2023届高考数学专项复习小题狂练双曲线性质专题含答案.pdf

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1、小题狂练-双曲线性质专题小题狂练-双曲线性质专题1.双曲线C:x2a2-y2b2=1过点(2,3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A.x2-y23=1B.x23-y2=1C.x2-3y23=1D.3x23-y2=12.已知双曲线E:x24-y2m=1的一条渐近线方程为3x+2y=0，则下列说法正确的是()A.E的焦点到渐近线的距离为2B.m=6C.E的实轴长为6D.E的离心率为1323.设F1，F2分别为双曲线C:x24-y25=1的左、右焦点，点P在C上，满足PF2x轴，点P关于原点O的对称点为Q，则四边形F1PF2Q的面积为()A.10B.12C.15D.304.过双曲线C:x2

2、a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，设切点为 A，直线FA交直线bx-ay=0于点B若BA=2AF，则双曲线C的渐近线方程为()A.y=xB.y=2xC.y=2xD.y=3x5.(多选)已知曲线C:mx2+ny2=1()A.若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n0，则C是圆，其半径为nC.若mn0，则C是两条直线6.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于D,E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.327.设双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)左

3、、右焦点分别为 F1，F2，离心率为5 P 是 C 上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为4，则a=()A.1B.2C.4D.88.双曲线 C：x24-y22=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若 PO=PF，则PFO的面积为()A.3 24B.3 22C.2 2D.3 29.已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点，F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N若OMN为直角三角形,则 MN=()学科网(北京)股份有限公司2023届高考数学专项复习届高考数学专项复习A.32B.3C.2 3D.410.双曲线x2a2-y216=1 a0的

4、一条渐近线方程为y=43x，F1，F2分别为该双曲线的左右焦点，M为双曲线上的一点，则 MF2+16MF1的最小值为()A.2B.4C.8D.1211.(多选)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为32，且其右顶点为A 2,0，左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是()A.双曲线C的方程为x24-y25=1B.点A到双曲线C的渐近线的距离为2 53C.若 PF1=6，则 PF2=2D.若PF1 PA=0，则PF1A的外接圆半径为5212.设 P 为双曲线 C:x22-y2=1 上的一个动点，点 P 到 C 的两条渐近线的距离分别为 d1和 d2，则

5、 3d1+d2的最小值为学科网(北京)股份有限公司小题狂练小题狂练-双曲线性质专题双曲线性质专题1.双曲线C:x2a2-y2b2=1过点(2,3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A.x2-y23=1B.x23-y2=1C.x2-3y23=1D.3x23-y2=1【答案】A【解析】e=ca=2，则c=2a，b=c2-a2=3a，则双曲线的方程为x2a2-y23a2=1，将点(2,3)的坐标代入双曲线的方程可解得a=1，故b=3，双曲线的方程为x2-y23=1.2.已知双曲线E:x24-y2m=1的一条渐近线方程为3x+2y=0，则下列说法正确的是()A.E的焦点到渐近线的距离为2B.m

6、=6C.E的实轴长为6D.E的离心率为132【答案】D【解析】依题意可得32=m2，得m=9，故B不正确；b=m=3,a=2,c=a2+b2=13,所以E的焦点到渐近线的距离为3 1332+22=3，故A不正确；因为a=2，所以E的实轴长为2a=4，故C不正确；E的离心率为ca=a2+b2a2=1+ba2=1+322=132，故D正确.3.设F1，F2分别为双曲线C:x24-y25=1的左、右焦点，点P在C上，满足PF2x轴，点P关于原点O的对称点为Q，则四边形F1PF2Q的面积为()A.10B.12C.15D.30【答案】C【解析】设P(x,y)在第一象限，则y0，F1，F2分别为双曲线C:

7、x24-y25=1的左、右焦点，a2=4，b2=5，c2=a2+b2=9，F1(-3,0)，F2(3,0)，PF2x轴，x=3，代入双曲线C:x24-y25=1，得y=52，即P 3,52，点P关于原点O的对称点为Q，Q-3,-52，QF1x轴，四边形F1PF2Q的面积为212|F1F2|y=212652=154.过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，设切点为 A，直线FA交直线bx-ay=0于点B若BA=2AF，则双曲线C的渐近线方程为()A.y=xB.y=2xC.y=2xD.y=3x【答案】B【解析】直线FA交直线bx-ay=0于点B，FA与

8、x2+y2=a2切于点A，OAFA，OA=a，OF=c，a2+b2=c2，学科网(北京)股份有限公司FA=b，在RtFAO中，sinOFA=ac,tanOFA=ab，直线FA:y=ab(x+c)，y=ab(x+c)bx-ay=0,y=ab(x+c)y=bax，xB=a2cb2-a2，在RtFAO中，根据等面积得到yA=abc，BA=2AF，则yB=3yA，yB=3abc，yB=abcb2-a2，3abc=abcb2-a2，3c=cb2-a2c2=3b2-3a2，a2+b2=3b2-3a2，c2=3b2-3a2，a2+b2=3b2-3a2，4a2=2b2，2a=2b(a0,b0)，渐近线方程为：

9、y=2x5.(多选)已知曲线C:mx2+ny2=1()A.若mn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m=n0，则C是圆，其半径为nC.若mn0，则C是两条直线【答案】ACD【解析】：对于A，若mn0，则mx2+ny2=1可化为x21m+y21n=1，因为mn0，所以1m0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n，此时曲线C表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B不正确；对于C，若mn0，则mx2+ny2=1可化为y2=1n，y=nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD6.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于D,E

10、两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32【答案】B【解析】：C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)双曲线的渐近线方程是y=bax直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限学科网(北京)股份有限公司联立x=ay=bax，解得x=ay=b 故D(a,b)联立x=ay=-bax，解得x=ay=-b 故E(a,-b)|ED|=2bODE面积为：SODE=12a2b=ab=8双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)其焦距为2c=2 a2+b22 2ab=8 当且仅当a=b=2 2

11、 取等号C的焦距的最小值87.设双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为5 P 是 C 上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为4，则a=()A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】：ca=5，c=5a，根据双曲线的定义可得 PF1-PF2=2a，SPF1F2=12|PF1|PF2=4，即|PF1|PF2=8，F1PF2P，|PF1|2+PF22=2c2，PF1-PF22+2 PF1 PF2=4c2，即a2-5a2+4=0，解得a=1，8.双曲线 C：x24-y22=1 的右焦点为 F，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若 P

12、O=PF，则PFO的面积为()A.3 24B.3 22C.2 2D.3 2【答案】A【解析】由a=2,b=2,c=a2+b2=6,PO=PF,xP=62，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在y=bax上，则yP=32SPFO=12OF yP=126 32=3 24，故选A9.已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点，F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N若OMN为直角三角形,则 MN=()A.32B.3C.2 3D.4【答案】B【解析】：双曲线C:x23-y2=1的渐近线方程为：y=33x，渐近线的夹角为：60，不妨设过F 2,0的直线为：y=3 x-2，则y=3 x-

13、2y=33x 解得 M32,32;y=3 x-2y=-33x 解得：N 3,-3，则 MN=3-322+3+322=3，故选B学科网(北京)股份有限公司10.双曲线x2a2-y216=1 a0的一条渐近线方程为y=43x，F1，F2分别为该双曲线的左右焦点，M为双曲线上的一点，则 MF2+16MF1的最小值为()A.2B.4C.8D.12【答案】B【解析】若求 MF2+16MF1最小值，则 MF2要尽可能小，MF1要尽可能大所以 M 在双曲线的右支上 渐近线 y=bax=43xba=43又b=4a=3，双曲线方程为：x29-y216=1c2=25F1-5,0,F25,0由双曲线定义，当M在双曲

14、线的右支上，MF2-MF1=2a=6 MF2=MF1-6 MF2+16MF1=MF1+16MF1-62MF116MF1-6=24-6=2当且仅当 MF1=16MF1，即 MF1=4时取等号因为右支上的顶点 3,0到F15,0最小，最小为8所以 MF1+16MF1-6取不到等号，当 MF1=8时，取最小值最小值为：4.11.(多选)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1 a0,b0的离心率为32，且其右顶点为A 2,0，左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是()A.双曲线C的方程为x24-y25=1B.点A到双曲线C的渐近线的距离为2 53C.若 PF1=6，则 PF2=

15、2D.若PF1 PA=0，则PF1A的外接圆半径为52【答案】ABD【解析】由离心率为32，右顶点为A 2,0可得a=2,c=3，b=5，故双曲线C的方程为x24-y25=1，A正确；双曲线的渐近线为y=52x，故点A到双曲线C的渐近线的距离为 554+1=2 53，B正确；由双曲线的定义 PF1-PF2=2a，PF1=6，则 PF2=2或10，C错误；PF1 PA=0，则PF1 PA，PF1A的外接圆半径为F1A2=52，D正确.故选：ABD.12.设 P 为双曲线 C:x22-y2=1 上的一个动点，点 P 到 C 的两条渐近线的距离分别为 d1和 d2，则 3d1+d2的最小值为【答案】2 2【解析】双曲线的渐近线方程是 x2y=0，设 P(x,y)是双曲线上任一点，不妨设 d1=|x-2y|3，d2=|x+2y|3，3d1+d2=3|x-2y|+|x+2y|3，学科网(北京)股份有限公司 P(x,y)在双曲线上，x22-y2=1，即(x+2y)(x-2y)=2，所以 3d1+d2=3|x-2y|+|x+2y|32 3|(x-2y)(x+2y)|3=2 2，当且仅当 3|x-2y|=|x+2y|，即 x=2 63 y=33 或 x=-2 63 y=-33 时等号成立，3d1+d2 的最小值为 2 2。故答案为：2 2。学科网(北京)股份有限公司