2022年--_余数问题.题库教师版.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5-6 余数问题教学目标余数问题是数论学问板块中另一个内容丰富,题目难度较大的学问体系,也是各大杯赛小升初考试必考的奥数学问点,所以学好本讲对于同学来说特别重要；很多孩子都接触过余数的有关问题,并有不少孩子说“ 遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理（加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理）,及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用；学问点拨一、带余除法的定义及性质一般地,假如 a 是整数, b 是整数（ b 0） ,如有 a b=q r,也就是 ab q r, 0rb ；我

2、们称上面的除法算式为一个带余除法算式；这里：1 当 r 0 时：我们称 a 可以被 b 整除, q 称为 a 除以 b 的商或完全商2 当 r 0 时：我们称 a 不行以被 b 整除, q 称为 a 除以 b 的商或不完全商一个完善的带余除法讲解模型 : 如图这是一堆书, 共有 a 本,这个 a 就可以懂得为被除数,现在要求依据b 本一捆打包, 那么 b 就是除数的角色,经过打包后共打包了c 捆,那么这个c 就是商,最终仍剩余d 本,这个 d 就是余数； 第 1 页,共 30 页 5-6. 余数问题 . 题库老师版page 1 of 30细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

3、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -这个图能够让同学清楚的明白带余除法算式中 二、三大余数定理：1. 余数的加法定理4 个量的关系；并且可以看出余数肯定要比除数小；a 与 b 的和除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数之和,或这个和除以 c 的余数；例如： 23 ,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 23+16=39 除以 5 的余数等于 4,即两个余数的和 3+1. 当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数；例如： 23 ,19

4、 除以 5 的余数分别是 3 和 4,所以 23+19=42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数,即 2. 2. 余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数,等于 a,b 分别除以 c 的余数的积,或者这个积除以 c 所得的余数；例如： 23 ,16 除以 5 的余数分别是 3 和 1,所以 23 16 除以 5 的余数等于 3 1=3 ；当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数；例如： 23 ,19 除以 5 的余数分别是 3 和 4,所以 23 19 除以 5 的余数等于 3 4 除以 5 的余数,即2. 3. 同余定理如两个整数 a、b 被自然

5、数 m 除有相同的余数, 那么称 a、b 对于模 m 同余,用式子表示为： ab mod m ,左边的式子叫做同余式；同余式读作： a 同余于 b,模 m ；由同余的性质,我们可以得到一个特别重要的推论：如两个数 a, b 除以同一个数 m 得到的余数相同,就 a, b 的差肯定能被 m 整除用式子表示为：假如有 ab mod m ,那么肯定有 ab mk,k 是整数,即 m|a b 三、弃九法原理在公元前9 世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本花拉子米算术,他们在运算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于可怕以前的运算结果丢失而常常检验加法运算是否正确,他们的检验5-6. 余数问题

6、. 题库老师版page 2 of 30 第 2 页,共 30 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -方式是这样进行的：例如：检验算式1234 189818922678967 178902 8899231234 除以 9 的余数为 1 1898 除以 9 的余数为 8 18922 除以 9 的余数为 4 678967 除以 9 的余数为 7 178902 除以 9 的余数为 0 这些余数的和除以 9 的余数为 2 而等式右

7、边和除以 9 的余数为 3,那么上面这个算式肯定是错的；上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即假如这个等式是正确的,那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数肯定与等式右边和除以 9 的余数相同；而我们在求一个自然数除以 9 所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行运算,只要运算这个自然数的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了, 在算的时候往往就是一个 9 一个 9 的找并且划去, 所以这种方法被称作“ 弃九法”；所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9 同余于它的各数位上数字之和；以后我们求一个整数被9 除的余数, 只要先运算这个整数各数位上数字之和,再求这

8、个和被9 除的余数即可；利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用留意：弃九法只能知道原题肯定是错的或有可能正确,但不能保证肯定正确；例如：检验算式9+9=9时,等式两边的除以9 的余数都是0,但是明显算式是错误的但是反过来,假如一个算式肯定是正确的,那么它的等式往可以帮忙我们解决一些较复杂的算式迷问题；四、中国剩余定理2 两端肯定满意弃九法的规律；这个思想往5-6. 余数问题 . 题库老师版page 3 of 30 第 3 页,共 30 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

9、- - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1. 中国古代趣题中国数学名著孙子算经里有这样的问题：“ 今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？” 答曰：“ 二十三；”此类问题我们可以称为“ 物不知其数” 类型,又被称为“ 韩信点兵”；韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每 3 人一列余 1 人、 5 人一列余 2 人、 7 人一列余 4 人、 13 人一列余 6 人 ；刘邦茫然而不知其数；我们先考虑以下的问题：假设兵不满一万,每5 人一列、 9 人一列、

10、13 人一列、 17 人一列都剩3 人,就兵有多少？第一我们先求 5 、9 、13 、17 之最小公倍数 9945 （注：由于 5、9、13 、17 为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积）,然后再加 3,得 9948 （人）；孙子算经的作者及的确著作岁月均不行考,不过依据考证,著作岁月不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发觉得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理；中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席特别重要的位置；2. 核心思想和方法对于这一类问题, 我们有一套看似繁琐但是一旦把握便可一通百

11、通的方法,下面我们就以 孙子算经中的问题为例,分析此方法 : 今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何？题目中我们可以知道,一个自然数分别除以 3 ,5 ,7 后,得到三个余数分别为 2,3, 2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以 3 余 1,并且仍是 5 和 7 的公倍数；先由 5 7 35,即 5 和 7 的最小公倍数动身,先看 35 除以 3 余 2,不符合要求,那么就连续看 5 和7 的“ 下一个” 倍数 35 2 70是否可以,很明显 70 除以 3 余 1 类似的,我们再构造一个除以 5 余 1,同时又是 3 和 7 的公倍数的数字,明显

12、 21 可以符合要求；最终再构造除以 7 余 1,同时又是 3,5 公倍数的数字,45 符合要求,那么所求的自然数可以这样计算：5-6. 余数问题 . 题库老师版page 4 of 30 第 4 页,共 30 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -270321245k3,5,7233k3,5,7,其中 k 是从 1 开头的自然数；也就是说满意上述关系的数有无穷多,假如依据实际情形对数的范畴加以限制,那么我们就能找到所求的

13、数；例如对上面的问题加上限制条件“ 满意上面条件最小的自然数”,那么我们可以运算 2 70 3 21 2 45 2 3,5,7 23 得到所求假如加上限制条件“ 满意上面条件最小的三位自然数”, 我们只要对最小的 23 加上 3,5,7 即可,即 23+105=128；例题精讲模块一、带余除法的定义和性质【例 1 】 第五届学校数学报竞赛决赛 用某自然数a 去除 1992 ,得到商是46,余数是 r ,求 a 和 r 【解析】由于 1992是 a的 46倍仍多 r ,得到 19924643.14,得1992464314,所以a43,r14【巩固】 1013除以一个两位数,余数是12求出符合条件

14、的全部的两位数【解析】 1013 12 1001, 1001 7 11 13,那么符合条件的全部的两位数有 11,13,77,91 ,由于“ 余数小于除数”,所以舍去 11,答案只有 13,77,91 ；【巩固】清华附中小升初分班考试 甲、乙两数的和是 1088 ,甲数除以乙数商 11余 32,求甲、乙两数【解析】法 1 由于 甲 乙 11 32 ,所以 甲 乙 乙 11 32 乙 乙 12 32 1088 ；就乙 1088 32 12 88 ,甲 1088 乙 1000法 2 将余数先去掉变成整除性问题,利用倍数关系来做：从1088 中减掉 32以后, 1056 就应当是乙数的 11 1 倍

15、,所以得到乙数 1056 12 88,甲数 1088 88 1000 【巩固】一个两位数除 310,余数是 37,求这样的两位数；【解析】此题为余数问题的基础题型,需要同学明白一个重要学问点,就是把余数问题- 即“ 不整除问题”转化为整除问题；方法为用被除数减去余数,即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“ 除数与余数的差”,也可以得到一个除数的倍数；此题中 310-37=273,说明 273 是所求余数的倍数,而 273=3 7 13 ,所求的两位数约数仍要满意比 37 大,符合条件的有 39 ,91. 【例 1 】 2003年全国学校数学奥林匹克试题 有两个自然数相除,商是 17,余

16、数是 13,已知被除数、除数、商与余数之和为 2113,就被除数是多少？【解析】被除数 除数 商 余数 被除数 除数 +17+13=2113,所以被除数 除数 =2083 ,由于被除5-6. 余数问题 . 题库 老师版 page 5 of 30细心整理归纳 精选学习资料 第 5 页,共 30 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -数是除数的 17 倍仍多 13 ,就由“ 和倍问题” 可得：除数 = （2083-13） （17+1 ）=115 ,所以

17、被除数 =2083-115=1968【巩固】2002 年全国学校数学奥林匹克试题 两数相除,商 4 余 8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415,就被除数是 _【解析】由于被除数减去8 后是除数的4 倍,所以依据和倍问题可知, 除数为（415488）（41）79,所以,被除数为7948324；933,求【巩固】用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是这 2 个自然数各是多少？【解析】此题为带余除法定义式的基此题型；依据题意设两个自然数分别为 x,y ,可以得到x 40 y 16 x 856,解方程组得,即这两个自然数分别是 856 ,21. x

18、y 40 16 933 y 21【例 2 】 2000 年“ 祖冲之杯” 学校数学邀请赛试题 三个不同的自然数的和为 2001,它们分别除以19,23,31 所得的商相同,所得的余数也相同,这三个数是 _,_,_；【解析】设所得的商为 a ,除数为 b 19 a b 23 a b 31 a b 2001, 73 a 3 b 2001,由 b 19,可求得 a 27,b 10所以,这三个数分别是 19 a b 523, 23 a b 631, 31 a b 847；【巩固】2004 年福州市“ 迎春杯” 学校数学竞赛试题 一个自然数,除以 11 时所得到的商和余数是相等的,除以 9 时所得到的商

19、是余数的 3 倍,这个自然数是 _. 【解析】设这个自然数除以 11 余 a 0 a 11,除以 9 余 b 0 b 9,就有 11 a a 9 3 b b ,即 3 a 7 b ,只有 a 7,b 3,所以这个自然数为 12 7 84 ；【例 3 】 1997 年我爱数学少年数学夏令营试题 有 48 本书分给两组小伴侣,已知其次组比第一组多 5人假如把书全部分给第一组,那么每人 4 本,有剩余；每人 5 本,书不够假如把书全分给其次组,那么每人 3 本,有剩余；每人 4 本,书不够问：其次组有多少人 .【解析】由 48 4 12 , 48 5 9.6知,一组是 10 或 11 人同理可知 4

20、8 3 16, 48 4 12 知,二组是13 、14 或 15 人,由于二组比一组多 5 人,所以二组只能是 15 人,一组 10 人【巩固】一个两位数除以 13 的商是 6,除以 11 所得的余数是 6,求这个两位数【解析】由于一个两位数除以13 的商是 6,所以这个两位数肯定大于13 678 ,并且小于 136191；又由于这个两位数除以11 余 6,而 78 除以 11 余 1,这个两位数为78583 第 6 页,共 30 页 5-6. 余数问题 . 题库老师版page 6 of 30细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

21、 - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -模块二、三大余数定理的应用【例 4 】 有一个大于1 的整数,除45,59,101 所得的余数相同,求这个数. 【解析】 这个题没有告知我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,依据同余定理,我们可以得到：这个数肯定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数1014556 , 594514, 56,1414 , 14 的约数有 1,2,7,14 ,所以这个数可能为 2,7,14 ；【巩固】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个

22、数 .3 要小【解析】 法 139336, 1473144 , 36,14412,12 的约数是 1,2,3,4,6,12 ,由于余数为于除数,这个数是4,6,12 ；法 2 由于所得的余数相同,得到这个数肯定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数51 39 12 ,147 39 108 , 12,108 12 ,所以这个数是 4,6,12 【巩固】有一个自然数,除 345 和 543 所得的余数相同,且商相差 33求这个数是多少？【解析】 由于这个数除 345 和 543 的余数相同,那么它可能整除 543-345 ,并且得到的商为 33 所以所求的数为 543 34

23、5 33 6 【巩固】 2001 年全国学校数学奥林匹克试题 如 2836,4582,5164,6522 四个自然数都被同一个自然数相除,所得余数相同且为两位数,除数和余数的和为 _【解析】 设除数为 A 由于 2836 ,4582,5164,6522 除以 A 的余数相同,所以他们两两之差必能被 A 整除又由于余数是两位数,所以 A 至少是两位数5164 4582 582 , 6522 5164 1358,因为 582,1358 194 ,所以 A 是 194 的大于 10 的约数 194 的大于 10 的约数只有 97 和 194 如果 A 194, 2386 194 14 L 120,余

24、数不是两位数,与题意不符假如 A 97,经检验,余数都是 23 ,除数 余数 97 23 120 【巩固】已知 2022 被一些自然数去除,所得的余数都是10,那么这样的自然数共有多少个？【解析】 此题为一道余数与约数个数运算公式的小综合性题目；由题意所求的自然数肯定是 2022-10 即1998 的约数,同时仍要满意大于 10 这个条件；这样题目就转化为 1998 有多少个大于 10 的约5-6. 余数问题 . 题库 老师版 page 7 of 30细心整理归纳 精选学习资料 第 7 页,共 30 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

25、 - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -数,199823 337 ,共有（ 1+1 ） （3+1 ） （1+1 ）=16 个约数,其中1,2,3,6,9 是比 10 小的约数,所以符合题目条件的自然数共有11 个；. 余数可以为0 【巩固】在小于 1000 的自然数中,分别除以18 及 33 所得余数相同的数有多少个【解析】 我们知道 18 ,33 的最小公倍数为18 ,33=198,所以每 198 个数一次1 198 之间只有 1,2,3, , 17 ,198 余 O 这 18 个数除以 18 及 33 所得的余数相同,而 999 198=

26、5 9,所以共有 5 18+9=99 个这样的数【巩固】 2022 年仁华考题 一个三位数除以 17 和 19 都有余数,并且除以 17 后所得的商与余数的和等于它除以 19 后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少？【解析】 设 这 个 三 位 数 为 s , 它 除 以 17 和 19 的 商 分 别 为 a 和 b , 余 数 分 别 为 m 和 n , 就s 17 a m 19 b n 依据题意可知 a m b n,所以 s a m s b n ,即 16 a 18 b ,得 8 a 9 b 所以 a 是 9的倍数, b 是 8 的倍数此时,由 a m b n

27、 知 n m a b a 8 a 1 a 9 9由于 s为三位数,最小为 100 ,最大为 999 ,所以 100 17 a m 999,而 1 m 16,所以 17 a 1 17 a m 999,100 17 a m 17 a 16,得到 5 a 58,而 a 是 9 的倍数,所以 a最小为 9,最大为 54 当a54时,nm1a6,而n18,所以m12,故此时 s 最大为 175412930 ；9当a9时,nm1a1,由于m1,所以此时s最小为 17 91154 9所以这样的三位数中最大的是930 ,最小的是154 【例 5 】 两位自然数ab 与 ba 除以 7 都余 1,并且 ab ,

28、求 abba 【解析】 abba 能被 7 整除,即 10 ab（10ba9（ab）能被 7 整除所以只能有ab7,那么 ab可能为 92 和 81 ,验算可得当ab92时,ba29 满意题目要求,abba922926685-6. 余数问题 . 题库老师版page 8 of 30细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【巩固】学校新买来118 个乒乓球, 67 个乒乓球拍和33 个乒乓球网, 假如将这

29、三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以118,67,33 余数相同的数那么可知该数应当为1186751和 673334的公约数,所求答案为17 【巩固】 2000 年全国学校数学奥林匹克试题 是_ 在除 13511,13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数【解析】 由于 13903 13511 392 , 14589 13903 686,由于 13511 ,13903 ,14589 要被同一个数除时,余数相同,那么,它们两两之差必能被同一个数整除392,686 98 ,所以所求的最大整数是98. 【例 6 】 2003

30、 年南京市少年数学智力冬令营试题22003与2 2003 的和除以 7 的余数是 _ 2 3 4 5 6【解析】 找规律用 7 除 2,2 ,2 ,2 ,2 ,2 , 的余数分别是 2,4 ,1,2,4,1,2,4,1, ,2的个数是 3 的倍数时,用 7 除的余数为 1；2 的个数是 3 的倍数多 1 时,用 7 除的余数为 2 ；22003 3 667 2 2003的个数是 3 的倍数多 2 时,用 7 除的余数为 4由于 2 2,所以 2 除以 7 余 4 又两2个数的积除以 7 的余数,与两个数分别除以 7 所得余数的积相同 而 2003 除以 7 余 1,所以 20032003 2除

31、以 7 余 1故 2 与 2003 的和除以 7 的余数是 4 1 5【巩固】 2004 年南京市少年数学智力冬令营试题 在 1995,1998,2000,2001, 2003 中,如其中几个数的和被 9 除余 7,就将这几个数归为一组这样的数组共有 _组【解析】 1 995 ,1998 ,2000 ,2001 ,2003 除以 9 的余数依次是6 ,0 ,2 ,3 ,5由于 2 5 2 5 0 7,2 5 3 6 0 2 5 3 6 7 9,所以这样的数组共有下面 4 个：2000,2003, 1998,2000,2003,2000,2003,2001,1995, 1998,2000,200

32、3,2001,1995【例 7 】 2005 年全国学校数学奥林匹克试题 有一个整数,用它去除 70,110,160 所得到的 3 个余数之和是 50,那么这个整数是 _【解析】 70 110 160 50 290 ,50 3 16.2,除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数, 只可能5-6. 余数问题 . 题库 老师版 page 9 of 30细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 30 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -是

33、 29 和 58 ,110581.52,5250,所以除数不是58 70292.12,110293.23,160295.15, 1223 1550,所以除数是29【巩固】 2002 年全国学校数学奥林匹克试题 25,那么 n=_ 用自然数 n 去除 63,91, 129 得到的三个余数之和为【解析】n 能整除 6391 12925258由于2538.1,所以 n 是 258 大于 8 的约数明显, n 不能大于 63 符合条件的只有43 、【巩固】号码分别为 101,126,173,193 的 4 个运动员进行乒乓球竞赛的和被 3 除所得的余数 . 那么打球盘数最多的运动员打了多少盘, 规定每

34、两人竞赛的盘数是他们号码 . 【解析】 此题可以表达出加法余数定理的巧用；运算 101 , 126 ,173 ,193 除以 3 的余数分别为 2,0,2 ,1 ；那么任意两名运动员的竞赛盘数只需要用 2,0 ,2,1 两两相加除以 3 即可；明显 126运动员打 5 盘是最多的；【例 8 】 2002 年学校生数学报数学邀请赛试题 六名学校生分别带着14 元、 17 元、 18 元、 21 元、26 元、 37 元钱,一起到新华书店购买成语大词典一看定价才发觉有 5 个人带的钱不够,但是其中甲、 乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本,丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本这种成语大

35、词典的定价是 _元【解析】 六名学校生共带钱 133 元133 除以 3 余 1,由于甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买 3 本,所以他们五人带的钱数是 3 的倍数,另一人带的钱除以 3 余 1易知,这个钱数只能是 37 元,所以每本成语大词典的定价是 14 17 18 21 26 3 32 元 【巩固】 2000 年全国学校数学奥林匹克试题 商店里有六箱货物,分别重 15,16,18,19,20,31 千克,两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍,那么商店剩下的一箱货物重量是 _ 千克【解析】 两 个顾客买的货物重量是 3的倍数 15 16 18 19 20 31

36、 1 2 119 3 39.2 ,剩下的一箱货物重量除以 3 应当余 2,只能是 20 千克【巩固】 1997 年全国学校数学奥林匹克试题 六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数,甲取 3 张,乙取 2 张,丙取 1 张,结果发觉甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另个人的2 倍,就丙手中卡片上的数是_ 第五届小数报数学竞赛初赛 第 10 页,共 30 页 5-6. 余数问题 . 题库老师版page 10 of 30细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总

37、结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【解析】 依据“ 甲、乙二人各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的片上的数之和应是 3 的倍数运算这六个数的总和是1193 1258 1842 1866 1912 2494 10565,2 倍” 可知,甲、乙手中五张卡10565 除以 3 余 2；由于甲、乙二人手中五张卡片上的数之和是 3 的倍数,那么丙手中的卡片上的数除以 3 余 2 六个数中只有 1193 除以 3 余 2,故丙手中卡片上的数为 1193 【例 9 】 求 2461 135 6047 11的余数【解析】 由于 2461 11 223.8, 135

38、 11 12.3, 6047 11 549.8,依据同余定理 三,2461 135 6047 11的余数等于 8 3 8 11的余数,而 8 3 8 192,192 11 17.5,所以 2461 135 6047 11的余数为 5【巩固】 华罗庚金杯赛模拟试题 求 478 296 351除以 17 的余数【解析】先求出乘积再求余数,运算量较大可先分别运算出各因数除以 17 的余数,再求余数之积除以 17 的余数 478,296,351 除以 17 的余数分别为 2,7 和 11 , 2 7 11 17 9.1 1997【巩固】 求 3 的最终两位数1997 3 9【解析】 即考虑 3 除以

39、100 的余数由于 100 4 25,由于 3 27 除以 25 余 2,所以 3 除以 25 余 8,10 20 2 20 203 除以 25 余 24 ,那么 3 除以 25 余 1；又由于 3 除以 4 余 1,就 3 除以 4 余 1；即 3 1能20 20被 4 和 25 整除,而 4 与 25 互质,所以 3 1能被 100 整除,即 3 除以 100 余 1 ,由于1997 17 61997 20 99 17,所以 3 除以 100 的余数即等于 3 除以 100 的余数,而 3 729 除以 1005 17 6 2 5 17余 29 ,3 243 除以 100 余 43 ,3

40、3 3 ,所以 3 除以 100 的余数等于 29 29 43除以1997 1997100 的余数,而 29 29 43 36163除以 100 余 63 ,所以 3 除以 100 余 63 ,即 3 的最终两位数为 63 【巩固】求12 644319 的余数【解析】 此题为余数乘法定理的拓展模式,即数字的乘方与一个数相除的余数情形；由6443 19 余 2, 第 11 页,共 30 页 - - - - - - - - - 5-6. 余数问题 . 题库老师版page 11 of 30细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -求原式的余数只要求12 219 的余数即可； 但是假如用2 19 发觉会进入一个死循环,由于这时被【巩固】除数比除数小了,所以可以进行适当的调整,21226266464 ,49 19 的余数；64 19 余数为 7 ,那么求21219 的