2022年《数学思想与方法》复习参考题-修改.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆数学思想方法复习参考题 一、 填空题 1、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚规律推理,以几何原本为代表；一种是长于计 算和实际应用,以九章算术为典范；2、在数学中建立公理体系最早的是几何学,而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的几何原本3、几何原本所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式,而且仍被移植到其它学科,并且促进他 们的进展；4、推动数学进展的缘由主要有两个：实践的需要,理论的需要；数学思想方法的几次突破就是这两种 需要的结果；5、变量数学产生的数学基础是解析几何,

2、标志是微积分；6、数学基础学问和数学思想方法是数学教学的两条主线；7、随机现象的特点是在肯定条件下,可能发生某种结果,也可能不发生某种结果；8、等腰三角形的抽象过程,就是把一个新的特点：两边相等,加入到三角形概念中去,使三角形概念得到 强化；9、同学懂得或把握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段潜意识阶段,段；明朗化阶段, 深刻懂得阶10、数学的统一性是客观世界统一性的反映,是数学中各个分支固有的内在联系的表达,它表现为数学的 各个分支相互渗透和相互结合的趋势；11、强抽象就是指,通过把一些新特点加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程；12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特点：一组邻边相等

3、,加入到平行四边形概念中去,使平行四边 形概念得到了强化；13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法；14、所谓类比,是指由一类事物所具有的某种属性,可以估计与其类似的事物也具有该属性的一种推理方 法；常称这种方法为类比法,也称类比推理；15、反例反对的理论依据是形式规律的冲突律；16、猜想具有两个显著特点：具有肯定的科学性,具有肯定的估计性；17、三段论是演绎推理的主要形式；三段论由大前提、小前提、结论三部分组成；18、化归方法是指,把待解决的问题,通过某种转化过程,归结到一类已经能解决或较易解决的问题中,最终获得原问题解答的一种方法；19、在化归过程中应遵循的原就是简洁化原

4、就、熟识化原就、和谐化原就；20、在运算机时代,运算方法已成为与理论方法、试验方法并列的第三种科学方法；21、算法具有以下特点：有限性,确定性,有效性；22、算法大致可以分为多项式算法和指数型算法两大类；23、匀速直线运动的数学模型是一次函数；24、所谓数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法；25、分类必需遵循的原就是不重复,无遗漏,标准同一；26、所谓数形结合方法,就是在讨论数学问题时,由数思形、见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方 法；27、所谓特别化是指在讨论问题时,从对象的一个给定集合动身,进而考虑某个包含于该集合的较小集合 的思想方法；28、面对一个问题,经过认真的观看和

5、摸索,通过归纳或类比提出猜想,然后从两个方面入手：演绎证明 此猜想为真；或者查找反例说明此猜想为假,并且进一步修正或否定此猜想；29、化归方法的三个要素是：化归对象、化归目标、化归途径；30、依据同学把握数学思想方法的过程有潜意识、明朗化、深刻懂得三个阶段,可相应地将学校数学思想 方法教学设计成多次孕育、初步懂得、简洁应用 三个阶段；31、数学思想方法是联系数学学问与数学才能的纽带,是数学科学的灵魂,它对进展同学的数学才能,提 高同学的思维品质都具有特别重要的作用；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - -

6、 - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆32、一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节；33、算法的有效性是指假如使用该算法从它的初始数据动身,能够得到这一问题的正确解；34、数学的讨论对象大致可以分成两大类：数量关系；空间形式；二、判定题 只要答“ 是” 或“ 否” 1、运算机是数学的制造物,又是数学的制造者；是 2、抽象得到的新概念与表述原先的对象的概念之间肯定有种属关系；否 3、一个数学理论体系内的每一个命题都必需给出证明；否 4、九章算术不包括代数、几何内容；否 5、既没有脱离数学学问

7、的数学思想方法,也没有不包括数学思想方法的数学学问；是 6、数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用；否 7、在解决数学问题时,往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得成效；是 8、假如某一类问题存在算法,并且构造出这个算法,就肯定能求出该问题的精确解；否 9、对同一数学对象,如选取不同的标准,可以得到不同的分类；是 10、数学思想方法教学隶属数学教学范畴,只要贯彻通常的数学教学原就就可实现数学思想方法 教学目标；否11、由类比法推得的结论必定正确；否 12、有时特别情形能与一般情形等价；是 13、完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴；是 14、古希腊的柏拉图曾在他的学校门口张榜声明：不

8、懂几何的人不得入内；这是由于他的学校里所 学习的课程要用到很多几何学问；否15、完全归纳法的一般推理形式是：设 SA 1,A 2,A 3,A n,由于A 1、A 2、A n具有性质P,因此推断集合S 中的每一个对象都具有性质P；否三、 简答题1、为什么说几何原本是一个封闭的演绎体系？在形式上,它是以少数原始概念和公设、公理为基础,运用规律规章将当时所知的几何学中的主要命 题（定理）全部推演出来,从而形成一个井然有序的整体；在这个体系中,除了规律规章外,每个定理的 证明所采纳的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理,并且引入的概念（除原始概念）也基本上是 符合规律上对概念下定义的要求,原就上不

9、再依靠其它东西；另外,几何原本回避任何与社会生产现实生活有关的应用问题,对社会生活的各个领域来说,它也 是封闭的；所以,几何原本是一个比较完整的、相对封闭的演绎体系；2、试对九章算术思想方法的一个特点“ 算法化的内容” 加以说明；九章算术在每一章内先列举如干个实际问题,并对每个问题都给出答案,然后再给出“术”,作为一 类问题的共同解法；以后遇到同类问题,只要按“ 术” 给出的程序去做就肯定能求出问题的答案；书中的“ 术” 其实就是算法；3、简述确定性现象、随机现象的特点以及确定性数学的局限性；确定性现象的特点是：在肯定的条件下,其结果可以唯独确定；因此确定性现象的条件和结果之间存在着必定的联系

10、,所以事先可以预知结果如何；随机现象的特点是：在肯定的条件下,可能发生某种结果,也可能不发生某种结果；对于这类现象,由 于条件和结果之间不存在必定性联系；在数学学科中, 人们常常把讨论确定性现象数量规律的那些数学分支称为确定数学；用这些分支来定量 地描述某些确定性现象的运动和变化过程,从而确定结果；但是由于随机现象条件和结果之间不存在必定 性联系,因此不能用确定数学来加以定量描述；同时确定数学也无法定量地揭示大量同类随机现象中所蕴 涵的规律性；这就是确定数学的局限所在；4、简述运算机在数学方面的三种新用途；（1）用来证明一些数学命题；（2）用来猜测某些数学问题的可能结果; （ 3）用来验证某些

11、数学问题的结 第 2 页,共 5 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆果的正确性 .；5、简述数学抽象的特点；数学抽象有以下几个特点；（1）数学抽象具有无物质性; （2）数学抽象具有层次性; （3）数学抽象过程要凭借分析或直觉;（ 4）数学抽象不仅有概念抽象仍有方法抽象；6、简述化归方法在数学教学中的应用；化归方法在数学教学中的功能至少可以归结为以下三个方面：（1）利用化归方法学习新学问；（2

12、）利用化归方法指导解题；（3）利用化归原就理清学问结构；7、简述用 MM 方法解决实际问题的基本步骤,并用框图加以表示；MM 方法解题的基本步骤为：（1）从现实原型抽象概括出数学模型；也称为建模阶段；（2）在数学模型上进行规律推理、论证或演算,求得数学问题的解；这也是数学求解阶段；（3）从数学模型过渡到现实原型,即把讨论数学模型所得到的结论,返回到现实原型上去,使实际问题得到解答；可用框图表示如下：8、试用框图表示用特别化方法解决问题的一般过程；用特别化解决问题的过程可用框图表示为：9、简述化归方法的和谐化原就；和谐化是数学内在美的主要内容之一；美与真在数学命题和数学解题中一般是统一的；因此,

13、我们在解题过程中,可依据数学问题的条件或结论以及数、式、形等的结构特点,利用和谐美去摸索问题,获得解题信息,从而确立解题的总体思路,达到以美启真的作用；10、什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子；算法的有限性是指,一个算法必需在有限步之内终止；以十进制小数的除法这个算法为例,如取数 2和 3 作为初始数据, 就有 2 3 0 . 6666,无论怎样连续这个过程都不能终止,同时也不会显现中断；因此,除法对于 2 和 3 这组数不符合算法有限性特点；11、简述培育数学猜想才能的途径；猜想才能培育可以贯穿于数学教学的方方面面；可以作为实施猜想才能培育的载体；12、简述特别化方法

14、在数学教学中的应用；特别化方法在数学教学中有重要的作用：新学问的学习、 数学规律的寻求、 解题思路的探究等都细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆（1）在挑选题时,我们常常挑选特别值来考察；（2）利用特别化探求问题的结论；（3）利用特别化检验一般结果；（4）利用特别化探究解题思路；13、什么是类比猜想？并举一个例子说明；人们运用类比法,依据一类事物所具有的某种属性,得出与其类

15、似的事物也具有这种属性的一种估计 性的判定,即猜想,这种思想方法称为类比猜想；例如,分式与分数特别相像,只不过是用字母代数而已；因此,我们可以猜想,分式与分数在定义、基本性质、约分、通分、四就运算等方面都是对应相像的；14、什么是归纳猜想？并举一个例子说明；人们运用归纳法,得出对一类现象的某种一般性熟识的一种估计性的判定,即猜想,这种思想方法称 为归纳猜想；例如,人们在量度了很多圆的周长和半径以后,发觉它们的比值总是近似等于 3.14,于是提 出了圆周率是 3.14 的猜想；后来数学家从理论上证明白圆周率的数值为,果真和 3.14 很接近；15、简述将“ 化隐为显” 列为数学思想方法教学的一条

16、原就的理由；由于数学思想方法往往隐含在学问的背后,学问教学虽然包蕴着思想方法,但假如不是有意识地把数学思想方法作为教学对象,在数学学习时,同学常常只留意处处于表层的数学学问,而留意不处处于深层的 思想方法；因此,进行数学思想方法教学时必需以数学学问为载体,把隐匿在学问背后的思想方法显示出 来,使之明朗化,才能通过学问教学过程达到思想方法教学的目的；四、解答题1、运用方程模型解应用题时,其中最重要的是“ 设想问题已经解出”、“ 用两种不同方式表示同一个量”、“ 方程个数和未知量个数相等” 这三个要点；这是为什么？请阐述你的懂得；解答：“ 设想问题已经解出”,即在列式时将未知量与已知量同等对待；这

17、是列方程中的一个重要思 想,也是它优于算术之处；在算术列式中,未知量只能列在等号左边,且系数必需为 1,已知量只能在等 号右边显现；已知量与未知量的位置截然不同,因此列式比较困难；而在方程列式中,已知量与未知量处 于同等位置,都可以在等号两边显现,于是列式就简洁多了；“ 用两种不同方式表示同一量”一个量,并用等号联结起来；“ 方程个数和未知量个数相等”,这是列方程的关键；所谓方程,其实就是用两种不同的方法表示同,是为了得到确定的解；这里有个自由度的思想；当方程个数少于未知量个数时,就会显现不定方程 组 ；这时方程 组 的解一般会有无穷多个；2、 1什么是类比推理？2写出类比推理的表示形式；3怎

18、样才能增加由类比得出的结论的牢靠性？解答： 1类比推理是指,由一类事物所具有的某种属性,可以估计与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法；2类比推理的表示形式为：A 具有性质 a 1,a 2,a n 及 d；B 具有性质 a 1,a 2,a n；因此, B 也可能具有性质 d ；3尽量满意以下条件可增加类比结论的牢靠性： A 与 B 共同 或相像 的属性尽可能多些； 这些共同 或相像 的属性应是类比对象 A 与 B 的主要属性； 这些共同 或相像 的属性应包括类比对象的不同方面,并且尽可能是多方面的； 可迁移的属性 d 应是和 a 1,a 2,a n 属于同一类型；3、圆周角定理证明思路如下

19、：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学而不思就惘,思而不学就殆将圆周角的两边所处的位置分成三种情形：角的一边落在直径上；角的两边在某始终径的两侧；角的两边在某始终径的同侧；如上图所示；先对情形进行证明,然后将情形、转化为情形分别 进行证明；最终得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论；试详细分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法；解答：该证明中用到下面几种数学思想方法：将圆周角分成三种情形,用到分类

20、方法；先证明角恰有一边在直径上的特别情形,用到特别化方法；将其他两种情形转化为角恰有角恰有一边在直径上的情形,用到 化归方法；通过对全部三种情形的证明,然后得出圆周角定理的结论,用 到完全归纳法； 证明过程中需要进行演绎推理,因此用到演绎方法；4、以“ 熟识长方形的对边相等” 为内容,设计一个教学片断；要求：教学过程要比较详细、合理,且有肯定的层次；要有与数学学问教学相联系的本课程中所学习 300 字 的数学思想方法教学内容；不少于 解答：将教学过程设计成四个层次：让同学说一说：我们四周有哪些长方形物体？同学会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例 子；要求同学认真观看：看一看、想一想,这些

21、长方形的四条边的长短有什么关系？同学经过观看后,会猜想：长方形相对的两条边长度相等；老师进一步提出问题：同学们敢于大胆猜想的精神值得勉励！我们怎样才能验证长方形相对的两条 边的长短相等呢？这时,同学会想出很多方法,如：用尺量、将图形对折等方法；老师顺势引导同学通过 量量、折折的详细操作,确信长方形相对的两条边长短相等；老师板书：长方形对边相等；接着,师生讨 论长方形“ 对边” 的含义,以及一个长方形有几组对边的问题；巩固长方形对边相等的熟识；利用多媒体展现下面的长方形：师：如何填写括号内的数字？为什么？要求同学会用“ 由于 所以 ” 句式回答；如“ 由于长方形的对边相等,已知长方形的一条边是4 厘米,所以它的对边也是4 厘米；” 第 5 页,共 5 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -