2022年一元二次方程解法.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一元二次方程解法一元二次方程的定义学问点 1、一元二次方程的定义果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫做一元二次方程；形如：a x2bxc0,a0留意： 一元二次方程必需同时满意以下三点：方程是整式方程；它只含有一个未知数；未知数的最高次数是2. 同时仍要留意在判定时,需将方程化成一般形式；例 以下关于 x 的方程,哪些是一元二次方程？x22523； x26x0；（ 3 ）xx5；（ 4 ）x20；（ 5 ）2xx3 x21学问点 2、 一元二次方程的一般形式一

2、元二次方程的一般形式为ax2bxc0（ a, b, c 是已知数,a0）；其中 a,b,c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项；留意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都包括它前面的符号；（2）要精确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必需把它先化为一般形式；（3）形如ax2bxc0不肯定是一元二次方程,当且仅当a0时是一元二次方程；例 1 将以下方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项；（1）5x27x； （2）x12 x23m8； （3）3 x4x3x22m=？2例 2 已知关于 x 的方程mxm 21x20是一元二次方程时,

3、就学问点 3 、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解,如：当 x 2 时,2 2x 3 x 2 0 所以 x 2 是 x 3 x 2 0 方程的解；一元二次方程的解也叫一元二次方程的根；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -因式分解法、直接开平方法学问点一 因式分解法解一元二次方程假如两个因式的积等于 0,那么这两个方程中至少有一个等于 0,即如 pq=0时,就 p=0 或 q

4、=0；用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为 0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积；（3）令每个因式分别为 0,得两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解；关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）娴熟把握多项式因式分解的方法,常用方法有：提公式法,公式法（平方差公式,完全平方公式）等；例 用因式分解法解以下方程：（ 1 ）5x24x；（ 2 ）2x23250；（ 3 ）x26xx952x2；学问点二直接开平方法解一元二次方程a,这种解一元如x2aa0,就 x 叫做 a 的平方根,表示为二次方程的方法叫做直接开平方法；（ 1）x2aa0的

5、 解 是x2ca；（ 2 ）cxm2nn0的 解 是；xnm；（ 3）mxnm0的解是xcn0 ,且m例 用直接开平方法解以下一元二次方程（1）9x2160； （2）x52160； （3）x523x12学问点三敏捷运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如axb2k0k0的方程,既可用因式分解法分解,也可用直接开平方法解；例 运用因式分解法和直接开平方法解以下一元二次方程；（1）4x52360；（2）12x230 第 2 页,共 9 页 学问点四用提公因式法解一元二次方程细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6、- 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出,将多项式写出因式的乘积形式,然后利用“ 如 pq=0 时,就 p=0 或 q=0” 来解一元二次方程的方法,称为提公因式法；如 ：0. 01t22t0, 将 原 方 程 变 形 为t0.01 t20, 由 此 可 得 出t0 或t20,即t 10,t22000. 0留意 ：在解方程时,千万留意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子,否就可能丢失原方程的根；学问点五 形如“x 2a b x b 0 a , b 为常数” 的方程的解法；对于形如“x 2

7、 a b x b 0 a , b 为常数” 的方程（或通过整理符合 其 形 式 的 ）, 可 将 左 边 分 解 因 式 , 方 程 变 形 为 x a x b 0, 就x a 0 或 x b 0,即 x 1 a , x 2 b；注 意 ：应 用 这 种 方 法 解 一 元 二 次 方 程 时, 要 熟 悉2“x a b x b 0 a , b 为常数” 型方程的特点；例 解以下方程：（1）x 2 5 x 6 0；（2）x 2x 12 0配方法学问点一 配方法解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方,再减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种方法叫做配方,配方后就可以

8、用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法；留意 ：用配方法解一元二次方程x2pxq0,当对方程的左边配方时,肯定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,仍要再减去这个数；例 用配方法解以下方程：（1）x26x50；（2）x27x202学问点二用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程的步骤：（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数；（2） 把原方程变为xm2n的形式； 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - （3） 如n0,用直接开平方法求出x 的值,如 n 0,原方程无解；例 解以下方

9、程：x24x30学问点三用配方法解二次项系数不是1 的一元二次方程细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当一元二次方程的形式为ax2bxc0a0,a1时,用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为 项的系数；1：方程的左、右两边同时除以二 2 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方,再减去这个数,把原方程化为xm2n的形式；（3）如n0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程；例 用配方法解以下方程：（1）3x29x20；（2）x24x30

10、公式法学问点一一元二次方程的求根公式x2bb24ac一元二次方程ax2bxc0a0的求根公式是：2a用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为axbxc0a0的 形 式 , 确 定 的 值a,b .c（ 注 意 符 号 ）；（ 2 ） 求 出b2ac4的 值 ；（ 3 ） 如b24a c0,就a,b.把及b24ac的值代人求根公式xbb24ac,求出2ax 1, x2；例 用公式法解以下方程（ 1 ）2x23x10；（ 2 ）2xx210；（ 3 ）x2x250学问点二挑选适合的方法解一元二次方程直接开平方法 用于解左边的含有未知数的平方式,右边是一个非负数或也是 一个含未知数的平方

11、式的方程因式分解 要求方程右边必需是0,左边能分解因式；公式法 是由配方法推导而来的,要比配方法简洁；留意：一元二次方程解法的挑选,应遵循先特别,再一般,即先考虑能否用直 接开平方法或因式分解法,不能用这两种特别方法时,再选用公式法,没有特 殊要求,一般不采纳配方法,由于配方法解题比较麻烦；例 用适当的方法解以下一元二次方程：（ 1 ）x2x3292x32； （ 2 ）x28x60； （ 3 ） 第 4 页,共 9 页 x210细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - -

12、- - - - - - - - - - -根的判别式的逆用在方程ax2bxc0a0中,b244ac 0（1）方程有两个不相等的实数根（2）方程有两个相等的实数根b2ac=0 0 （3）方程没有实数根b24ac留意 ：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范畴,但不能忽视二 次项系数不为 0 这一条件；例 m 为何值时,方程 2 m 1 x 2 4 mx 2 m 3 0 的根满意以下情形：（1） 有两个不相等的实数；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；留意：“ ” , “ x 1.x 2 ” ,“x 1+x2” 与“0” 的关系综合判定一元二次方程根的情形 0 1 有两个不相等的负

13、实数根 x1.x 20 x1+x20 2 有两个不相等的正实数根 x1.x 20 x1+x20 0 3 负根的肯定值大于正根的肯定值 x1.x 2 0 x1+x20 4 两个异号根正的肯定值较大 x1.x 20 0 5 两根异号,但肯定值相等 x1.x 206 一个负根,一个零根 x1.x2 0x1+x20 7 一个正根,一个零根 x1.x 20 x1+x20 0 8 有两个相等的负根 x1.x 20 x1+x20 0 x1+x20 0 10 有两个相的等的根都为零 x1.x 20 x1+x20 0 11 两根互为倒数 x 1.x 21 12 两根互为相反数 0 x 1+x20 13 两根异号

14、 0 14两根同号 0 x1.x 20 15 有一根为零 0 x1.x 20 16 有一根为 -1 0 a-b+c=0 17 无实数根 0 x 1 m x 2 m 019 ax 2+bx+c a 0这个二次三项式是完全平方式 0 20 方程 ax 2+bx+c 0 a 0（a、b、c 都是有理数）的根为有理根,就 是一个完全平方式；21 方程 ax2+bx+c 0 a 0的两根之差的肯定值为：x1x2a22 0, 方程 ax2+bx+c 0 a 0有相等的两个实数根；23 0, 方程 ax2+bx+c 0 a 0无实数根 . 24 方程 ax2+bx+c 0 a 0肯定有一根为“1” 0 a+

15、b+c=0 25 方程 ax2+bx+c 0 a 0的解为xxb1b24 acb24 ac0 第 6 页,共 9 页 2 a26 方程 ax2+bx+c 0 a 0如 0 就1x2ba细心整理归纳 精选学习资料 xx2ca - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 1、（2022 湖北孝感, 22,10 分）已知关于 x1,x2（1）求 k 的取值范畴；（2）如 |x1+x2|=x1x2 1,求 k 的值x 的方程 x2 2（k 1）x+k2=0 有两

16、个实数根分析：（1）方程有两个实数根,可得 =b2 4ac0,代入可解出k 的取值范畴；（2）结合（ 1）中 k 的取值范畴,由题意可知,式关系,可得出 k 的值解答： 解：（1）由方程有两个实数根,可得x1+x2=2（k 1） 0,去肯定值号结合等 =b2 4ac=4（k 1）2 4k20,解得, k1 2；. （2）依据题意可得,x1+x2=2（k 1）,由（ 1）可知 k1 2, 2（k 1） 0, 2（k 1）=k2 1,解得 k1=1（舍去）,k2= 3, k 的值是3答：（1）k 的取值范畴是k1 2；（2）k 的值是3例 2 已知：关于x 的方程 x2-2 （m+1）x+m 2=

17、0 （1）当 m取何值时,方程有两个实数根？（2）为 m选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求这两个根解：（1）当 0 时,方程有两个实数根-2 （m+1）2-4m2=8m+40 m-1 2（2）取 m=0时,原方程可化为x2-2x=0 ,解之得 x1=0,x 2=2 一元二次方程的根与系数的关系如x 1, x 2是一元二次方程ax2bxc0a0的两个根,就有x1x 2b, 第 7 页,共 9 页 a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

18、 - - - - - - -x 1x2ba依据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：x12x22xx1x222x1x22x22a2x1x2x2x1x223 x1x2x13x23x1x2x12x1x2x121x22x1x2x1xx2x2x1axax1x2ax1211x1x222x1x21x1x2x1x211x2x2x1x212x2x12x22x12x22x124x2x1x22x1x1x2x2例 1、（ 2022 湖北荆州, 9, 3 分）关于 x 的方程 ax2（ 3a+1）x+2 （a+1）=0 有两个不相等的实根 x 1、x 2,且有 x 1x 1x 2+x 2=1a,就 a 的值

19、是（）A、1 B、 1 C、1 或 1 D、 2 分析 ：依据根与系数的关系得出x1+x 2= ba, x1x 2= ca,整理原式即可得出关于a 的方程求出即可解答 ：解：依题意 0,即（ 3a+1）28a（a+1） 0,即 a 22a+10,（ a1）20,a 1,关于 x 的方程 ax 2（ 3a+1）x+2 （a+1） =0 有两个不相等的实根 x1、x2,且有 x 1x1x 2+x 2=1a, x 1x1x 2+x 2=1a, x1+x 2x1x 2=1a, 3a+1a 2a+2a=1a,解得： a=1,又 a 1,a=1应选： B例 2、 （2022 四川眉山, 17,3 分）已知

20、一元二次方程y2 3y+1=0 的两个实数根分别为y1、 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - y2,就（ y1 1）（y2 1）的值为 1分析： 先依据一元二次方程y2 3y+1=0 的两个实数根分别为y1、y2,求出y1+y2 及 y1.y2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -的值,再代入（y1 1）（y2 1）进行运算即可解答： 解：一元二次方程y2 3y+1=0 的两个实数根分别为y1y2,y1+y 2=3, y1.y2=1,（

21、y1 1）（y2 1）,=y1y2 y1 y2+1=y 1y2 （ y1+y 2）+1,=1 3+1,= 1故答案为：1例 3、（2022.玉林, 20,6 分）已知： x1、x2是一元二次方程求：（x1+x2）2（11）的值x 1x2x2 4x+1 的两个实数根分析： 先依据一元二次方程根与系数的关系确定出x1 与 x2 的两根之积与两根之和的值, 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - - 再依据11=x 1x2即可解答x 1x 2x 1x 2解答： 解：一元二次方程x2 4x+1=0 的两个实数根是x1、x2,x1+x 2=4,x1.x2=1,（ x1+x2）2（11）x 1x22 =4x 1x2=424=4x 1x 2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -