2022年教师用书高中数学四种命题四种命题间的相互关系教案新人教a版选修.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.1.2 四种命题11.3 四种命题间的相互关系 老师用书独具 三维目标 1. 学问与技能 初步懂得原命题、 逆命题、 否命题、 逆否命题这四种命题的概念,把握四种命题的形式；初步懂得四种命题间的相互关系并能判定命题的真假2过程与方法 培育同学发觉问题、提出问题、 分析问题、有制造性地解决问题的才能；培育同学抽象 概括才能和思维才能3情感、态度与价值观激发同学学习数学的爱好和积极性,优化同学的思维品质,培育同学勤于摸索,勇于探索的创新意识,感受探究的乐趣 重点、难点 重点：四种命题之间相互的关系难点：正确区分命题的否定形式及否命题通过一个生活

2、中的场景引出规律在生活中必不行少的重要位置,从而引发同学学习四种 让同学把握四种 命题的爱好, 然后主要通过对概念的讲解和分析,并配以适量的课堂练习,命题的概念, 会写四种命题, 并把握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判定命题的真假；最终运用所学命题学问解决实际生活中的问题,问题,从而突破重难点让同学学会用理性的规律推理才能摸索 老师用书独具 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 教学建议这节内容是以概念的懂得和关系的思辨为主的,因此采纳以讲解和练习强化为主要方法,并在讲解过程中引导和启示同学的思维,让同学充分地摸

3、索和动手演练宜实行的教学方法： 1 启示式教学这能充分调动同学的主动性和积极性,有利于同学对学问进行主动建构,从而发觉数学规律；2 讲练结合法这样更能突出重点、解决难点,让同学的分析问题和解决问题的才能得到进一步的提高学习方法： 1 由特别到一般的化归方法：学习中同学在老师的引导下,通过详细的实例,让同学去观看、争论、探究、分析、发觉、归纳、概括；2 讲练结合法：让同学知道数学重生在运用,从而检验学问的应用情形,找出未把握的内容及其差距并准时加以补救通过本节的学习,明白命题的四种形式及其关系,利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题,渗透由特别到一般的化归数学思想 教学流程

4、创设问题情境,给出四个命题,引出问题：四个命题的条件与结论有何区分与联系？.引导同学观看、比较、分析,得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.通过引导同学回答所提问题,层层深化地得出四种命题真假的关系.通过例 1及其变式训练,使同学把握四种命题的概念及相互转化.通过例 2及其互动探究,使同学把握四种命题真假的判定方法.错误 . . 错误 . . 错误 . 对应同学用书第 4 页 1. 明白四种命题的概念,会写出某命题的逆命题、否命题和课标解读逆否命题 重点 2熟悉四种命题之间的关系以及真假性之间的关系 难点 3利用命题真假的等价性解决简洁问题 难点,易错点 四种命题的概念名师归纳总结 - -

5、- - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【问题导思】给出以下四个命题：1 对顶角相等；2 相等的两个角是对顶角；3 不是对顶角的两个角不相等；4 不相等的两个角不是对顶角；1你能说出命题 1 与2 的条件与结论有什么关系吗？【提示】它们的条件和结论恰好互换了2命题 1 与 3 的条件与结论有什么关系？命题 1 与4 呢？【提示】命题 1 的条件与结论恰好是命题 3 条件的否定和结论的否定命题 1 的条件和结论恰好是命题 4 结论的否定和条件的否定一般地,对于两个命题,假如一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件,那么把这两个命题叫做互

6、逆命题,假如是另一个命题条件的否定和结论的否定,那么把两个命题叫做互否命题假如是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题四种命题的关系【问题导思】1为了书写便利常把p 与 q 的否定分别记作“ 綈p” 和“ 綈 q” ,假如原命题是“ 如p,就 q” ,那么它的逆命题,否命题,逆否命题该如何表示？【提示】逆命题：如 q,就 p. 否命题：如綈 p,就綈 q. 逆否命题：如綈 q,就綈 p. 2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题

7、与其否命题呢？【提示】互逆、互否、互为逆否四种命题的相互关系四种命题的真假关系名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【问题导思】1学问 1 的“ 问题导思” 中四个命题的真假性是怎样的？【提示】1 真命题, 2 假命题, 3 假命题, 4 真命题2假如原命题是真命题,它的逆命题是真命题吗？它的逆否命题呢？【提示】原命题为真,其逆命题不肯定为真,但其逆否命题肯定为真1在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中, 肯定与原命题真假性相同的是逆否命题2两个命题互为逆命题或互为否命题时,它们的真假性没有关系 . 对应同学用书第 5

8、页 四种命题的概念把以下命题改写成“ 如p,就 q” 的形式, 并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题1 全等三角形的对应边相等；2 当 x2 时, x 2 3x2 0. 【思路探究】1 原命题的条件与结论分别是什么？2 把原命题的条件与结论作怎样的变化就能写出它的逆命题、否命题和逆否命题？【自主解答】1 原命题：如两个三角形全等,就这两个三角形三边对应相等逆命题：如两个三角形三边对应相等,就两个三角形全等否命题：如两个三角形不全等,就两个三角形三边对应不相等逆否命题：如两个三角形三边对应不相等,就这两个三角形不全等名师归纳总结 2 原命题：如x2,就 x23x 20,第 4 页,共 13 页逆

9、命题：如x 23x20,就 x 2,否命题：如x 2,就 x 23x2 0,逆否命题：如x 23x2 0,就 x 2.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1给出一个命题,写出该命题的其他三种命题时,第一考虑弄清所给命题的条件与结论,如给出的命题不是“ 如p,就 q” 的形式,应改写成“ 如p,就 q” 的形式2把原命题的结论作为条件,条件作为结论就得到逆命题；否定条件作为条件,否定 结论作为结论便得到否命题；否命题的逆命题就是原命题的逆否命题分别写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题1 负数的平方是正数；2 如 ab,就 ac 2bc 2. 【解】1 原

10、命题可以改写成：如一个数是负数,就它的平方是正数；逆命题：如一个数的平方是正数,就它是负数；否命题：如一个数不是负数,就它的平方不是正数；逆否命题：如一个数的平方不是正数,就它不是负数2 逆命题：如 ac 2bc 2,就 ab；ab,就 ac 2bc 2；否命题：如 逆否命题：如 ac 2bc 2,就 ab. 四种命题真假的判定写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题,然后判定真假1 菱形的对角线相互垂直；2 等高的两个三角形是全等三角形；3 弦的垂直平分线平分弦所对的弧【思路探究】确定条件与结论 写出三种命题 判定真假【自主解答】1 逆命题：如一个四边形的对角线相互垂直,就它是菱形, 是假命题

11、否命题：如一个四边形不是菱形,就它的对角线不相互垂直,是假命题逆否命题：如一个四边形的对角线不相互垂直,就这个四边形不是菱形,是真命题2 逆命题：如两个三角形全等,就这两个三角形等高,是真命题否命题：如两个三角形不等高,就这两个三角形不全等,是真命题逆否命题：如两个三角形不全等,就这两个三角形不等高,是假命题3 逆命题：如一条直线平分弦所对的弧,就这条直线是弦的垂直平分线,是假命题否命题：如一条直线不是弦的垂直平分线,就这条直线不平分弦所对的弧,是假命题名师归纳总结 逆否命题： 如一条直线不平分弦所对的弧,就这条直线不是弦的垂直平分线,是真命题第 5 页,共 13 页- - - - - - -

12、精选学习资料 - - - - - - - - - 1本例题目中命题的条件和结论不明显,为了不出错误, 可以先改写成“ 如p,就 q”的形式,再写另外三种命题,进而判定真假2要判定四种命题的真假,第一,要正确懂得四种命题间的相互关系；其次,正确利用相关学问进行判定推理如由“p 经规律推理得出q” ,就命题“ 如p,就 q” 为真； 确定“ 如 p,就 q” 为假时,就只需举一个反例说明3互为逆否命题等价当一个命题的真假不易判定时,可通过判定其逆否命题的真假来判定以下命题中正确选项 “ 如 x2y2 0,就 x,y 不全为零” 的否命题；“ 正三角形都相像” 的逆命题；“ 如 m0,就 x 2xm

13、 0 有实根” 的逆否命题A BC原命题的否命题为“ 如x2yD【解析】20,就 x,y 全为零” 真命题原命题的逆命题为“ 如两个三角形相像,就这两个三角形是正三角形” 假命题原命题的逆否命题为“ 如x 2xm0 无实根,就m0” 方程 x2xm0 无实根,判别式 14m0,m1 4. 故 m0,为真命题故正确的命题是,选 B. 【答案】B 等价命题的应用如 a 2b 2c 2,求证： a,b, c 不行能都是奇数【思路探究】1 a,b,c 不行能都是奇数包含几种情形？2 它的反面是什么？能否考虑证它的逆否命题？【自主解答】如 a,b,c 都是奇数,就 a 2, b 2, c 2 都是奇数,

14、所以 a 2b 2 为偶数,而c 2 为奇数, 即 a 2b 2 c 2. 即原命题的逆否命题为真命题,故原命题为真, 所以如 a 2b 2c 2,就 a、b、c 不行能都是奇数名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1由于“a、b、c 不行能都是奇数” 这一结论包含多种情形,而其否定只有一种情形,即“a、b、c 都是奇数,” 故应挑选证明它的逆否命题为真命题,以使问题简洁化2当判定一个命题的真假比较困难,或者在判定真假时涉及到分类争论时,通常转化为判定它的逆否命题的真假,由于互为逆否命题的真假是等价的,也就是我们讲的“

15、 正难就反” 的一种策略3四种命题中,原命题与其逆否命题是等价的,有相同的真假性,原命题的否命题与其逆命题也是互为逆否命题,解题时不要忽视“ 已知 a,x 为实数,如关于x 的不等式x22 a1 xa 220 的解集是空集,就a2” ,判定其逆否命题的真假【解】a,xR,且 x 22 a1 xa 220 的解集是空集 2 a1 24 a 22 0,7就 4a70,解得 a4. 因此 a2,原命题是真命题又互为逆否命题的命题等价,故逆否命题是真命题 . 对应同学用书第 6 页 因否定错误致误写出命题“ 如x2y2 0,就 x,y 全为零” 的逆命题、否命题,并判断它们的真假名师归纳总结 【错解】

16、逆命题：如x,y 全为零,就x2y 20,是真命题；第 7 页,共 13 页否命题：如x 2y 2 0,就 x, y 全不为零,是假命题【错因分析】此题中的错解主要是对原命题中结论的否定错误对“x,y 全为零”的否定,应为“x,y 不全为零” ,而不是“x,y 全不为零” 【防范措施】要写出一个命题的否命题,需要既否定条件,又否定结论, 否定时肯定- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 要留意一些词语,如“ 都是” 的否定是“ 不都是” ,而不是“ 都不是” 等等【正解】逆命题：如x,y 全为零,就x2y 20,是真命题；否命题：如x2y2 0,就 x,y

17、不全为零,是真命题1写出四种命题的方法：1 交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题；2 同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题；3 交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题2四种命题的真假关系：如原命题为真, 它的逆命题、否命题不肯定为真,它的逆否命题肯定为真；互为逆否命题的两个命题的真假性相同因此, 如一个命题的真假不易判定时,我们可借助它的逆否命题进行判定 . 对应同学用书第 7 页 12022 福州高二检测 已知 a,bR,命题“ 如ab1,就 a 2b21 2” 的否命题名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - -

18、- - - - - - - 是 A如 a 2b 21 2,就 ab 1ab 1” , “ a 2b 21 2” , 故B如 ab1,就 a2b21 2C如 ab 1,就 a2b212D如 a 2b 21 2,就 ab1 【解析】“ ab1” ,“ a 2b 21 2” 的否定分别是“否命题为：“ 如ab 1,就 a2b21 2” 【答案】C 2命题“ 两条对角线相等的四边形是矩形” 是命题“ 矩形是两条对角线相等的四边形” 的 A逆命题 B否命题C逆否命题 D无关命题【解析】从两种命题的形式来看是条件与结论换位,因此为逆命题【答案】A 3命题“ 当 x2 时, x 2x60” 的逆否命题是 _

19、【解析】原命题结论的否定作条件,条件的否定作结论,写出逆否命题即可【答案】当 x 2x6 0 时, x 2.4写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判定命题的真假1 如 mn0,就方程 mx 2xn 0 有实数根；2 如 ab0,就 a0 或 b0. 名师归纳总结 【解】1 逆命题：如方程mx 2xn0 有实数根,就mn 0. 假命题；第 9 页,共 13 页否命题：如mn0,就方程mx 2xn0 没有实数根假命题；逆否命题：如方程mx 2xn0 没有实数根,就mn0. 真命题2 逆命题：如a0 或 b0,就 ab 0. 真命题；否命题：如ab 0,就 a 0 且 b 0. 真命题；逆否命

20、题：如a 0 且 b 0,就 ab 0. 真命题- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一、挑选题1命题“ 如綈 p,就 q” 是真命题,就以下命题肯定是真命题的是 A如 p,就綈 q B如 q,就綈 pC如綈 q,就 p D如綈 q,就綈 p【解析】如“ 綈 p,就 q” 的逆否命题是“ 如綈 q,就 p” ,又互为逆否命题真假性相同“ 如綈 q,就 p” 肯定是真命题【答案】C 2如命题 p 的否命题为 q,命题 p 的逆否命题为 r ,就 q 与 r 的关系是 A互逆命题 B互否命题C互为逆否命题 D以上都不正确【解析】设 p 为“ 如 A,就 B”

21、,那么 q 为“ 如綈 A,就綈 B” , r 为“ 如綈 B,就綈A” ,故 q与 r 为互逆命题【答案】A 32022 台州高二检测 已知命题 p：如 a0,就方程 ax 22x0 有解,就其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为 A3 B2 C1 D0 【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题应选 B. 【答案】B 42022 大庆高二检测 以下判定中不正确选项 A命题“ 如 AB B,就 A BA” 的逆否命题为真命题B“ 矩形的两条对角线相等” 的逆否命题为真命题C“ 已知 a,b,mR,如 am 2bm 2,就 ab” 的逆命题是真命题D“ 如 x

22、 N *,就 x1 20” 是假命题【解析】如 ABB,就有 B. A,从而有 ABA,A 正确；B中的逆否命题：“ 如一个四边形两条对角线不相等,就它不是矩形” 为真命题B 正确C中的逆命题为： “ 已名师归纳总结 知 a,b,mR,如 ab,就 am 2 bm 2为假命题,故C不正确第 10 页,共 13 页D中 x 1 时, x120 明显是假命题故D正确【答案】C 5以下命题中,不是真命题的为 A“ 如 b 24ac0,就关于 x 的一元二次方程ax2bxc 0 a 0 有实根” 的逆否命- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 题B“ 四边相等的四边

23、形是正方形” 的逆命题C“ 如 x 29,就 x3” 的否命题D“ 对顶角相等” 的逆命题【解析】A 中命题为真命题,其逆否命题也为真命题；B 中命题的逆命题为“ 正方形的四边相等” ,为真命题；C 中命题的否命题为“ 如 x 2 9,就 x 3” 为真命题；D中命题的逆命题为“ 相等的角为对顶角” 是假命题【答案】D 二、填空题6命题“ 如 AB B,就 A. B” 的否命题是 _【答案】如 AB B,就 A. B. 7已知命题“ 如 m1xm1,就 1x2” 的逆命题为真命题,就 m的取值范畴是_【解析】由已知得,如 1x2 成立,就 m1xm 1 也成立m11,1 m2.m12【答案】1

24、,2 82022 菏泽高二检测 给定以下命题：如 a0,就方程 ax 22x0 有解“ 等腰三角形都相像” 的逆命题；“ 如 x3 2是有理数,就x 是无理数” 的逆否命题；“ 如 a1 且 b1,就 ab2” 的否命题其中真命题的序号是_x3 2是有理数,就x 是无理【解析】明显为真,为假对于中,原命题“ 如数” 为假命题,逆否命题为假命题对于中,“ 如 a1 且 b1,就 ab2” 的否命题是“ 如 为假命题【答案】 三、解答题a1 或 b1,就 ab2”9设原命题是“ 当 c0 时,如 ab,就 acbc” ,写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判定它们的真假名师归纳总结 【解】原命

25、题是真命题第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 逆命题是“ 当 c0 时,如 acbc,就 ab” ,是真命题否命题是“ 当 c0 时,如 ab,就 acbc” ,是真命题逆否命题是“ 当 c 0 时,如 acbc,就 ab” ,是真命题10已知命题 p：“ 如 ac0,就二次方程 ax 2bxc0 没有实根” 1 写出命题 p 的否命题；2 判定命题 p 的否命题的真假,并证明你的结论【解】1 命题 p 的否命题为：“ 如 ac0,就二次方程 ax 2bxc0 有实根” 2 命题 p 的否命题是真命题,证明如下：ac0, ac0

26、. b 24ac0. 二次方程 ax 2bxc0 有实根该命题是真命题11已知奇函数f x 是定义域为R 的增函数, a,bR,如 f a f b 0,求证： ab0.【证明】假设 a b0,就 a b. f x 在 R上是增函数f a f b ,又 f x 为奇函数f b f b , f a f b 即 f a f b 0. 原命题的逆否命题为真,故原命题为真. 老师用书独具 判定命题“ 如m0,就方程 x22x3m 0 有实数根” 的逆否命题的真假【解】m0, 12m0, 12m 40. 方程 x 22x3m0 的判别式 2 24 1 3m 412m0,原命题“ 如 m 22x3m 0 有

27、实数根” 为真0,就方程 x又原命题与它的逆否命题等价,“ 如 m0,就方程 x 22x3m0 有实数根” 的逆否命题为真名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知 adbc1,求证： a 2b2c2d2abcd 1.【证明】设 a2b2 c 2 d 2abcd1,就 2a 2 2b22c 22d22ab2bc2cd2ad2bc2ad2,名师归纳总结 即 ab2 bc2 cd2 ad22ad2bc2,第 13 页,共 13 页如 ab2 bc2 cd2 ad20,就 abc d0,于是 adbc1；如 ab2 bc2 cd2 ad2 0,就 ab2 bc2 cd2 ad2 为正数,所以必有adbc1. 综上,命题“ 如a 2b2c2d2abcd1,就 adbc 1” 成立,由原命题与它的逆否命题等价,知原命题也成立,从而原命题得证. - - - - - - -