任意角的三角函数公开课教案.docx

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1、任意角三角函数（第一课时） 教学目标1掌握任意角正弦、余弦、正切函数定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角余切、正割、余割函数定义. 2经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义推广过程，体验三角函数概念产生、发展过程. 领悟直角坐标系工具功能，丰富数形结合经验. 3培养学生通过现象看本质唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化辩证唯物主义世界观. 4培养学生求真务实、实事求是科学态度. 一、 重点、难点、关键重点：任意角正弦、余弦、正切函数定义、定义域、（正负）符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量函数. 关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值确定性（ 确定，比值

2、也随之确定）及依赖性（比值随着变化而变化）. 二、 教学过程执教线索：回想再认：函数概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）问题情境：能推广到任意角吗？它山之石：建立直角坐标系（为何？）优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数探索发展：对任意角研究六个比值（及角之间关系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）自主定义：任意角三角函数定义登高望远：三角函数要素分析（对应法则、定义域、值域及正负符号判定）例题及练习回顾小结布置作业 （一）复习引入、回想再认开门见山，面对全体学生提问： 在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？探索

3、任意角三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下：（情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义？让学生回想后再点名回答，投影显示规范定义，教师根据回答情况进行修正、强调：传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x及y，如果对于x每一个值，y都有唯一确定值和它对应，那么就说y是x函数，x叫做自变量，自变量x取值范围叫做函数定义域.现代定义：设A、B是非空数集，如果按某个确定对应关系f，使对于集合A中任意一个数，在集合B中都有唯一确定数 f（x）和它对应，那么就称映射：AB为从集合A到集合B一个函数，记作： f（x），xA ，其中x叫自变量,自变量x取值范围A叫做函数定义域. （情景2）我们在初中

4、通过锐角三角形边角关系，学习了锐角正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定？对边邻边=，=，=（图1） 引伸铺垫、创设情景（情景3）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参及讨论或巡回对学困生作启发引导. 能推广吗？怎样推广？针对刚才问题点名让学生回答. 用角对边、临边、斜边比值说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角三角函数. 教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景

5、：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！把锐角安装（如何安装？角顶点及原点重合，角始边及x轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角终边上任取一点P，作x轴于M，构造一个，则 （锐角），设P（）（x0、y0），临边 、对边，斜边长.根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：xOMP()y， （图2） （情景4）各个比值及角之间有怎样关系？比值是角函数吗？追问：锐角大小发生变化时，比值会改变吗？先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：保持r不变，让P绕原点O旋转即在锐角范围内变化，六个比值 随之变化直观形象。结

6、论是：比值随变化而变化. xOMPy（图3）PM引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现： 对于锐角每一个确定值，六个比值都是确定，不会随P在终边上移动而变化. 得出结论(强调)：当为锐角时，六个比值随变化而变化；但对于锐角每一个确定值，六个比值都是确定，不会随P在终边上移动而变化. 所以，六个比值分别是以角为自变量、以比值为函数值函数. （三）分析归纳、自主定义（情境5）能将锐角比值情形推广到任意角吗?水到渠成，师生共同进行探索和推广：对于一个任意角，它终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：终边分别在四个象限情形： 终边分别在四个半轴上情形：P()yxOyxP()O角

7、终边P()yxOP()yxO（图4）P()yxOP()yxOP()yxOP()yxO（图5）；（指出：不画出角方向，表明角具有任意性）怎样刻画任意角三角函数呢？研究它六个比值：（板书）设是一个任意角，在终边上除原点外任意取一点P（x，y），P及原点O之间距离记作r（0），列出六个比值： +/2时，0，比值 、 无意义；= k时，0，比值x 、r 无意义.追问：大小发生变化时，比值会改变吗？先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使r保持不变，P绕原点O逆时针、顺时针旋转即角变化，六个比值随之改变直观形象。结论是：各比值随变化而变化. 再引导学生利用相似三角形知识

8、，探索发现： 对于任意角每一个确定值，六个比值都是确定，不会随P在终边上移动而变化. 综上得到（强调）：当角变化时，六个比值随之变化；对于确定角， 六个比值（如果存在话）都不会随P在角终边上改变而改变，六个比值是确定(对应多值性即诱导公式一留到下节课分析). 因此，六个比值分别是以角为自变量、以比值为函数值函数.根据历史上规定，对比值进行命名，指出英文记法和读法，记作（承前作复合板书）：（正弦） （余弦） （正切） （余割） （正弦） （余切） 教师强调：表示及乘积吗？不是，是函数记号，是一个整体,相当于函数记号f（x）. 其它几个三角函数也如此投影显示图六，指导学生分析其对应关系，进一步体会

9、其函数内涵：yr正弦xr余弦yx正切ry余割rx正割xy余切 （图六） 指导学生识记六个比值及函数名称. 教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们定义就够了（遵循大纲要求）. 引导学生进一步分析理解：已知角集合及实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个确定实数，把它看成一个弧度数，就对应着唯一一个角，从而分别对应着六个唯一三角函数值. 因此，（板书）三角函数可以看成是以实数为自变量函数，这将为以后应用带来很多方便. （四） 探索定义域（

10、情景6）（1）函数概念三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域. 正弦函数对应法则是什么？正弦函数对应法则，实质上就是定义：对每一个确定值，有唯一确定比值及之对应，即 .(2)布置任务情景：什么是三角函数定义域？请求出六个三角函数定义域，填写下表：三角函数定义域引导学生自主探索：如果没有特别说明，那么使解析式有意义自变量取值范围叫做函数定义域，三角函数定义域自然是指：使比值有意义角取值范围. 关于、，对于任意角（弧度数），r0，、恒有意义，定义域都是实数集R. 对于，= k+/2 时0，无意义，定义域是：|R，且k+/2 . 教师指出: 、定义域必须紧扣三角函数定义在理解基础上记熟，、

11、定义域不要求记忆. （关于值域，到后面再学习）.（五）符号判断、形象识记（情景7）能判断三角函数值正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r0,三角函数值符号决定于x、y值正负，根据终边所在位置总结出形象识记口诀：yxyxyx（同好得正、异号得负）= ：上正下负横为0 ：左负右正纵为0 ：交叉正负 练习巩固、理解记忆1、 自学 例1：已知角终边经过点P（2，-3），求六个三角函数值. 要求：读完题目，思考：计算什么?需要准备什么?闭目心算，对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义. 课堂练习：p19题1：已知角终边经过点P（-3，-1），求六个三角函数值. 要求心算，并提问中下学生检

12、验， 点评：角终边上有无穷多个点，根据三角函数定义，只要知道终边上任意一个点坐标，就可以计算这个角三角函数值（或判断其无意义）. 补充例题：已知角终边经过点P（x，-3），=4/5，求其它五个三角函数值. 师生探索：已知3，要求其它五个三角函数值，须知？，？.根据定义得=（方程思想）， x0，解得4，从而 .解答略.2、 自学 例2：求下列各角六个三角函数值：(1) 0；(2)/2 ；(3) 3/2.提问，据反馈信息作点评、修正. 师生探索：紧扣三角函数定义求解，首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。取特殊点能使计算更简

13、明。课堂练习：p19题2.（改编）填表：角（角度）090180270360角（弧度）处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义. 强调：终边在坐标轴上角叫轴线角，如0、/2 、3/2 等，今后经常用到轴线角三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值. （六） 回顾小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：1你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角？或者说任意角三角函数具体是怎样定义？（建立直角坐标系，使角顶点及坐标原点重合，在终边上任意取定一点P，）2你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数定义域？（根据定义，）3你如何记忆正弦、余弦、正切函数值符号？（根据定义，想象坐标位置， ） （七）布置课外作业1书面作业：习题4.3第3、4、5题.2认真阅读p22“阅读材料：三角函数及欧拉”，了解欧拉生平和贡献， 11 / 11