2022年对数函数知识点练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载对数练习例 211（1）运算：log 27 ,log3 4 5625解：设xlog 27就ax327,32x3 3, x3；52令 xlog3 4 5625 ,4 5x625, 54x5 4, x3（2）求 x 的值：log3x3；log2x 213x22x4解：x3341；4273x22x12x21x22x0x0,x22x210但必需：2x211,x0舍去 ,从而x232 x2x10（3）求底数：log 33,35log 2758解：x35353335x3；x. x72287, x2887例：求以下各式中x 的值：12 3

2、lg100=x 4 思路点拨： 将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出解：1；2；310x=100=10 2,于是 x=2；4由. 求值：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：. 学习必备欢迎下载总结升华： 对数恒等式 中要留意格式：它们是同底的；指数中含有对数形式；其值为真数 .举一反三：【变式 1】求 的值a,b,cR+,且不等于 1,N0 思路点拨： 将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂,再进行运算 . 解：例 3运算：（1）lg14 21g7lg7lg18；（2）lg243；（3）lg274lg83lg

3、10lg93lg1 . 2解：（1）解法一：lg142lg7lg7lg18lg3223lg27lg3lg 72lg 7lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20 ；解法二：lg142lg7lg7lg183lg14lg72lg 7lg183=lg147lg10 ；72183（2）lg243lg5 35lg35；lg9lg2 32lg3232 第 2 页,共 40 页（3）lg27lg83lg10=3 lg3 13 lg 23lg1013lg3 2lg32lg 2 13222lg 21lg1 . 2lg2 3 2102例 4运算：（1）1 log 50.23；（2）log 3 log

4、2 4 9log2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）原式 = 5323535学习必备2欢迎下载315；log 50.21 5 log 313（2） 原式 = 1log1 2log5log215224442例 5已知log189a ,18 b5,求log3645 （用 a, b 表示）6 lg15 解：log189a ,log 18181log182a,2log1821a ,又 18b5,log185b ,log3645log1845log189log185ablog18361log1822a例 6设3x4y6zt1,求证：111

5、zx2y证明：3x4y6zt1,xlgt,ylgt,zlgt,lg3lg4lg611lg6lg3lg2lg41zxlgtlgtlgt2lgt2y例 7如log 3p,log 5q ,求 lg 5 解：log 3p,log 233plg33plg23p1lg5 ,又log 35lg5q,lg3lg5qlg33pq1lg5 ,13pqlg53pqlg513pq3pq例：已知 lg2=a,lg3=b,用 a、b 表示以下各式 . 1 lg9 2 lg64 3 lg6 4 lg12 5 lg5 解：1原式=lg32=2lg3=2b 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 40 页精选学

6、习资料 - - - - - - - - - 2原式=lg26=6lg2=6a 学习必备欢迎下载3原式=lg2+lg3=a+b （4）原式 =lg2 2+lg3=2a+b 5原式=1-lg2=1-a 6原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a 求值1lg50+lg5222lg23lg25+lg2 lg50+lg2解：12原式=lg21+lg5+lg52=lg2+lg2lg5+lg5 2=lg2+lg5lg2+lg5=lg2+lg5=1 3原式=2lg5+lg21+lg5+lg22 =2lg5+lg2+lg2lg5+lg22=1+lg5+lg2lg5+lg2=1+lg5+lg2=2.

7、41已知 logxy=a, 用 a 表示；2已知 logax=m, logbx=n, logcx=p, 求 logabcx. 解：1原式=；2思路点拨： 将条件和结论中的底化为同底方法一： a m=x, b n=x, c p=x . ；,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方法二：学习必备欢迎下载. 求值： 1；2；3. 解：12；3法一：法二：. 总结升华： 运用换底公式时,理论上换成以大于 详细到每一个题, 一般以题中某个对数的底为标准,也可. 求值：解：0 不为 1 任意数为底均可,但 或都换成以 10 为底的

8、常用对数另解：设=m m0. , lg2=lgm, 2=m,即已知： log23=a, log37=b,求： log4256=. 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：,学习必备欢迎下载已知 3a=5b=c,求 c 的值. 解：由 3 a=c 得：同理可得. 设 a、b、c 为正数,且满意 a2+b2=c2.求证：. 证明：. 已知： a2+b2=7ab,a0,b0. 求证：. 2=lg9ab,证明： a2+b2=7ab, a 2+2ab+b 2=9ab,即 a+b2=9ab, lga+b a0,b0, 2lga+

9、b=lg9+lga+lgb 2lga+b-lg3=lga+lgb 即 . 例 2比较以下各组数中两个值的大小：名师归纳总结 （1）log 3.4,log 8.5 ；（2）log0.31.8 ,log0.32.7 ；（3） log 5.1,log 5.9. 第 6 页,共 40 页解：（1）对数函数ylog2x 在 0,上是增函数,于是log 3.4log 8.5 ；（2）对数函数ylog0.3x 在 0, 上是减函数,于是log0.31.8log0.32.7 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）当a1时,对数函数y学习必备欢迎下载log ax 在

10、 0,上是增函数,于是 log 5.1log 5.9,ylogax在 0, 上是减函数,当oa1 时,对数函数于是 log 5.1log 5.9例 3比较以下比较以下各组数中两个值的大小：（1）log 7 ,log 6 ；（2）log3,log 0.8；第 7 页,共 40 页（3）0.9 1.1,log1.10.9,log0.70.8 ；（4）log 3 ,log 3 ,log 3 解：（1）log 7log 61,log 6log 71,log 7log 6 ；（2）log3log 10 ,log 0.8log 10 ,log3log 0.8 （3）0.9 1.10 1.11,log1.1

11、0.9log1.110,0log0.71log0.70.8log0.70.71,0.9 1.1log0.70.8log1.10.9 （4）0log 5log 6log 7 ,log 3log 3log 3 例 4已知 logm4logn ,比较 m, n的大小；解：logm4logn4,1m1n,log4log4当m1,n1时,得01m1n,log4log4log4nlog4m, mn1当 0m1, 0n1时,得1m1n0,log4log4log4nlog4m, 0nm1当 0m1,n1时,得log4m0,0log n , 0m1,n1, 0m1n 综上所述, m, n的大小关系为mn1或 0

12、nm1或 0m1n 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 5求以下函数的值域：（1）ylog x3；（2）ylog 3x2；（3）ylog x24x7（a0且a1）解：（1）令tx3,就ylog2t ,t0, yR,即函数值域为R（2）令t3x ,就 0t3,ylog 3, 即函数值域为,log23（3）令tx24x7x2233,当a1时,yloga3, 即值域为 loga3,当 0a1时,ylog 3, 即值域为 ,loga3例：函数 y=f2x的定义域为 -1,1,求 y=flog 2x的定义域 . 思路点拨 ：由

13、-1x1,可得 y=fx 的定义域为 ,2,再由log2x2 得 y=flog 2x的定义域为 ,4. 例 6判定函数f x log x21x 的奇偶性；解：x21x 恒成立,故f x 的定义域为 , ,fx log x21x log2x211xlog2xx21x2212xlog22 x1xf x ,所以,f x 为奇函数；例 7求函数y2log x23x2的单调区间；3解：令ux2x23x2x321在3 2,上递增,在,3 2上递减,1u为减函数,24又3x20,1,x2或x故u2又y2logx3x2在 2, 上递增,在 ,1上递减,3名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共

14、40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,函数y2log x23x2在 2,学习必备欢迎下载,1上递减； 上递增,在 3例 8如函数ylog x2axa 在区间 ,13 上是增函数, a的取值范畴；第 9 页,共 40 页解：令ug x x2axa ,函数ylog2u 为减函数,ug x x2axa 在区间 ,13 上递减,且满意u0,a13,解得 22 3a2,2g130所以, a 的取值范畴为 22 3, 2 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 10 页,共 40 页- - - -

15、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 11 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 12 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1.如点a,b在 ylg x 图象上, a 1,就以下点也在此图象上的是名师归纳总结 A.1 a,b 第 13 页,共 40 页B.10a,1b - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载C.10 a,b

16、1 D.a 2,2b 已知函数 fxlog2x,x0,如 fa1 2,就 a 的值为 _2x,x0,名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1lg5lg8lg1000lg23学习必备欢迎下载2lg1 6lg0.06；2化简： log34 27 3log5的值；3已知： lgxlgy2lg2x3y,求名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如将本例 3中条件变为： lgx3ylgxylg2lgxlgy,求x y的值1ab如 60

17、a3,60b5.求 1221b的值 . 解： a=log 603,blog 605,1b1log605log6012,1ab1log 603log605log604,名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11abblog604log124,学习必备欢迎下载log6012名师归纳总结 121ab121log12 12log12 2. 第 17 页,共 40 页2 1b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解析】如图,由 fafb,得|lga|lgb|. 设 0

18、a2 ab2. 已知 fxlogaxa0 且 a 1,假如对于任意的 a 的取值范畴【解】fxlogax,就 y|fx|的图象如图：由图示,要使 x1 3,2时恒有 |fx|1,只需|f1 3|1,即 1loga 1 31,即 logaa1loga 1 3logaa,x1 3,2都有|fx|1 成立,试求名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载亦当 a1 时,得 a11 3a,即 a3；当 0a1 时,得 a11 3a,得 01 时, 1loga1 3logaxloga21,a3. 1 当 0a1 时

19、, 1loga2logaxloga 31,01,在区间 , 1上是减函数,gxx2axa 在区间 , 1上也是单调减函数,且gx0. 1a,即a2,1aa0g 1 0a2a 1 2 xm 恒成立,求实数 m 的取值范畴【解】1fxfx,1ax第 21 页,共 40 页1ax1xx1x1,1ax名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1axx1x1,学习必备欢迎下载1ax即1ax1ax x1x1,a1. 2令 uxx1,就 ux1x12x1设 x1x21,ux1ux2222 x2x10,x11x21x11 x21即 ux1ux2, ux在1, 上

20、单调递减,fxx1 在1, 上为增函数x1第 22 页,共 40 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 23 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 24 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 25 页,共 40 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 1已知过原点 O 的一条

21、直线与函数y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. 1证明：点 C、D 和原点 O 在同一条直线上；2当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标 . 命题意图：此题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础学问,考查同学的分析才能和运算才能 . 学问依靠： 1证明三点共线的方法： kOC=kOD. 2第2问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程1,即可求得A 点坐标. 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题 . 技巧与方法：此题第一问运用斜率相等去证明三点共线；其次问运用方程思想去求

22、得点 A 的坐标 . 1证明：设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知： x11,x21, 就 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2. 名师归纳总结 由于 A、B 在过点 O 的直线上,所以log8x 1log8x2, 第 26 页,共 40 页x 1x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点 C、D 坐标分别为 x1,log2x1,x2,log2x2, 由于 log2x1=log 8x =log 8 23log8x 1,log2x2log8x 23log8x2, log82所以 OC 的斜率： k1=log2x

23、13log8x 1, x2x 1OD 的斜率： k2=log2x23log8x 2,x2x2由此可知： k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上 . 2解：由 BC 平行于 x 轴知： log2x1=log8x2即：log2x1=1 log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2 33=3x1.又 x11,x1=3 , 得：x1 3log8x1=3x1log8x1,由于 x11 知 log8x1 0,x1就点 A 的坐标为 3 ,log83 . 例：设函数 fx=logax3aa0 且 a 1,当点 Px,y是函数 y=fx图象上的点时,点 Qx2a,y是函数 y=gx图象上的点 .

24、 1写出函数 y=gx的解析式；2如当 xa+2,a+3时,恒有 |fxgx|1,试确定 a 的取值范畴 . 解：1设点 Q 的坐标为 x,y,就 x=x2a,y=y.即 x=x+2a,y=y. 点 Px,y在函数 y=logax3a的图象上, y =logax+2a3a, 即 y=logax 2 1a ,gx=loga x 1a . 2由题意得 x3a=a+23a=2a+20; x1a=a1a0,又 a0 且 a 1,0a1, 2|fxgx|1, 3|fxgx|=|logax3alogax1a|=|logax24ax+3a1logax 24ax+3a21,0a1,a+22a. 名师归纳总结

25、- - - - - - -第 27 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载fx=x 24ax+3a2 在a+2,a+3上为减函数, x=log ax 24ax+3a 2在a+2,a+3上为减函数,从而 xmax= a+2=loga44a, x min= a+3=loga96a, 于是所求问题转化为求不等式组0a14 , 5loga96a1的解 . 由 loga96a1 解得 0aloga44 a1957,由 loga44a1 解得 0a12所求 a 的取值范畴是 0a91257. 例：已知函数 fx=logaxa0 且 a 1,x0,+,如 x1,

26、x20,+, 判定1 fx1+fx2与 f 2x 12x2的大小,并加以证明 . 解： fx1+fx2=logax1+logax2=logax1x2, x1,x20,+,x1x2 x 12 x 2 2当且仅当 x1=x2 时取“=” 号,当 a1 时,有 logax1x2loga x 1 x 2 2, 21 logax1x2loga 2 x 12 x 2 ,1 log ax1+logax2loga 2 x 12 x 2 , 即 1 fx1+fx2f 2 x 12 x 2 当且仅当 x1=x2 时取“=” 号 当 0a1 时,有 logax1x2loga x 1 x 2 2, 21 logax1

27、+logax2loga x 1 x 2 , 2 2即 1 fx1+fx2f x 1 x 2 当且仅当 x1=x2时取“=” 号） . 2 2例：已知函数 x,y 满意 x1,y1.loga 求 logaxy的取值范畴 . 2x+loga 2y=logaax 2+logaay 2a0 且 a 1, 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 40 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：由已知等式得： loga2x+loga 2y=1+2log ax+1+2logay, 即logax1 2+logay1 2=4,令 u=logax,v=logay,

28、k=logaxy, 就u1 2+v1 2=4uv0,k=u+v. 在直角坐标系 uOv 内,圆弧u12+v1 2=4uv0与平行直线系 v=u+k 有公共点,分两类争论 . 1当 u0,v0 时,即 a1 时,结合判别式法与代点法得 1+ 3 k21+ 2 ; 2当 u0,v0,即 0a1 时,同理得到 212 k13 .x 综上,当 a1 时,logaxy 的最大值为 2+2 2 ,最小值为 1+ 3 ；当 0a1 时,logaxy 的最大值为 13 ,最小值为 22 2 . 例：设不等式 2log 1 x 2+9log 1 x+90 的解集为 M,2 2求当 xM 时函数 fx=log 2

29、x log 2 2x 的最大、最小值 . 821. 第 29 页,共 40 页解： 2log x2+9log x+90 222log x+3log x+30. 223log x 2 2 3 . 即log11 32log xlog 1 2322221 23x1 23,22 x8 2即 M= x|x22 ,8 又 fx=log2x1log 2x3=log2 2x4log2x+3=log2x2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22 x8,3 log2x3 2学习必备欢迎下载当 log2x=2,即 x=4 时 ymin=1;当 log2x=3,即 x=8 时,ymax=0. 已知函数 f x=log ax a0, a 1 ,假如对于任意 x 3,+）都有 | f x| 1 成立,试求 a 的取值范畴 .解 当 a1 时,对于任意 x3,+）,都有 f x0. 所以, |f x|=f x,而 f x=logax 在3,+）