2022年《数学归纳法及其应用举例》教案.docx

《2022年《数学归纳法及其应用举例》教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《数学归纳法及其应用举例》教案.docx（8页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载数学归纳法及其应用举例教案中卫市第一中学 俞清华教学目标：1认知目标：明白数学归纳法的原理,把握用数学归纳法证题的方法；2才能目标：培育同学懂得分析、归纳推理和独立实践的才能；3情感目标：激发同学的求知欲,增强同学的学习热忱,培育同学辩证唯物主义的世界观 和勇于探究的科学精神；教学重点：明白数学归纳法的原理及把握用数学归纳法证题的方法；教学难点：数学归纳法原理的明白及递推思想在解题中的表达；教学过程：一创设情境,回忆引入 师：本节课我们学习数学归纳法及其应用举例（板书）；第一给大家讲一个故事

2、：从前有 一个员外的儿子学写字,当老师教他写数字的时候,告知他一、二、三的写法时,员外儿子很高 兴,告知老师他会写数字了；过了不久,员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客,员外儿子自告 奋勇地要写请帖；结果早晨开头写,始终到了晚间也没有写完,请问同学们,这是为什么呢？生：由于有姓“ 万” 的；师：对！有姓“ 万” 的；员外儿子万万也没有想到“ 万” 不是一万横,而是这么写的“ 万”通过这个故事,你对员外儿子有何评判呢？生：（同学的评判主要会有两种,一是员外儿子愚蠢,二是员外儿子仍是聪慧的；）师：其实员外儿子观看、归纳、猜想的才能仍是很不错的,但遗憾的是他猜错了！在数学 上,我们很多时候是通过观看归

3、纳猜想,这种思维过程去发觉某些结论,它是一种制造性的 思维过程；那么,我们在以前的学习过程中,有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？生：有；例如等差数列通项公式的推导；a4师：很好；我们是由等差数列前几项满意的规律：a 1a10d,a2a 1d,a3a12 d,a 13d, 归纳出了它的通项公式的；其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法；那么你能说说什么是归纳法,归纳法有什么特点吗？生：由特别事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳法；特点：特别一般；师：对；（投影展现有关定义）像这种由特别事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳法；依据推理过程中考

4、察的 对象是涉及事物的一部分仍是全部,分为不完全归纳法和完全归纳法；完全归纳法是一种在讨论了事物的全部（有限种）特别情形后得出一般结论的推理方法,又 叫做枚举法；那么,用完全归纳法得出的结论牢靠吗？生：（齐答）牢靠；师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是牢靠的呢？为什么？生：不行靠；这是由于只考察了部分情形,结论不肯定具有普遍性；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -师：是不行靠的； 不妨再举一例an

5、学习必备n欢迎下载3n1000简单验证a10,a20,n12na30, ,a 10000,假如由此作出结论对于任何nN*,ann1n2n3n10000都成立,那就是错误的；事实上,a10011000 .0；二设置问题,引导探究 师：请问同学们你们玩过多米诺骨牌吗？生：（没）玩过； （课堂气氛由刚才的深思变得开头活跃）师：无论玩没玩过,下面我们一起来玩一下；（投影仪上进行生动、形象的骨牌演示）在观 看骨牌玩法时,请摸索：满意什么条件,骨牌可以全部倒下？生：假设第kkN*张骨牌倒下,保证第k1张骨牌倒下；师：这样就保证了可以递推下去,骨牌就可以全部倒下了,是吗？生：不是；我们不知道第 k 张骨牌是

6、否倒下了,从而我们是假设第 k 张骨牌倒下；如第 k 张 骨牌倒下,需要第 k 1 张骨牌倒下；如第 k 1 张骨牌倒下,需要第 k 2 张骨牌倒下, ,最 1 张骨牌倒下,所以,仍要有一个条件：第一张骨牌倒下；后递归到需要第 师：大家说有了这两个条件,骨牌是不是可以顺次的倒下呢？生：是；师：上面同学说得很好,要使骨牌全部倒下应满意两个条件（投影显示）第一个条件是：第一张骨牌倒下；其次个条件是：假设第k 张骨牌倒下,第k1张骨牌肯定倒下；现在你能不能利用这种思想（递推思想）来证明等差数列通项公式呢？是不是应当建立一种 递推次序呢？n生：n1时结论正确n2时结论正确n3时,结论正确,nk时结论正

7、确k1时结论正确师：由于这个过程推理方法是一样的,能否把这个过程一般化呢？生：假设nk时结论正确nk1时结论也正确；师：这样就保证了递推；下面你能证明等差数列通项公式了吗？三解决问题,引出概念（同学共答,老师板书）证明：（1）当n1时,左边a ,右边a 10da1,等式是成立的；nk1时等（2）假设当nk时等式成立,就是aka1k1 d,下面看看是否能推出式也成立,那么ak1等于什么？生：ak1a 1k1 1d；师：哦！看来nk1时等式也成立,这样做对吗？生：（齐答）不对；师：留意在证nkk1时,肯定要用到归纳假设,nk时等式成立这一步,由于这样才能保 证 递 推 , 那 么a1与ak有 什

8、么 关 系 呢 ？ （ 学 生 齐 答 , 教 师 继 续 板 书 ）ak1akda 1k1 dda 1k1 1d；这就是说,当nk1时,等式也成立,细心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载大家说有了这两步,是不是就证明白等差数列通项公式的正确性了呢？生：n1时等式成立n2时等式成立n3时等式成立 所以 n 取任何正整数等式都成立；师：这种证明方法叫做数学归纳法,那么你能谈谈什么是数学

9、归纳法,及其用数学归纳法证 题的步骤是怎样的呢？生：（在同学沟通,老师引导完善下）数学归纳法（证明一个与正整数有关的命题的步骤）是：（投影跟踪给出） ；（1）证明当 n取第一个值 n （例如 0 n 0 1 或 2 等）时结论正确；（2）假设当 n k（k N *,且 k n 0）时结论正确,证明当 n k 1 时结论也正确；依据（ 1）和（ 2）,可知命题对从 n 开头的全部正整数 n都正确；所以数学归纳法是证明一个与正整数有关的命题的一种方法；概括起来就是“ 两个步骤,一个结论；”师：用数学归纳法证题,实质是一种什么思想？生：递推思想；师：在递推中,两个步骤各起到了怎样的作用呢？生：第一步

10、是奠基,是递推的基础,其次步是保证能够递推,是递推的依据；（此时投影上 注明）师：这两步可以缺少哪一步吗？生：（同学举例说明,老师点评,投影上也举出实例,从而明确）两步缺一不行；师：我们已经知道,由不完全归纳法得到的结论不行靠,因而必需作证明；如命题是与正整 数有关的,证明可考虑用数学归纳法；下面请同学们看一道例题；例 1：用数学归纳法证明：1352n1n2（师生共同证题,总结出用数学归纳法证题的技巧是“ 一凑假设,二凑结论”；）练习：用数学归纳法证明：1123n1nn1；ana1qn1；2212222n12n1；3首项是a ,公比是 q 的等比数列的通项公式是四归纳小结,深化主题 师：本节的

11、中心内容是什么？为什么要学习数学归纳法？什么是数学归纳法？表达什么思 想？生：（同学积极回答,从而自主地构建本节课的学问网络；）（投影展现）小结：1归纳法不完全归纳法特点：特别一般完全归纳法2数学归纳法概念及证题步骤；3数学归纳法实质是递推思想；细心整理归纳 精选学习资料 五布置作业：P76 1,2 第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载数学归纳法及其应用举例教案说明一、数学归纳法的位置与作用1数学归纳法在教材

12、中的位置与作用数学归纳法是证明与正整数有关命题的一种重要的证明方法,它起源于正整数的归纳公理或最小数原理,而演化成各种形式；数学归纳法及其应用举例是人教版高中数学新教材第三册其次章 “ 极限”中第一部分的学问；通过对数学归纳法的学习,可对中学数学中的很多重要结论,如等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式、二项式定理以及中学校很多思维上开拓创新的题目可以进行很好地证明,使很多数学结论更加严密,也为后继学习打下了良好的基础；2数学归纳法对思维进展的位置与作用 人类对问题的讨论,结论的发觉认同,思维流程通常是观看归纳猜想证明；猜想的结 论对不对,证明是尤为关键的；运用数学归纳法解题时,有助于同学对

13、等式的恒等变形,不等式 的放缩,数、式、形的构造与转化等学问加强训练与把握；对数学归纳法原理的懂得,包蕴着递 归与递推,归纳与推理,特别到一般,有限到无限等数学思想和方法,对思维的进展起到了完善 与推动的作用；二、数学归纳法的本质与教学目标定位 数学归纳法表达了递推的思想,数学归纳法的本质就是利用递推思想去证题的一种方法；一 堂出色的课不仅仅是传授给同学学问,更重要的是对同学才能的培育和情感的熏陶；依据本节课的特点及布鲁纳的教学目标,特设置一条明线： 如何验证等差数列通项公式的正确性；一条暗线：如何验证由不完全归纳法得到的与正整数有关命题的真假；将本节课的教学目标定为三重目标：认知目标：明白数

14、学归纳法的原理,把握用数学归纳法证题的方法与技巧；才能目标：培育 同学懂得分析、归纳推理和独立实践的才能；情感目标：激发同学的求知欲,增强同学的学习 热忱,培育同学辩证唯物主义的世界观和勇于探究的科学精神；三、学法、教法特点及预期成效 1学法指导 高中同学具有肯定的规律思维和推理演算才能,并且对事物的熟悉逐步的由感性上升到理 性,个体的进展由外显转化为内隐,这些都是我们学好本节的有利因素；但不足的是,同学考虑 问题的全面性及课堂气氛的活跃性仍不够好；为此,依据训练学家奥苏伯尔关于学科和认知结构 组织的假设及其“ 先行组织者” 技术与美国心理学家布鲁纳提倡的发觉法训练理论,在学法方面 我采纳“

15、导思点拨练” 的学习过程,让同学自主参加学问的发生、进展、形成过程；在这 个过程中对同学进行以下学法指导；（1）温故知新法 引导同学回忆等差数列通项公式的推导过程,从而引出归纳法的概念,其又分为完全归纳法 和不完全归纳法,如何验证等差数列通项公式的正确性呢？进而引出数学归纳法；（2）体验感悟法 让同学仔细观看多米诺骨牌试验,从而感悟数学归纳法原理；（3）质疑法 引导同学主动质疑,解决问题,得到方法；（4）练习法 通过类比,练习用数学归纳法证题,进一步体会数学归纳法原理；2教学特点 本节课在教法上贯彻如下两个原就：一是建构主义原就；同学是教学的主体,同学学习数学是一种再制造过程,他们通过吸取与融

16、合原学问的过程来建立懂得的层次结构；皮亚杰的认知结构学说：“ 全部的认知结构,结构再 第 4 页,共 5 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载构建,构成复杂的结构,不断进展；” 数学学问不能从一个人迁移到另一个人,一个人的数学知识必需基于个人对体会的归纳、沟通,通过反思来主动建构,这就是建构主义的数学学习观；为此教学设计是通过等差数列通项公式的证明及多米诺骨牌试验引导同学积极主动的进行建构；二是寓教于

17、乐原就；实践证明,同学在积极开心的情形下,学习效率会大幅提高；在宽松的情形下, 能够最大限度地激发其聪慧才智和制造性；结合本节课特点, 将学问性与趣味性相结合,以吸引同学喜爱数学,自觉地学习数学,以调动同学的“ 心理场”；比如,通过讲员外儿子学写 数字,引进了归纳法的概念,同时同学也体会到通过观看、归纳、猜想一些结论,是很好的一个 思维流程,但其结果不行靠；通过多米诺骨牌玩法的演示,诠释了递推思想；3预期成效 通过学法指导,教法特点实现三重目标；四、教学诊断与评判 1教学诊断证明数学归纳法的第一步是简单实现的,其次步是重点也是难点,在验证nk1命题的正确性时,极易脱离归纳假设,为此应重申递推思想,总结出证题技巧“ 一凑假设,二凑结论”；2教学评判 整个教学设计重点突出,层次分明,环环紧扣,温故知新；抓住学问的内在联系,老师到处 启示同学自己主动去猎取学问,使老师的主导作用和同学的主体作用得以充分发挥,表达了素养 训练的指导思想；生活事例贯穿整个教学过程,使数学学问人文化,使抽象的问题详细化,调动 了同学学习的积极性、主动性；使同学学有所得,学有所用,进一步激发了同学学习的爱好,培 养了同学科学的思维态度；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - -