单调性；（2）若函数 f x有唯一零点，求a的值.第 5页/共 26页（北京）股份有限腾腾云联盟云联盟 20222023 学年度上学期高三年级十月联考学年度上学期高三年级十月联考

10、数学试卷数学试卷注意事项：注意事项：1.答题前答题前，先将自己的姓名先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置题卡上的指定位置.2.选择题的作答选择题的作答：每小题选出答案后每小题选出答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试

11、卷、草稿纸和写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一一、选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是符合题目要求的符合题目要求的1.已知集合|2Mx x，2=lg(3)Nx yxx，则MN为（）A.0,B.0,C.2,3D.2,【答案】B【解析】【分析】要得到2=lg(3)Nx yxx，即求2lg(3)yxx的定义域，从而得到MN的值.【详解】因为2=lg(3)Nx yx

12、x，所以|03Nxx而|2Mx x，所以(0,)MN 故选：B2.已知复数1 iz ，z为z的共轭复数，则zz（）A.iB.iC.1D.1【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数概念和复数除法计算即可.【详解】由题可知=1iz，21 i(1 i)=i1+i(1+i)(1 i)zz第 6页/共 26页（北京）股份有限故选:B3.准线方程为2y 的抛物线的标准方程为（）A.24yxB.28yxC.24xyD.28xy【答案】D【解析】【分析】2xay的准线方程为4ay .【详解】28xy的准线方程为2y .故选：D.4.已知O为ABC的重心，记OAa，OBb，则BC uuu r（）A.2ab rrB

13、.2abrrC.2abrrD.2abrr【答案】A【解析】【分析】延长 AD 交 BC 于点 D，再利用三角形重心定理结合向量的线性运算求解作答.【详解】在ABC中，延长 AO 交 BC 于点 D，如图，因O为ABC的重心，则点 D 为线段 BC 的中点，11=22ODOAa，所以=2=2()=2BCBDODOBab .故选：A5.投掷一枚质地均匀的骰子，下列说法中错误的是（）A.在前 5 次掷出的点数都是偶数的条件下，第 6 次掷出的点数仍是偶数的概率为12B.投掷两次掷出的点数之和为 7 的概率最大C.投掷十次，掷出的点数之和的期望为 35D.投掷两次，至少有一次掷出的点数为 3 的概率为

14、518【答案】D第 7页/共 26页（北京）股份有限【解析】【分析】根据古典概型概率公式，事件的独立性及随机变量的期望公式逐项分析即得.【详解】对于 A，由题可知每次投掷一枚质地均匀的骰子不会影响下一次掷出的骰子的点数，故第 6 次掷出的点数仍是偶数的概率为31=62，故 A 正确；对于 B，投掷两次共出现的结果共有6636种，123456123456723456783456789456789105678910116789101112所以点数之和为 2 出现 1 次，点数之和为 3 出现 2 次，点数之和为 4 出现 3 次，点数之和为 5 出现 4 次，点数之和为 6 出现 5 次，点数之和

15、为 7 出现 6 次，点数之和为 8 出现 5 次，点数之和为 9 出现 4 次，点数之和为 10 出现 3 次，点数之和为 11 出现 2 次，点数之和为 12 出现 1 次，所以投掷两次掷出的点数之和为 7 的概率最大，概率为61366，故 B 正确；对于 C，投掷一枚质地均匀的骰子出现的各个点数的概率均为16，所以投掷一次骰子出现的点数的期望为1 23456762 ，所以投掷十次，掷出的点数之和的期望为710352，故 C 正确；对于 D，由题可知投掷两次，至少有一次掷出的点数为 3 的概率为66 1113636，故 D 错误.故选：D.6.一个大风车的半径为 8m，匀速旋转的速度是每

16、12min 旋转一周.它的最低点0P离地面 2m，风车翼片的一个端点P从0P开始按逆时针方向旋转，点P离地面距离mh与时间mint之间的函数关系式是（）第 8页/共 26页（北京）股份有限A.8sin106h tt B.8sin26h ttC.8cos106h tt D.8cos106h tt【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出函数解析式，再根据给定的条件求解其待定系数作答.【详解】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为 y 轴，该直线与地面的交点为原点，建立坐标系，如图，依题意，设函数解析式为()sin(),(0,0)h tAxBA，显然minmax()2,()18h th

17、t，则maxmin()()82h th tA，maxmin()()102h th tA，函数()f x的周期12T，则26T，因当=0t时，min()2f t，即有sin1，则2,Z2kk，于是得()8sin(2)108cos10,Z626h ttktk，所以点P离地面距离mh与时间mint之间的函数关系式是 8cos106h tt.故选：C7.数列 na满足1=2a，24a ，且对任意正整数n，有2121nnnaaa，则na的最小值为（）A.16B.17C.18D.19【答案】D【解析】第 9页/共 26页（北京）股份有限【分析】构造法求1nnaa的通项公式，再用累加法求出 na的通项公式即

18、可求解.【详解】由2121nnnaaa得，2111nnnnaaaa，即 2111nnnnaaaa，所以数列1nnaa是以216aa 为首项，1 为公差的等差数列，所以16(1)7nnaann ，所以 21321(1)(68)6(5)82nnnnaaaaaan LL，所以21(1)(68)151422nnnnnaa，所以2215181159222nnnann，对称轴0157.52n，所以当7n 或 8 时，na有最小值为19.故选:D.8.已知e 0.1e0.1a，eeb，e 0.1e0.1c，则a，b，c的大小关系为（）A.cabB.acbC.abcD.cba【答案】B【解析】【分析】对a，b

19、，c变形后构造函数ln()xf xx，利用极值点偏移证明a，b，c的大小关系.【详解】要比较a，b，c等价于比较ln,ln,lnabc的大小,等价于比较lnlnln,(e+0.1)(e0.1)(e+0.1)(e0.1)(e+0.1)(e0.1)abc,即比较2ln e0.1ln e+0.1e,e0.1e1e+0.1,构造函数ln()xf xx,21ln()=xf xx,令()0,fx得0 ex,令()ex,所以()f x在0,e单调递增,e,+单调递减.第 10页/共 26页（北京）股份有限所以max1()(e)ef xf,因为max22ln e0.1ln e+0.1ee1=(e0.1),=(

20、),=(e+0.1)e0.1e1eee+0.1ff xf，所以2ee1最大，即a，b，c中b最大，设1213131=e0.1,=e+0.1,()=()=,exxf xf xm mxx，结合()f x的单调性得，13exx，先证明131313+lnln2xxxxxx，其中130 exx，即证11331131332(1)2()ln=+1xxxxxxxxxx，令13=(0,1)xtx，2(1)()=1+1th tntt，其中0 0(+1)(+1)th tttt t，所以，函数()h t在(0,1)上为增函数，当0 1t时，()0 xx时，131313+lnln2xxxxxx，则有1313132+ln

21、lnxxxxxx，由13()()f xf xm可知3113lnlnxxmxx，所以131313131322=2=+lnlnxxxxxxxxm xxm，因为12e,xx即132exx，因为12ef xfx，即 132ef xfx，第 11页/共 26页（北京）股份有限因为122e,xx所以12=2e,xx所以232e2efxfx，即23232e2e,xxxx，因为23e()=()f xf xf x，即ln e+0.1ln e0.1e+0.1e0.1，即c b，综上，a c b，故选:B.【点睛】关键点点睛：应用对数平均不等式12121212+1a时11a,当11a时,即10a a,解得1a或a1

22、a”是“11a”的充分不必要条件,故 A 正确;命题“任意1x，都有21x”的否定是“存在AC AA，因此1AC与1AC不垂直，若直线1AC与某个位置的平面1AEF垂直，由 B 选项知，1AC平面1AEF，则必有11ACAC，矛盾，于是得直线1AC不可能与平面1AEF垂直，D 不正确.故选：BC11.已知函数=y f x的定义域为R，函数1yf x的图象关于点2,2对称，函数2yfx的图象关于直线=1x对称，下列结论正确的有（）A.22fB.32fC.134ffD.1722ff【答案】BCD第 14页/共 26页（北京）股份有限【解析】【分析】根据给定条件，探讨函数=y f x的性质，再逐项判

23、断作答.【详解】函数=y f x的定义域为R，由函数1yf x的图象关于点2,2对称，得=y f x的图象关于点3,2对称，则有(6)+()=4fxf x，取=3x得 32f，B 正确；由函数2yfx的图象关于直线=1x对称，得2 2=2fxfx，则有(4)=()fxf x，函数=y f x的图象关于直线=2x对称，因此(1)(3)ff，有 134ff，C 正确；于是得(6)+(4)=4fxfx，即(+2)=4()f xf x，有(+4)=4(+2)=()f xf xf x，取7=2x得17()=()22ff，D 正确；函数()=cos+22g xx的图象关于点3,2对称，且关于直线=2x对称

24、，而(2)1g，A 不正确.故选：BCD12.函数 xxf xxeex的大于 0 的零点为a，函数 lnlng xxxxx的大于 1 的零点为b，下列判断正确的是（提示：ln31.1）（）A.abeB.lnabeC.111abD.23b【答案】AC【解析】【分析】根据题意可知()0f xg x，即可计算得出 A，B 答案.再将计算结果代入11ab化简即可得出C.最后根据 g x单调性即可判断出零点区间.【详解】根据题意可知=0,0lnln=0,1aaaeeaab bbbb，即=lnlnaaaeea b bbb将abe带入等式，等式成立，故 A 正确.因abe，所以lnlnabea，故 B 错误

25、.11lnlnlnbbbbbb,因为lnln=0ln=ln+b bbbb bb b，所以ln1lnbbbb，故 C 正确.第 15页/共 26页（北京）股份有限 1=lngxxx在(1,3)先小于 0，后大于 0，故 g x在(1,3)先减后增，1=1g，3 0a，0b，由2222a babab得：212abba，则212222+2=(+2)(+)=5+5+2=3ababababbababa，当且仅当22abba，即=1a b时取等号，所以当=1a b时，+2ab取得最小值 3.故答案为：316.一矩形的一边在x轴上，另两个顶点在函数22(0)1xyxx的图像上，如图，则此矩形绕x轴旋转而成的

26、几何体的体积的最大值是_.【答案】【解析】【分析】先利用基本不等式求出y的取值范围，再设点A，B的坐标，由A，B的纵坐标相同，得到121x x，从而得到h，再利用圆柱的体积公式以及基本不等式，即可得到答案.【详解】由22211xyxxx，又0 x，则1122xxxx，当且仅当1x 时取等号，222111xyxxx，且12xxy，矩形绕x轴旋转而成的几何体为圆柱，设A1(x,1)y，2(B x,2)y，如图所示，则圆柱的底面圆的半径为y，高为21hxx，且112121xfxx，222221xf xx，1222122211xxxx，即211210 xxx x，由12xx，可得121x x，第 17

27、页/共 26页（北京）股份有限222212121212114444hxxxxx xxxy，故222 144yhyy，圆柱的体积为22222212124yyVy hyy，当且仅当22y 时取等号，此矩形绕x轴旋转而成的几何体的体积的最大值是.故答案为：.四、解答题四、解答题.17.已知数列 na的前n项和为nS，12a，1124nnnnn aaaa.（1）证明：1nan为等比数列；（2）求nS.【答案】（1）证明见解析；（2）2nnSn.【解析】【分析】（1）由递推关系化简，根据等比数列的定义得证；（2）由（1）求出na，根据错位相减法求和.【小问 1 详解】1124nnnnn aaaa,112

28、4nnnnnanaaa，即1122nnnaan1221nnaann，故1nan为等比数列.【小问 2 详解】由（1）知，111 21 21nnnnaann，0212 23 24 2(1)2nnSn ，12322 23 24 2(1)2nnSn ，212222(1)2nnnnS第 18页/共 26页（北京）股份有限12222(1)212nnn2nn ，2nnSn18.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记ABC面积为S，且满足22234Sacb.（1）求角B；（2）若=2b，且tantan3 3AC，求S.【答案】（1）3（2）8 39【解析】【分析】(1)利用面积公式和余弦定理

29、求解;(2)利用三角恒等变换公式以及正弦定理求出ac即可求解.【小问 1 详解】由题可知,22213=sin=+24SacBacb,即22213+sin=442acbBac,所以sin3cosBB,即tan=3,(0,),=3BBB.【小问 2 详解】因为sinsinsincoscossinsin()tantan3 3coscoscoscoscoscosACACACACACACACAC,因为3+=,sin+=sin=2A CBA CB,所以1coscos,6AC 又由tan+tantan=tan(+)=3,tan tan=4,1tan tanACBA CACAC即sin sin2=4,sin

30、sin=cos cos3ACACAC,第 19页/共 26页（北京）股份有限由正弦定理24 3sinsinsin332acbACB，所以24 34 34 332sin,sin,sinsin3339aA cC acAC，所以113238 3=sin=22929SacB.19.在图 1 的直角梯形ABCD中，/AB CD，90DAB，=4AB，2ADCD，E为AB的中点，沿EC将梯形ABCD折起，使得2 3BD，得到如图 2 的四棱锥BADCE.（1）证明：平面BEC 平面AECD；（2）在线段CD上是否存在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F的位置；若不

31、存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点 F 是线段 CD 中点.【解析】【分析】（1）根据给定的条件，利用线面垂直的判定证得BE 平面AECD，再利用面面垂直的判定推理作答.（2）由（1）的信息，以点 E 为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量求解判断作答.【小问 1 详解】由图 1 知，四边形AECD是正方形，BECE，在四棱锥BADCE中，BECE，而2222 2,2,12DEBEDEBEBD，则BEDE，又,DECEE DE CE平面AECD，因此BE 平面AECD，而BE 平面BEC，所以平面BEC 平面AECD.【小问 2 详解】假定在线段CD上存在点F满足条件

32、，由（1）知，射线,EA EB EC两两垂直，以点 E 为原点，射线,EA EB EC分别为,x y z轴非负半轴建立空第 20页/共 26页（北京）股份有限间直角坐标系，如图，则点(2,0,0),(0,2,0)AB，设(,0,2)(02)F，有(2,2,0),(2,0,2)ABAF ，设平面FAB的一个法向量(,)nx y z，则=2+2=0=(2)+2=0n ABxyn AFxz ，令=2x，得(2,2,2)n，显然平面EBC的一个法向量(1,0,0)m，依题意2|22|cos,|3|8(2)m nm nm n ，解得1，即点(1,0,2)F，点 F 是线段 CD 中点，所以在线段CD上存

33、在点F，使得平面FAB与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为23，点 F 是线段 CD中点.20.甲，乙，丙三人进行相互传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的一人.（1）当传球 3 次后就停止传球，求球在乙手上次数的分布列与期望；（2）求第n次传球后球恰好在甲手上的概率.【答案】（1）分布列见解析；98（2）111132nnp【解析】【分析】(1)列举出经 3 次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算球在乙手上次数的概率，列出分布列，并求出数学期望即可.(2)记nA表示n次传球后球在甲手中的事件，nnpP A，利用相互独立事件概率及条件概率探求1np与

34、np的关系，再借助数列求解作答.【小问 1 详解】第一次甲将球传出后，3 次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，第 21页/共 26页（北京）股份有限甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共 8 个结果，它们等可能，记球在乙手上次数为X，则X可能为：0，1，2；1(0)8P X；5(1)8P X；2(2)8P X；X的分布列为：X012()P X185828所以1529()0128888E X .【小问 2 详解】n 次传球后球恰好在甲手中的事件记为nA,则有111nnnnnAA AA A，令nnpP A，则11 102nnnnP AAP AA，于是得 1111012

35、nnnnnnnnnP AP AP AAP AP AApp，因此，1112nnpp，则1111323nnpp，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即10p，则有11133p ,数列13np是以13为首项，12为公比的等比数列，1111332nnp,整理得111132nnp，所以n次传球后球在甲手中的概率是111132nnp.21.已知椭圆2222:10 xyCabab经过点0,1P，且离心率为32.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过点30,5的直线l与椭圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，线段AB的中点为M，求MO的最大值.【答案】（1）2214xy第 22页/共 26页（北京）股份有限（2

36、）2 35【解析】【分析】(1)由cea，1b，又222abc，即可求出椭圆的方程.(2)设11(,)A x y，22(,)B xy，00(,)M xy，利用点差法，把MO表示为关于0y的函数，可求最大值.【小问 1 详解】椭圆2222:1(0)xyCabab经过点(0,1)P，其离心率为321b，2233124cbaa，12ba，2a，故椭圆C的方程为：2214xy；【小问 2 详解】当直线l斜率不存在时，M 与 O 重合，不合题意，当直线l斜率存在时，设11(,)A x y，22(,)B xy，00(,)M xy，则有1202xxx，1202yyy，直线l的斜率为01212035yyyxx

37、x，A，B两点在椭圆上，有221114xy，222214xy，两式相减，222212124xxyy，即121212124xxyyyyxx，得0000435yyxx，化简得220001245xyy，22220000012212335525=MxyyyyO，当025y 时，MO的最大值为2 35【点睛】运用点差法巧解椭圆的中点弦问题，点差法是处理椭圆和直线之间的关系中常常会使用到的一种方法，在平时解题的时候，多运用点差法可以大大提高解题效率，省掉许多繁杂的计算过程，减少出错概率，点差法在解决椭圆中点弦长问题中用到的场合也比较多，该专题是高考的高频考点之一.第 23页/共 26页（北京）股份有限22

38、.已知函数 1 eln1xf xxxa x，其中实数0a.（1）当e 1a 时，求函数 f x的单调性；（2）若函数 f x有唯一零点，求a的值.【答案】（1）f x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减（2）e 1a 【解析】【分析】（1）将e 1a 代入函数 f x，对函数进行求导，因无法直接判断()f x的正负，令()fxg x，对()g x进行求导，判断出()g x的正负，从而求出函数 f x的单调性；（2）先对函数进行求导，因无法直接判断()f x的正负，令()fxh x，对()h x进行求导，判断出()h x的正负，从而分析函数 f x的单调性情况；因为 f x的极值点不能直

39、接求出来，所以令=0ft，又因为函数 f x有唯一零点，所以列出关于t的方程并求出方程的根，从而求出a的值.【小问 1 详解】e 1a ，()1 elne 11xf xxxx1()ee1xfxxx 令 1ee1xg xxx 0 x 21ee0 xxgxxx()g x在(0,)上单调递增，即()f x在(0,)上单调递增(1)0f 令()0fx，则1x，令()0fx，则01x f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增【小问 2 详解】1 eln1xf xxxa x1()exfxxax令 1exh xxax0 x 第 24页/共 26页（北京）股份有限 21ee0 xxh xxx()h

40、x在(0,)上单调递增，即()f x在(0,)上单调递增设()e1xm xx，则 e1xm x当0 x 时，0mx，所以 m x在(0,)上单调递增当0 x 时，0m x，所以 m x在(,0)上单调递减所以 00m xm所以e10 xx，即e1xx所以1111(1)e1211afaaaaaaaa221221011aaaaaa又1e2022fa，所以存在唯一的1,12ta，使得=0ft，即1e0ttat（1）当0,xt时，0fx，f x在0,t上单调递减当,xt时，0fx，f x在,t 上单调递增所以 minf xf t，又因为函数 f x有唯一的零点，所以=0f t，即1 eln10ttta t（2）由（1）（2）得11 elne10ttttttt即211eln10tttt 令 211eln1xn xxxx 22221111 e1 e1xxxn xxxxxxx又因为21 e10 xxx 0 x 所以函数 n x在0,1上单调递减，在1,上单调递增而 10n，则=1t第 25页/共 26页（北京）股份有限代入（1）得e 1a 综上：e 1a 【点睛】导函数中利用函数的零点的情况求参数值或取值范围可通过以下步骤进行：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解；（3）转化为两个熟悉的函数图像的关系问题，从而构建不等式求解.