湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题含答案.pdf

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1、2022 年新高考联考协作体年新高考联考协作体&衡水金卷高二衡水金卷高二 10 月联考月联考数学试卷数学试卷本试卷共本试卷共 4 页，页，22 题。全卷满分题。全卷满分 150 分。考试用时分。考试用时 120 分钟。分钟。注意事项：注意事项：1答题前答题前，先将自己的姓名先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：选出每小题答案后，用选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和

2、答题卡上的非答题区域均无效。标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本题共一、选择题（本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）中，只有一项是符合题目要求的）1

3、已知集合 P=x|x 是平行四边形，Q=(x|x 是矩形，R=x|x 是菱形，S=x|x 是正方形，则QR（）APBQCRDS2假设某地 2022 年年初的物价为 a，每年以5%的增长率递增，则 2031 年年初的物价为（）A8(1.5%)aB81.05 aC91.05 aD101.05 a32a 是直线230axy和5(3)70 xaya平行的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4已知(2,1),(1,2)ab，若向量a在向量b上的投影向量为c，则c（）A4 58 5,55B4 58 5,55C84,55D48,555已知某一平面a的法向量为(1,1,1),(

4、1,0,0)nA为平面内的一点，则点(1,1,2)D到平面的距离为（）A3B2C52D636 设A、B是x轴上的两点，P的横坐标为2，且|PAPB，若直线PA的方程为10 xy，则直线 PB 的方程是（）A50 xyB210 xy C240yxD270 xy7如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为 2，则平面 ABC 与平面11ABC夹角的余弦值为（）A77B2 77C217D778在空间直角坐标系Oxyz中，已知(1,0,0),(1,2,2),(0,0,2),(2,2,4)ABCD，则以下错误的是（）A6AC AB B,AC AB 夹角的余弦值为156CA，B，C，D 共面D点 O

5、到直线 AB 的距离是63二、选择题（本题共二、选择题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分）分）9已知平面的一个法向量为11,2,2n，直线 l 的方向向量为(2,0,4)a，则 AB所在直线 l 与平面的位置关系可以为（）AlBlCl 与相交但不垂直Dl10已知直线 l 的方程是0AxByC，则（）A220ABB若0C，则直线 l 必过原点C若0A B，则直线 l 必过第三象

6、限D若0A B且0A C，则直线 l 不过第三象限11在长方体1111ABCDABC D中，1222ABBCAA，则（）A1BC 平面11ABCDB平面11ABCD与平面 ABCD 夹角的正切值为22CBD 与平面11ABCD所成角的正弦值为3 1010D1D到平面1BC D的距离为2312已知函数2()f xaxbxc，若3log31bac，则（）AcbaBbcaC()()()f cf bf aD()()()f bf cf a三、填空题（本题共三、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分）13若两直线(1)10axy 与(1)10 xay 为同一条直线，则

7、实数 a 的值为_14 从 1，3，5，7 这 4 个数中随机取出 2 个不同的数 a，b，则abab的概率为_15如图，已知点 P 在正方体ABCDABC D 的对角线BD上，60PDC设D PD B ，则的值为_16在ABC中，D，E 分别是边 AC，AB 的中点，若BDCE，且ACAB，则cos A的取值范围为_四四、解答题解答题（本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分。解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程证明过程或演算步骤）或演算步骤）17（本小题满分 10 分）已知三角形 ABC，(1,4),(1,0),(2,1)ABC，以 BA，BC 为邻边作平行四边形

8、 ABCD（1）求点 D 的坐标；（2）过点 A 的直线 l 交线段 BC 于点 E若2ABEACESS，求直线 l 的方程18（本小题满分 12 分）在ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2 sincos2 cossin3aBCcABb（1）求角 B 的大小；（2）若ABC中角 B 为锐角，且2,1ca b，求ABC的面积19（本小题满分 12 分）质检部门从甲乙两个不同的车间各随机抽取了 100 件某种产品，检测其某项质量指标，得到如下的频数分布表：质量指标值(0,60)60,70)70,80)80,90)90,100甲车间产品的频数42050206乙车间产品的频数3244

9、6225规定：产品的等级与该项质量指标值间的关系如下表：质量指标值(0,60)60,80)80,100等级一般良好优秀以下利用频率来估计概率：（1）试分别估计甲、乙两车间生产出来的一件产品为优秀的概率；（2）从甲乙两个车间各抽取一件产品，求一件为优秀且另外一件为良好的概率20（本小题满分 12 分）如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，底面ABC是边长为 2 的等边三角形，14AA，D 是 AB 的中点，E 是1CC上一点（1）求证：平面CDE 平面11AAB B；（2）若CD平面1ABE，求平面1ABE与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值21（本小题满分 12 分）在三棱锥PABC中，

10、已知PA 平面ABC，16,2,3,cos23PAABBCABC，D 为 BC 的中点过 C 作直线lPB，设 Q 为 l 上任意一点（1）当CQBP 时，求直线 AQ 与平面 PAD 所成角的正弦值；（2）求直线 AQ 与直线 PB 所成角的余弦值的取值范围22（本小题满分 12 分）已知函数11,1()11,01xxf xxx（1）当0ab，且()()f af b时，求11ab的值；（2）是否存在实数()ab ab、，使得函数()yf x的定义域、值域都是,a b若存在，则求出 a、b 的值；若不存在，请说明理由；（3）若 存 在 实 数()ab ab、使 得 函 数()yf x的 定 义

11、 域 为,a b时，值 域 为,(0)ma mb m，求 m 的取值范围2022 年新高考联芳协作体年新高考联芳协作体&衡水金卷高二衡水金卷高二 10 月联考月联考数学参考答案及评分细则数学参考答案及评分细则一、选择题一、选择题1 D【解析解析】由题意可知，则QR x x是矩形且是菱形=x x是正方形=S 故选 D2 C【解析解析】从 2022 年年初到 2031 年年初经过了 9 年，所以 2031 年年初的物价为91.05 a 故选 C3 A【解 析】【解 析】因 为 直 线230axy和5(3)70 xaya平 行，所 以(3)100a a，解得2a 或 5，当2a 时，两直线分别为22

12、30 xy，5590 xy，两直线平行，当5a 时，两直线分别为5230 xy，5220 xy，两 直 线 平 行，所 以2a 或 5，所 以2a 是 直 线230axy和5(3)70 xaya平行的充分不必要条件故选 A4D【解析】【解析】248|cos(),55|caa bbbbb 故选 D5 A【解 析】【解 析】依 题 意，(0,1,2)AD，则 点 D 到 平 面的 距 离 为222|1 1 1 23|111n ADdn ，所以点 D 到平面的距离为3故选 A6A【解析解析】由直线 PA 的方程为10 xy，可知(1,0),(2,3)AP，|PAPB，点 P 在线段 AB 的垂直平分

13、线，即直线2x 上，(5,0),(2,3)BP，直线 PB 的斜率3125PBk，直线 PB 的方程为0(5)yx，即50 xy故选 A7C【解析解析】平面 ABC 与平面11ABC的夹角即为平面111A BC与平面11ABC的夹角取11AC的中点 O，连接1,OB OB，由已知推导得，因为112 2,2 2BABC，所以11BABC，又1111B ABC，所以11111,OBAC OBAC，所以1BOB（或其补角）为平面 ABC 与平面11ABC的 夹 角，又112AC，所 以17,3OBOB，因 为12BB，所 以121cos7BOB，故选 C8B【解析解析】因为(2,2,2),(1,0,

14、2)ABAC，所以6AC AB ，A 正确；,AC AB 夹角的余弦值为6155|2 35AC ABACAB ，所以 B 错误；因为(3,2,4)AD，所以ADABAC，所以 A，B，C，D 共面，所以 C 正确；因为(1,0,0)OA ，所以1|3OA ABAB ，所以点 O 到直线 AB 的距离是22116|1333OA ，D正确故选 B二、选择题二、选择题9BD【解析解析】因为11,2,(2,0,4)2na，所以0n a，所以l或l故选 BD10ABD【解析】【解析】选项 A：因为 A，B 不同时为 0，所以220AB，故正确；选项 B：若0C，当0 xy时，000AB，所以直线 l 过

15、原点，故正确；选项 C、D：若0A B且0A C则0,0ACBA，所以直线经过第一二四象限，不经过第三象限，故 C 错误，D 正确故选 ABD11 AD【解析解析】选项 A：在长方体1111ABCDABC D中，因为1BCBB，所以11BCBC，因为11AB 平面11BCC B，所以111ABBC，因为1111ABBCB，所以1BC 平面11ABCD，故正确；选项 B：因为1,CDBC CDBC，所以平面11ABCD与平面 ABCD的夹角为1BCB（或其补角），因为145BCB，且tan451，故不正确；选项 C：设11BCBCO，连接 OD，因为1BC 平面11ABCD，所以 BD 与平面1

16、1ABCD所成角为BDO，所以2102sin105OBBDODB，故不正确；选项 D：经过计算得三角形1BC D的 面 积 为13 232222，设1D到 平 面1BC D的 距 离 为 d，因 为1111DBDCB DC DVV，所以1311 213232d，所以23d，故正确故选 AD12BD【解析】【解析】因为3log1a，所以3a，因为31b，所以0b，作出函数3log,3,xyx yyx的图象，如图所示，由题意可知直线(1)yc c与函数3log,3,xyx yyx的图象的交点分别为 a，b，c，由图可知0bca，因为3a，所以2bbcaa，因为2()f xaxbxc的对称轴为2bx

17、a，所以()f x在,2ba上单调递增，所以()()()f bf cf a，故选 BD三、填空题三、填空题130【解析】【解析】因为两直线(1)10axy 与(1)10 xay 为同一条直线，所以111111aa，所以0a 1412【解析】【解析】取出的 6 组数分别为 1，3；1，5；1，7；3，5；3，7；5，7，其中有 3 组1，3；1，5；1，7 满足abab，所以abab的概率为31621521【解析解析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDABC D 的棱长为 1，点 P 在正方体的对角线BD上，且60PDC，D

18、PD B (01)，则(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ACD，(1,1,0),(,1)BP，(,1)DP ，(0,1,0)DC，2221cos,cos602|1(1)DC DPDC DPDCDP ，由01，解得21故答案为21164,15【解析】【解析】解法一：因为BDCE，所以以 BD、CE 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系Oxy，设(0,),(,0),(0,0)Cc B bbc，因为 D 为 AC 中点，E 为 AB 中点，(,)Abc，,02bD，0,2cE，(,2),(2,)ACbcABb c，则2222222222222cos44441bbccAbcbcbb

19、cc，令2 22btc，因为ACAB，所以bc，所以24t，所以11142t，221cos919 193(23)91222ttAtttttt ，因为29()912f uuu 的对称轴方程为14u，所以11251()2416ff uf，所以cos A的取值范围为4,15故答案为4,15解法二：由已知，11(),()22CECACB BDBABC ，又因为BDCE，所以0BD CE ，即()()0BABCCACB ，则20BC CABCBA CABA CB ，则2cos()coscos()0abCacbAacB，22coscoscoscosacbAabCacBcbAa，所以22cosaAcb，又由

20、余弦定理得222cos2bcaAbc，所以2225bca，所以252abc，即225abc，因为bc，所以225abc，从而4cos5A，又因为0A，所以cos1A，所以4cos,15A故答案为4,15四、解答题四、解答题17 解：（1）设,DDD xy，由题可知，以 BA，BC 为邻边的平行四边形 ABCD 满足ABDC，所以4(2,4)2,15DDDDxxyy，所以(4,5)D（4 分）（2）要使2ABEACESS，点 E 在线段 BC 上，则2BEEC ，（6 分）设(,)E x y，则112(2)21,22(1)33xxxEyyy，（8 分）又直线 l 过(1,4)A，故直线 l 的方

21、程为：1x（10 分）18解：（1）由正弦定理和2 sincos2 cossin3aBCcABb得，4 sinsincos4 sincossin2 3 sinRABCRCABRB，（2 分）因为sin0B，所以3sincossincos2ACCA，（4 分）所以3sin()2AC，即3sin2B，因为(0,)B，所以3B 或23（6 分）（2）因为三角形 ABC 为锐角三角形，所以3B，（7 分）由余弦定理得，2222cosbacacB，（8 分）因为2,1ca b，所以2221422cos3aaaa，所以32 3,33ac，（9 分）所以三角形 ABC 的面积为1132 333sin2233

22、26acB（12 分）19解：（1）由表格可得，甲车间生产出来的一件产品为优秀的频数为 26，故频率为260.26100，甲车间生产出来的一件产品为优秀的概率为 0.26，（3分）乙车间生产出来的一件产品为优秀的频数为 27，故频率为270.27100，乙车间生产出来的一件产品为优秀的概率为 0.27（6 分）（2）设 A，B 分别表示甲车间的一件产品为良好和优秀，C，D 分别表示乙车间的一件产品为良好和优秀，从甲乙两个车间各抽取一件产品，一件为优秀且另外一件为良好为事件 E，则EADBC，且 A 与 D 相互独立，B 与 C 相互独立，（9 分）所以()()()()()()()()P EP

23、ADBCP ADP BCP A P DP B P C0.70 0.270.26 0.700.371（12 分）20解：（1）在直三棱柱111ABCABC中，1AA 平面 ABC，因为CD平面 ABC，所以1AACD，因为ABC是等边三角形，D 是 AB 的中点，所以ABCD，因为1AAABA，所以CD 平面11AAB B，又因为CD平面 CDE，所以平面CDE 平面11AAB B（4 分）（2）取11AB中点 F，连接1C FDF、，记1DFABG，则 G 是 DF 中点，连接 GE，则平面1CDFC 平面1ABEGE，因为CD平面1ABE，CD平面1CDFC，所以CDGE，因为 G 是 DF

24、 中点，所以 E 是1CC中点（5分）以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,0,0),(3,1,0),(0,2,2),(0,0,4)ABEA，所以111(0,0,4),(3,1,4),(0,2,2)AAABAE，（7 分）设 平 面1ABE的 一 个 法 向 量 为(,)nx y z，则110,0n ABn AE，所 以340220 xyzyz，即3xzyz，令1z，得(3,1,1)n，（9 分）因为1AA 平面 ABC，所以平面 ABC 的一个法向量为1(0,0,4)AA，（10 分）所以平面1ABE与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为112222221|30 1 0 1

25、 4|45coscos,54 5|(3)11004n AAn AAnAA （12 分）21解：在ABC中，因为62,3,cos3ABBCABC，所以2262cos232 613ACABBCAB BCABC，所以222ABACBC，所以ABAC（2 分）又PA 平面 ABC，故 AB，AC，AP 两两垂直，所以以点 A 为坐标原点，直线 AB，AC，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，12 10,0,(2,0,0),(0,1,0),0222PBCD，所以12 110,0,(0,1,0),0,2,0,2222APACADBP ，2,0,()2tCQtBPtt R 所以2,1,()2tAQA

26、CCQtt R（4分）（1）当CQBP 时，1t，此时12,1,2AQ，设平面 PAD 的法向量为0(,),0n APnx y zn AD，所以10,221022zxy，不妨取(1,2,0)n ，（6 分）设 AQ 与面 PAD 所成角为，所以|2 2|4 78sincos39|1332n AQn AQnAQ ，即直线 AQ 与平面 PAD 所成角的正弦值为4 7839（8 分）（2）设直线 AQ 与直线 PB 所成的角为，229|3|4cos|3949422tBP AQtBPAQtt ，（9 分）当0t 时，cos0；当0t 时，223|3cos(0,1)4949ttt，（11 分）综上，c

27、os0,1)（12 分）22解：（1）11,1(),()11,01xxf xf xxx在(0,1)上为减函数，在(1,)上为增函数，由0ab且()()f af b，可 得01ab 且1111ab ，故112ab（2 分）（2）不存在满足条件的实数 a、b若存在满足条件的实数 a、b，则0ab当,(0,1)a b时，1()1f xx在(0,1)上为减函数，故()()f abf ba，即1111baab ，解得512ab，故此时不存在符合条件的实数 a、b（3 分）当,1,)a b时，1()1f xx 在1,)上是增函数故()()f aaf bb，即1111aabb，此时，a、b 是方程210 x

28、x 的根此方程无实根，故此时不存在符合条件的实数 a、b（4 分）当(0,1),1,)ab时，由于1 ,a b，而(1)0,fa b，故此时不存在符合条件的实数 a、b（5 分）综上可知，不存在符合条件的实数 a、b（6 分）（3）若存在实数()ab ab、，使得函数()yf x的定义域为,a b时，值域为,ma mb，且0,0am当,(0,1)a b时，由于()f x在(0,1)上是减函数，故1111mbamab 此时得11abmabab，得ab与条件矛盾，所以 a、b 不存在（8 分）当(0,1),1,)ab时，易知 0 在值域内，值域不可能是,ma mb，所以 a、b 不存在（9 分）故只有,1,)a b()f x在1,)上是增函数，()()f amaf bmb，即1111maambb，a、b 是方210mxx 的两个根即关于 x 的方程210mxx 有两个大于 1 的实根0，即1140,4mm，（10 分）121211,xxx xmm，1212110110 xxxx，120m，104m（12 分）