2022年数学练习题考试题高考题教案第十编计数原理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第十编 计数原理 10.1 两个基本计数原理基础自测1. 有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,假如一条长裤与一件上衣配成一套,就不同的配法有种 . 答案 12 2. 从 3 名女同学和2 名男同学中选1 人主持本班的某次主题班会,就不同的选法有种. 答案 5 3. 一个乒乓球队里有男队员5 人,女队员4 人,从中选出男、女队员各一名组成混合双打,共有种不同的选法 . 答案 20 4. 将 4 个不同的小球放入3 个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有种. 答案 36 5. 有一项活动需在3 名老师, 8 名男同学和5 名女同学中选人参

2、与, （1）如只需一人参与,有多少种不同的选法？（2）如需一名老师,一名同学参与,有多少种不同的选法？（3）如只需老师,男同学,女同学各一人参与,有多少种不同的选法？解（ 1）“ 完成这件事” 只需从老师、同学中选1 人即可,共有3+8+5=16 种 . 8+5=13 种2 “ 完成这件事” 需选2 人,老师、同学各1 人,分两步进行：选老师有3 种方法,选同学有方法,共有3 13=39 种方法 . 3 “ 完成这件事” 需选 3 人,老师、男同学、女同学各一人,可分三步进行,选老师有 3 种方法,选男同学有 8 种方法,选女同学有 5 种方法,共有 3 8 5=120 种方法 . 例 1 在

3、全部的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解方法一 按十位数上的数字分别是 1,2,3,4,5,6,7,8 的情形分成 8 类,在每一类中满意题目条件的两位数分别有 8 个, 7 个, 6 个, 5 个, 4 个, 3 个, 2 个, 1 个 . 由分类计数原理知,符合题意的两位数的个数共有：8+7+6+5+4+3+2+1=36（个） . 方法二 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9 分成 8 类,在每一类中满意条件的两位数分别有1 个、 2 个、3 个、 4 个、 5 个、 6 个、 7 个、 8 个,所以按分类计数原理共有：1+2+3+4+5+6+7+8=36（个） .

4、 名师归纳总结 例 2 已知集合 M=-3,-2,-1,0,1,2,P a, b 表示平面上的点 a, b M, 问 : 第 1 页,共 22 页1 P 可表示平面上多少个不同的点. 2 P 可表示平面上多少个其次象限的点. 3 P 可表示多少个不在直线y=x 上的点 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解（ 1）确定平面上的点 Pa, b可分两步完成：第一步确定 a 的值,共有 6 种确定方法；其次步确定 b 的值,也有 6 种确定方法 . 依据分步计数原理,得到平面上的点数是 6 6=36. （2）确定其次象限的点,可分两步完成：第一步确定a,由

5、于 a0, 所以有 3 种确定方法；M中取同一元素,共有6 种取法,即其次步确定b, 由于 b 0,所以有 2 种确定方法 . 由分步计数原理,得到其次象限点的个数是3 2=6. （ 3）点 P（a, b 在直线 y=x 上的充要条件是a=b. 因此 a 和 b 必需在集合在直线 y=x 上的点有 6 个. 由（ 1）得不在直线 y=x 上的点共有 36-6=30 个 . 例 3（16 分）现有高一四个班同学 34 人 , 其中一、二、三、四班各 7 人、 8 人、 9 人、 10 人,他们自愿组成数学课外小组 . （1）选其中一人为负责人,有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长,有多少种不

6、同的选法？（3）推选二人作中心发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法？解（ 1）分四类：第一类,从一班同学中选 1 人,有 7 种选法；其次类,从二班同学中选 1 人,有 8 种选法；第三类,从三班同学中选 1 人,有 9 种选法；第四类,从四班同学中选 1 人,有 10 种选法 . 所以,共有不同的选法 N=7+8+9+10=34（种） .4 分（2）分四步,第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班同学中选一人任组长,所以共有不同的选法N=7 8 9 10=5 040 （种） .8 分（3）分六类,每类又分两步,从一、二班同学中各选 1 人,有 7 9 种不同的选法；从一、四班同学

7、中各选 选 1 人,有 8 9 种不同的选法；从二、四班同学中各选 各选 1 人,有 9 10 种不同的选法,所以共有不同的选法1 人,有 7 8 种不同的选法；从一、三班同学中各选 1 人,有 7 10 种不同的选法；从二、三班同学中各 1 人,有 8 10 种不同的选法；从三、四班同学中14 分N=7 8+7 9+7 10+8 9+8 10+9 10=431（种） .16 分1. 从 1 到 20 这 20 个整数中 , 任取两个相加 , 使其和大于 20, 共有几种取法 . 解当一个加数是 1 时, 另一个加数只能是 20,1 种取法 . 当一个加数是 2 时 , 另一个加数可以是 19

8、,20,2 种取法 . 当一个加数是 3 时 , 另一个加数可以是 18,19,20,3 种取法 . 当一个加数是10 时, 另一个加数可以是11,12, ,20,10种取法 . 当一个加数是11 时, 另一个加数可以是12,13, ,20,9 种取法 . 名师归纳总结 当一个加数是19 时, 另一个加数是20,1 种取法 . 2 元. 某人想先选定吉利号18,然后从第 2 页,共 22 页由分类计数原理可得共有1+2+3+ +10+9+8+ +1=100 种取法 . 2. 某体育彩票规定：从01 到 36 共 36 个号中抽出7 个号为一注,每注- - - - - - -精选学习资料 - -

9、 - - - - - - - 01 至 17 中选 3 个连续的号,从19 至 29 中选 2 个连续的号,从30 至 36 中选 1 个号组成一注 . 如这个人要把这种要求的号全买下,至少要花多少元钱？解先分三步选号,再运算总钱数 . 按号段选号,分成三步 . 第一步从 01 至 17 中选 3 个连续号,有 15 种选法；其次步从 19 至 29 中选 2 个连续号,有 10 种选法；第三步从 30 至 36 中选 1 个号,有 7 种选法 . 由分步计数原理可知,满意要求的号共有15 10 7=1 050 注, 故至少要花1 050 2=2 100 元. 7 个班,高三有8 个班,学校利

10、用星期六组织同学到某厂进行社会实3. 某校高中部,高一有6 个班,高二有践活动 . （1）任选 1 个班的同学参与社会实践,有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的同学参与社会实践,有多少种不同的选法？（3）选 2 个班的同学参与社会实践,要求这 2 个班不同年级,有多少种不同的选法？解（1）分三类：第一类从高一年级选 1 个班,有 6 种不同方法；其次类从高二年级选一个班,有 7 种不同方法；第三类从高三年级选 1 个班,有 8 种不同方法 . 由分类计数原理,共有 6+7+8=21 种不同的选法 . （2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班,有 6 种不同方法；其次步从高二年级

11、选 1 个班,有 7种不同方法；第三步从高三年级选 1 个班,有 8 种不同方法 . 由分步计数原理,共有 6 7 8=336 种不同的选法 . （3）分三类,每类又分两步 . 第一类从高一、高二两个年级各选一个班,有 6 7 种不同方法；其次类从高一、高三两个年级各选 1 个班,有 6 8 种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班,有 7 8 种不同的方法,故共有 6 7+6 8+7 8=146 种不同选法 . 一、填空题1.5 位同学报名参与两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,就不同的报名方法共有种 . 答案 32 2. 某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从

12、“ 0000” 到“ 9999” 共 10 000 个号码,公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4” 或“7” 的一律作为优惠卡,就这组号码中“ 优惠卡” 共有个 . 答案 5 904 3. 从集合 1 ,2,3, , 10 中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列共有个 . 答案 8 名师归纳总结 4. 如下列图,用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色,相邻区域必需涂不同颜色,如答应同一种第 3 页,共 22 页颜色多次使用,就不同的涂色方法共有种. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 180 5. 一植物园参观路径

13、如下列图,如要全部参观并且路线不重复,就不同的参观路线种数共有种 . 答案 48 6. （2022 全国文） 将 1, 2, 3 填入 3 3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法,就不同的填写方法共有种 . 答案 12 7. 在 奥运选手选拔赛上,8 名男运动员参与 100 米决赛 . 其中甲、乙、丙三人必需在 1、2、3、 4、5、6、 7、8 八条跑道的奇数号跑道上,就支配这 8 名运动员竞赛的方式共有种 . 答案 2 880 8. 如一个 m, n 均为非负整数的有序数对（m, n ,在做 m+n 的加法时各位均不会进位,就称（m, n 为“ 简洁的”有序数对, m+

14、n 称为有序数对（ m, n的值,那么值为 1 942 的“ 简洁的” 有序数对的个数是 . 答案 300 二、解答题9. （1）4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有多少种报名方法？（2）4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有多少种可能的结果？解（ 1）要完成的是“4 名同学每人从三个项目中选一项报名” 这件事,由于每人必报一项,四个都报完才算完成,于是按人分步,且分为四步,又每人可在三项中选一项,选法为 种报名方法 . 3 种,所以共有： 3 3 3 3=81（2）完成的是“ 三个项目冠军的猎取” 这件事,由于每项冠军只能有一人获得,三项冠军都有得主,这件 事才算完

15、成,于是应以“ 确定三项冠军得主” 为线索进行分步. 而每项冠军是四人中的某一人,有4 种可能的情形,于是共有： 4 4 4=4 3=64 种可能的情形 . 10. 用 5 种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,如要求相邻（有公共边）的区域 不同色,那么共有多少种不同的涂色方法？解完成该件事可分步进行 . 涂区域 1,有 5 种颜色可选 . 涂区域 2,有 4 种颜色可选 . 涂区域 3,可先分类：如区域 3 的颜色与 2 相同,就区域 4 有 4 种颜色可选 . 如区域 3 的颜色与 2 不同,就 4 有 3 种颜色可选 . 区域 3 有 3 种颜色可选,此时区域 所以

16、共有 5 4 （ 1 4+3 3）=260 种涂色方法 . 11. 在平面直角坐标系内,点P（a,b）的坐标满意a b, 且 a, b 都是集合 1,2,3,4,5,6的元素 , 又点 P 到原点的距离 | OP| 5. 求这样的点P 的个数 . 解按点 P 的坐标 a 将其分为 6 类 : 1 如 a=1, 就 b=5 或 6, 有 2 个点 ; 2 如 a=2, 就 b=5 或 6, 有 2 个点 ; 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 如 a=3, 就 b=5 或 6 或 4, 有 3 个点 ; 4 如 a

17、=4, 就 b=3 或 5 或 6, 有 3 个点 ; 5 如 a=5, 就 b=1,2,3,4,6, 有 5 个点 ; 6 如 a=6, 就 b=1,2,3,4,5, 有 5 个点 ; 共有 2+2+3+3+5+5=20（个）点 . 12. 将 3 种作物种植在如下列图的5 块试验田里, 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有多少种？解设由左到右五块田中要种 a, b, c 三种作物,不妨先设第一块种 a, 就其次块可种 b, c, 有两种选法 . 同理,假如其次块种 b, 就第三块可种 a 和 c, 也有两种选法,由分步计数原理共有 1 2 2 2 2=16.

18、 其中要去掉ababa 和 acaca 两种方法 . 故 a 种作物种在第一块田中时的种法数有 16-2=14（种） . 同理 b 种或 c 种作物种在第一块田中时的种法数也都为 14 种 . 所以符合要求的种植方法共有3 2 2 2 2-2=3 16-2=42 种 . 10.2 排列与组合基础自测1. 从 1,2,3,4,5,6 六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有个 . 答案 54 2. （2022 福建理） 某班级要从4 名男生、 2 名女生中选派4 人参与某次社区服务,假如要求至少有1 名女生,那么不同的选派方案共有种. 答案 14 名师归

19、纳总结 3. 停车场每排恰有10 个停车位 . 当有 7 辆不同型号的车已停放在同一排后,恰有3 个空车位连在一起的排法第 5 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有种 . （用式子表示）答案 A8 84. 在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法种数是（用式子表示）. 答案 C 100 3-C 3945. （2007 天津理） 如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,就不同的涂色方法共有种（用数字作答）. 答

20、案 390 例 1 六人按以下要求站一横排,分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必需相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端,乙不站右端 . 解（ 1）方法一 要使甲不站在两端,可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个,有 A1 4种站法,然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 A5 5种站法,依据分步计数原理,共有站法：A1 4A5 5=480（种） . 方法二 由于甲不站两端,这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站,有 A2 5种站法,然后中间 4 人有 A4 4种站法,依据分步计数原理,共有站法：A2 5

21、A4 4=480（种） . 方法三 如对甲没有限制条件共有 A6 6种站法,甲在两端共有 2A5 5种站法,从总数中减去这两种情形的排列数,即共有站法： A6 6-2A 5 5=480（种） . （2）方法一 先把甲、乙作为一个“ 整体”,看作一个人,和其余 4 人进行全排列有 A5 5种站法,再把甲、乙进行全排列,有 A2 2种站法,依据分步计数原理,共有 A5 5A2 2=240（种）站法 . 方法二 先把甲、 乙以外的 4 个人作全排列, 有 A4 4种站法, 再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入, 有 A1 5种方法,最终让甲、乙全排列,有 A2 2种方法,共有 A4 4A1 5A2

22、 2=240（种） . （3）由于甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“ 插空法”,第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队,有 A4 4种站法；其次步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档（含两端）中,有 A2 5种站法,故共有站法为 A4 4 A 2 5=480（种） . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 也可用“ 间接法”, 6 个人全排列有A6 6种站法,由（ 2）知甲、乙相邻有A5 5A2 2=240 种站法,所以不相邻的站法有 A6 6-A 5 5A2 2=720-240=480 （种） . （4）方法一 先将

23、甲、乙以外的 4 个人作全排列,有 A4 4种,然后将甲、乙按条件插入站队,有 3A2 2种,故共有 A4 4 （ 3A 2 2）=144（种）站法 . 方法二 先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上,有 A2 4种,然后把甲、乙及中间2 人看作一个“ 大” 元素与余下 2 人作全排列有 A3 3种方法,最终对甲、乙进行排列,有 A2 2种方法,故共有 A2 4A3 3A2 2=144（种）站法 . （5）方法一 第一考虑特别元素,甲、乙先站两端, 有 A2 2种,再让其他 4 人在中间位置作全排列,有 A4 4种,依据分步计数原理,共有 A2 2A4 4=48（种

24、）站法 . 方法二 第一考虑两端两个特别位置,甲、乙去站有 A2 2种站法, 然后考虑中间 4 个位置, 由剩下的 4 人去站,有 A4 4种站法,由分步计数原理共有 A2 2A4 4=48（种）站法 . （6）方法一 甲在左端的站法有 A5 5种,乙在右端的站法有 A5 5种,且甲在左端而乙在右端的站法有 A4 4种, 共有 A6 6-2A 5 5+A 4 4=504（种）站法 . 方法二 以元素甲分类可分为两类：甲站右端有 A5 5种站法,甲在中间 4 个位置之一,而乙不在右端有A1 4A1 4A4 4种,故共有 A5 5+A1 4A1 4A4 4=504（种）站法 . 例 2（ 16 分

25、）男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人 . 选派 5 人外出竞赛 . 在以下情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3 名,女运动员2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有 1 人参与；（4）既要有队长,又要有女运动员 . 解（ 1）第一步：选 3 名男运动员,有 C3 6种选法 . 其次步：选 2 名女运动员,有 C2 4种选法 . 共有 C3 6C2 4=120 种选法 .4 分（2）方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情形：1 女 4 男, 2 女 3 男, 3 女 2 男, 4 女 1 男 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页

26、,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由分类计数原理可得总选法数为C1 4C4 6+C 2 4C3 6+C3 4C2 6+C4 4C1 6=246 种.8 分方法二 “ 至少 1 名女运动员” 的反面为“ 全是男运动员” 可用间接法求解 . 从 10 人中任选 5 人有 C5 10种选法,其中全是男运动员的选法有 C5 6种. 所以“ 至少有 1 名女运动员” 的选法为 C5 10-C 5 6=246 种.8 分（3）方法一 可分类求解：“ 只有男队长” 的选法为 C4 8；“ 只有女队长” 的选法为 C4 8；“ 男、女队长都入选” 的选法为 C3 8；所以共有 2

27、C4 8+C3 8=196 种选法 .12 分方法二 间接法：从 10 人中任选 5 人有 C5 10种选法 . 其中不选队长的方法有 C5 8种 . 所以“ 至少 1 名队长” 的选法为 C5 10-C 5 8=196 种 .12 分（4）当有女队长时,其他人任意选,共有 C4 9种选法 . 不选女队长时,必选男队长,共有 C4 8种选法 . 其中不含女运动员的选法有 C4 5种,所以不选女队长时的选法共有 C4 8-C 4 5种选法 . 所以既有队长又有女运动员的选法共有C4 9+C4 8-C 4 5=191 种 .16 分例 34 个不同的球, 4 个不同的盒子,把球全部放入盒内 . （

28、1）恰有 1 个盒不放球,共有几种放法？（2）恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法？（3）恰有 2 个盒不放球,共有几种放法？解（ 1）为保证“ 恰有 1 个盒不放球” ,先从 4 个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4 个球, 3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法？” 即把 4 个球分成 2,1,1 的三组,然后再从 3 个盒子中选 1 个放2 个球,其余 2 个球放在另外 2 个盒子内,由分步计数原理,共有 C1 4C2 4C1 3 A 2 2=144 种. （2）“ 恰有 1 个盒内有 2 个球” ,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也即另外 3 个

29、盒子中恰有一个空盒,因此, “ 恰有 1 个盒内有 2 个球” 与“ 恰有 1 个盒不放球” 是同一件事,所以共有 144 种放法. 名师归纳总结 （3）确定 2 个空盒有 C2 4种方法 . C3 4C1 1A 2 2种方法；其次类有第 8 页,共 22 页4 个球放进 2 个盒子可分成（3, 1）、（ 2, 2）两类,第一类有序不匀称分组有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 序匀称分组有C2 4C2 2A2 2种方法 . A2 2故共有 C2 4C 3 4C1 1A2 2+ CA 24 C22 22A2 2）=84 种. 1. 用 0、 1、 2、3

30、、4、 5 这六个数字,可以组成多少个分别符合以下条件的无重复数字的四位数：1 奇数；2 偶数；3 大于 3 125 的数 . 解1 先排个位,再排首位,共有 A1 3A1 4A2 4=144（个） . 2 以 0 结尾的四位偶数有 A3 5个,以 2 或 4 结尾的四位偶数有 A1 2 A1 4 A2 4个,就共有 A3 5+A1 2 A1 4 A2 4=156（个） . 3 要比 3 125 大, 4、 5 作千位时有 2A3 5个, 3 作千位, 2、 4、 5 作百位时有 3A2 4个, 3 作千位, 1 作百位时有 2A1 3个,所以共有 2A3 5+3A2 4+2A1 3=162（

31、个） . 2. 某医院有内科医生 12 名,外科医生 8 名,现选派 5 名参与赈灾医疗队,其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必需参与,共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参与,有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参与,有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法？解 （1）只需从其他 18 人中选 3 人即可,共有 C3 18=816（种） . （2）只需从其他 18 人中选 5 人即可,共有 C5 18=8 568 （种） . （3）分两类：甲、乙中有一人参与,甲、乙都参与,共有 C1 2C4 18+C 3 18=6 936 （种） . （4）方法一 （直接

32、法） 至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：四内一外,所以共有 C1 12C 4 8+C2 12C3 8+C3 12C 2 8+C4 12C1 8=14 656 （种） . 一内四外； 二内三外； 三内二外；方法二 （间接法） 由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得 C5 20-（C 5 8+C5 12=14 656 种） . 3. 有 6 本不同的书按以下安排方式安排,问共有多少种不同的安排方式？（1）分成 1 本、 2 本、 3 本三组；（2）分给甲、乙、丙三人,其中一人（3）分成每组都是 2 本的三组；1 本,一人 2 本,一人 3 本；名师归纳总结 （4）分

33、给甲、乙、丙三人,每人2 本 . 第 9 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解（1）分三步：先选一本有C1 6种选法；再从余下的5 本中选 2 本有 C2 5种选法；对于余下的三本全选有C3 3种选法,由分步计数原理知有 C1 6C 2 5C3 3=60 种选法 . （ 2）由于甲、 乙、丙是不同的三人, 在（1）的基础上, 仍应考虑再安排的问题,因此共有 C1 6C 2 5C3 3A3 3=360种选法 . （ 3）先分三步,就应是 C2 6C2 4C2 2种选法,但是这里面显现了重复,不妨记六本书为 A、B、C、D、E、F,如第一步

34、取了 AB,其次步取了 CD,第三步取了 EF,记该种分法为（AB,CD,EF）,就 C2 6C2 4C 2 2种分法中仍有（ AB、EF、CD）,（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、 AB）、（ EF、AB、CD）共有 A3 3种情形,而且这 A3 3种情形仅是 AB、 CD、 EF 的次序不同,因此,只算作一种情形,故分法有 C 26 CA 2433 C 22 =15 种 . （4）在问题（ 3）的工作基础上再安排,故安排方式有C2 6C2 4C2 2A3 3=C2 6C 2 4C2 2=90 种 . A3 3一、填空题1. 用数字 1, 2,3,4, 5 组成没有重

35、复数字的五位数,其中小于 答案 36 50 000 的偶数共有个 . 2. 将编号为 1,2,3, 4, 5 的五个球放入编号为 1, 2,3,4,5 的五个盒子里,每个盒子内放一个球,如恰好有三个球的编号与盒子编号相同,就不同投放方法共有种 . 答案 10 3. 记者要为5 名理想者和他们帮忙的2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有种 . 答案 960 4. 在图中,“ 构建和谐社会,创美好将来”,从上往下读（不能跳读）,共有种不同的读法. 答案 252 名师归纳总结 5. 2022 天津理 有 8 张卡片分别标有数字1, 2,3,4,5, 6,7,8,从中

36、取出6 张卡片排成3 行 2 列,要第 10 页,共 22 页求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,就不同的排法共有种. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 1 248 6. （ 2022 安徽理） 12 名同学合影,站成了前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,其他人的相对次序不变,就不同调整方法的种数是（用式子表示）. 答案 C2 8A27. 平面 内有四个点,平面 内有五个点,从这九个点中任取三个,最多可确定个平面,任取四点,最多可确定个四周体 . （用数字作答）答案 72120 8. （2022

37、 浙江理, 16） 用 1, 2,3,4, 5, 6 组成六位数（没有重复数字）性不同,且1 和 2 相邻 . 这样的六位数的个数是. （用数字作答）答案 40 二、解答题,要求任何相邻两个数字的奇偶9. 某外商方案在4 个候选城市投资3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2 个,求该外商不同的投资方案有多少种？解可先分组再安排,据题意分两类,一类：先将 3 个项目分成两组,一组有 1 个项目,另一组有 2 个项目,然后再安排给 4 个城市中的 2 个,共有 C2 3A 2 4种方案；另一类 1 个城市 1 个项目,即把 3 个元素排在 4 个不同位置中的 3 个,共有 A3 4种方

38、案 . 由分类计数原理可知共有 C2 3A 2 4+A 3 4=60 种方案 . 10. 课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女各指定一名队长,现从中选 5 人主持某种活动,依以下条件各有多少种选法？（1）只有一名女生；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选 . 解（ 1）一名女生,四名男生,故共有 C1 5C4 8=350（种） . （2）将两队长作为一类,其他 11 人作为一类,故共有 C2 2C3 11=165（种） . （3）至少有一名队长含有两类：有一名队长和两名队长 . 故共有： C1 2C4 11+C2 2C3 11=8

39、25（种） . 或采纳间接法： C5 13-C 5 11=825（种） . （4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生 . 应选法为 C2 5C3 8+C1 5C4 8+C5 8=966（种） . 11. 已知平面,在 内有 4 个点,在 内有 6 个点 . （1）过这 10 个点中的 3 点作一平面,最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？名师归纳总结 解（ 1）所作出的平面有三类：内 1 点,内 2 点确定的平面,有C1 4C2 6个；内 2 点,内 1第 11 页,共 22 页- - - -

40、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点确定的平面,有C2 4C1 6个；,本身 . 所作的平面最多有 C1 4C2 6+C2 4C1 6+2=98（个） . （2）所作的三棱锥有三类： 内 1 点,内 3 点确定的三棱锥,有 C1 4C3 6个； 内 2 点,内 2点确定的三棱锥,有 C2 4C2 6个；内 3 点,内 1 点确定的三棱锥,有 C3 4C1 6个 . 最多可作出的三棱锥有：C1 4C3 6+C2 4C2 6+C3 4C1 6=194（个） . （3）当等底面积、等高的情形下三棱锥的体积相等 , 且平面,体积不相同的三棱锥最多有C3 6+C3 4+C2 6

41、C2 4=114（个） . 12. 有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现支配 2 人就座,规定前排中间的 3 个座位不能坐,并且这 2 人不左右相邻,共有多少种不同排法？解前排中间 3 个座位不能坐,实际可坐的位置前排 8 个,后排 12 个. （1）两人一个前排,一个后排,方法数为 C1 8C1 12A2 2种；（2）两人均在后排左右不相邻,共 A2 12-A 2 2A1 11=A2 11种；（3）两人均在前排,又分两类：两人一左一右,共 C1 4C1 4A2 2种；两人同左同右,有 2（ A2 4-A 1 3A2 2）种 . 综上可知,不同排法种数为名师归纳总结 C1 8

42、C1 12A2 2+A 2 11+C1 4C1 4A2 2+2（A2 4-A 1 3A2 2） =346 种 . 第 12 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10.3 二项式定理基础自测1. 在（ 1+x）n n N * 的二项绽开式中,如只有x 5的系数最大,就n=. 答案 10 12. 在（ a 2-2 a 3）n的绽开式中,就以下说法错误的有个. 没有常数项当且仅当 n=2 时,绽开式中有常数项当且仅当 n=5 时,绽开式中有常数项当 n=5k k N * 时,绽开式中有常数项答案 3 3. 如多 项 式C n x+1）0n-C

43、1 n x+1n-1+ +-1rC r n x+1n- r + +-1nC n n=a0xn+a1x n-1+ +an-1 x+an, 就 a0+a1+an-1+an=. 答案 1 4. （2022 山东理） x-3112 绽开式中的常数项为. x答案 -220 5. （2022 福建理, 13） 如 x-25=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0, 就 a1+a2+a3+a4+a5=.（用数字作答）答案 31 例 1 在二项式 x +1xn 的绽开式中,前三项的系数成等差数列,求绽开式中的有理项和二项式系数最大2 4的项 . 解二项绽开式的前三项的系数分别是1,n ,21 n（n-1 ）,8