2022年上海市崇明区届高三一模数学试卷及答案解析.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室2022 年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有 5 分）12 题,满分 54 分,其中 1-6 题每题 4 分,7-12 题每题1（4 分）已知集合 A= 1,2,5 ,B= 2,a ,如 AB= 1,2,3,5 ,就 a=2（4 分）抛物线 y2=4x的焦点坐标为3（4 分）不等式0 的解是4（4 分）如复数 z 满意 iz=1+i（i 为虚数单位）,就 z=5（4 分）在代数式（ x）7的绽开式中,一次项的系数是（用数字作答）6（4 分）如函数 y=2sin（ x）+

2、1（0）的最小正周期是 ,就 =7（5 分）如函数 f（x）=xa的反函数的图象经过点（,）,就 a=8（5 分）将一个正方形围着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积为 27 cm3,就该几何体的侧面积为 cm29（5 分）已知函数 y=f（x）是奇函数,当 =2,就 a=x0 时,f（x）=2x ax,且 f（2）10（5 分）如无穷等比数列 an 的各项和为Sn,首项 a1=1,公比为 a,且Sn=a,就 a=11（5 分）从 5 男 3 女共 8 名同学中选出队长1 人,副队长 1 人,一般队员 2人组成 4 人理想者服务队,要求服务队中至少有1 名女生,共有种不同的选法（用数字

3、作答）12（5 分）在 ABC中,BC边上的中垂线分别交BC,AC于点 D,E如.=6,| =2,就 AC=二、挑选题（本大题共有4 题,满分 20 分）13（5 分）绽开式为 ad bc 的行列式是（）第 1页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室ABCD14（5 分）设 a,bR,如 ab,就（）ABlgalgb Csin asin b D2a2b15（5 分

4、）已知等差数列 an 的公差为 d,前 n 项和为 Sn,就 “ d0”是“ S 4+S62S5”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件16（5 分）直线 x=2 与双曲线 y2=1 的渐近线交于 A,B 两点,设 P 为双曲线上任一点,如 =a +b（a,bR,O 为坐标原点）,就以下不等式恒成立的是（）Aa2+b21 B| ab| 1 C| a+b| 1 D| a b| 2三、解答题（本大题共有 5 题,满分 76 分）17（14 分）如图,长方体 成的角为 60,ABCD A1B1C1D1 中,AB=BC=2,A1C 与底面 ABCD所（1）求四棱

5、锥 A1 ABCD的体积；（2）求异面直线 A1B 与 B1D1所成角的大小18（14 分）已知 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x 1（1）求 f（x）的最大值及该函数取得最大值时x 的值；,b=,且（2）在 ABC 中, a,b,c 分别是角A,B,C所对的边,如 a=f（）=,求边 c 的值19（14 分）2022 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅行项目 规第 2页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -

6、 - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室划从 2022 年起,在今后的如干年内,每年连续投资2 千万元用于此项目 .2022 年该项目的净收入为5 百万元,并猜测在相当长的年份里,每年的净收入均为n 上一年的基础上增长50%记 2022 年为第 1 年,f （n）为第 1 年至此后第（nN* ）年的累计利润（注：含第n 年,累计利润 =累计净收入 累计投入,单位：千万元）,且当 f （n）为正值时,认为该项目赢利（1）试求 f （n）的表达式；（2）依据猜测,该项目将从哪一年开头并连续赢利？请说明理由20（16 分）在平面直角坐标系中,已知椭圆C：+y2=1 （a

7、0,a 1）的两个焦点分别是 F1,F2,直线 l：y=kx+m（k,mR）与椭圆交于 A,B 两点（1）如 M 为椭圆短轴上的一个顶点,且MF1F2是直角三角形,求a 的值；（2）如 k=1,且 OAB是以 O 为直角顶点的直角三角形, 求 a 与 m 满意的关系；（3）如 a=2,且 kOA.kOB=,求证： OAB的面积为定值21（18 分）如存在常数 k（k0）,使得对定义域 D 内的任意 x1,x2（x1 x2）,都有 | f（x1） f（x2）| k| x1 x2| 成立,就称函数 f（x）在其定义域D 上是 “ k 利普希兹条件函数 ”（1）如函数 f（x）=,（1x4）是 “

8、k 利普希兹条件函数 ”,求常数 k 的最 小值；（2）判定函数 f（x）=log2x 是否是 “ 2 利普希兹条件函数 ”,如是,请证明,如 不是,请说明理由；（3）如 y=f（x）（xR ）是周期为 2 的“ 1 利普希兹条件函数 ”,证明：对任意 的实数 x1,x2,都有 | f（x1） f（x2）| 1第 3页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室2022

9、 年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 5 分）12 题,满分 54 分,其中 1-6 题每题 4 分,7-12 题每题1（4 分）已知集合 A= 1,2,5 ,B= 2,a ,如 AB= 1,2,3,5 ,就 a=3【解答】 解：集合 A= 1,2,5 ,B= 2,a,AB= 1,2,3,5 ,a=3故答案为： 32（4 分）抛物线 y2=4x的焦点坐标为（1,0）【解答】 解：抛物线 y2=4x 是焦点在 x 轴正半轴的标准方程,p=2焦点坐标为：（1,0）故答案为：（1,0）3（4 分）不等式0 的解是（ 1,0）【解答】 解：不等式0,即 x（x+1）

10、 0,求得 1x0,故答案为：（ 1,0）4（4 分）如复数 z 满意 iz=1+i（i 为虚数单位）,就 z=1 i【解答】 解：由 iz=1+i,得 z= =1 i故答案为： 1 i5（4 分）在代数式（ x）7的绽开式中,一次项的系数是21（用数字作答）第 4页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室【解答】解： （x）7的展开式的通项为=,由 7 3r=1,

11、得 r=2,一次项的系数是故答案为： 216（4 分）如函数 y=2sin（ x）+1（0）的最小正周期是,就 = 2【解答】 解：依据正弦函数的图象与性质,知 函数 y=2sin（ x）+1（0）的最小正周期是 T= =,解得 =2故答案为： 27（5 分）如函数 f（x）=xa的反函数的图象经过点（,）,就 a=【解答】 解：如函数 f（x）=xa的反函数的图象经过点（,）,就：（,）满意 f（x）=x,所以：,解得：,故答案为：8（5 分）将一个正方形围着它的一边所在的直线旋转一周,所得几何体的体积 为 27 cm3,就该几何体的侧面积为 18 cm2【解答】解：将一个正方形围着它的一边

12、所在的直线旋转一周,所得几何体是圆 柱体,acm,就圆柱体的体积为 设正方形的边长为 V= a2.a=27,第 5页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室解得 a=3cm；该圆柱的侧面积为 S=2 3 3=18 cm2故答案为： 189（5 分）已知函数 y=f（x）是奇函数,当=2,就 a=x0 时,f（x）=2x ax,且 f（2）【解答】 解：函数 y=f（

13、x）是奇函数,当 x0 时,f（x）=2x ax,x0 时, f（x）=2 x a（ x）,f（x）= 2 x ax,f（2）=2,f（2）= 2 2 2a=2,解得 a=Sn,首项 a1=1,公比为 a,且故答案为：10（5 分）如无穷等比数列 an 的各项和为Sn=a,就 a= 2【解答】 解：无穷等比数列 an 的各项和为 Sn,首项 a1=1,公比为 a,且 Sn=a,可得 =a,即有 =a,即为 2a2 5a+2=0,解得 a=2或,由题意可得 0| q| 1,即有 0| a| 1,检验 a=2成立； a= 不成立故答案为： 2第 6页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - -

14、 - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室11（5 分）从 5 男 3 女共 8 名同学中选出队长1 人,副队长 1 人,一般队员 2人组成 4 人理想者服务队,要求服务队中至少有1 名女生,共有780种不同的选法（用数字作答）【解答】 解：依据题意,要求服务队中至少有1 名女生,就分 3 种情形争论：、选出理想者服务队的 4 人中有 1 名女生,有 C53C31=30 种选法,这 4 人选 2 人作为队长和副队有

15、A42=12 种,其余 2 人为一般队员,有 1 种情形,此时有 30 12=360 种不同的选法,、选出理想者服务队的4 人中有 2 名女生,有 C52C32=30 种选法,这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种,其余 2 人为一般队员,有 1 种情形,此时有 30 12=360 种不同的选法,、选出理想者服务队的4 人中有 3 名女生,有 C51C33=5 种选法,这 4 人选 2 人作为队长和副队有 A42=12 种,其余 2 人为一般队员,有 1 种情形,此时有 5 12=60种不同的选法,就一共有 360+360+60=780；故答案为： 78012（5 分）在 AB

16、C中,BC边上的中垂线分别交BC,AC于点 D,E如.=6,| =2,就 AC=4【解答】 解：建立平面直角坐标系如下列图,设 B（ a,0）,C（a,0）,E（0,b）,ABC= ,由| | =2,知 A（ a+2cos,2sin ）,=（a 2cos,b 2sin ）,=（2a,0）,.=2a（a 2cos）+0=2a2 4acos =6,a2 2acos =3；又 =（2a 2cos, 2sin ）,第 7页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品

17、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室=（2a 2cos）2+（ 2sin ）2=4a2 8acos+4=4（a2 2acos）+4=4 3+4=16,| | =4,即 AC=4故答案为： 4二、挑选题（本大题共有 4 题,满分 20 分）13（5 分）绽开式为 ad bc 的行列式是（）ABCD【解答】 解：依据 叫做二阶行列式,它的算法是：ad bc,由题意得,=ad bc应选 B14（5 分）设 a,bR,如 ab,就（）ABlgalgb Csin asin b D2a2b【解答】 解：由 ab,利用指数函数的单调性可得：2a2b再利用

18、不等式的性质、 对数函数的定义域与单调性、 三角函数的单调性即可判定出 A,B,C不正确应选： D第 8页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室15（5 分）已知等差数列 an 的公差为 d,前 n 项和为 Sn,就 “ d0”是“ S 4+S62S5”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解答】 解： S4+S62S5

19、,4a1+6d+6a1+15d2（5a1+10d）,21d20d,d0,故“ d0”是“ S 4+S62S5”充分必要条件,应选： C16（5 分）直线 x=2 与双曲线 y2=1 的渐近线交于 A,B 两点,设 P 为双曲线上任一点,如 =a +b（a,bR,O 为坐标原点）,就以下不等式恒成立的是（）Aa2+b21 B| ab| 1 C| a+b| 1 D| a b| 2【解答】 解：双曲线 y2=1 的渐近线为： y=x把 x=2代入上述方程可得： y= 1不妨取 A（2,1）,B（2, 1）=a +b =（2a+2b,a b）代入双曲线方程可得： （ a b）2=1,化为 ab=ab,

20、化为： | a+b| 1应选： C三、解答题（本大题共有 5 题,满分 76 分）17（14 分）如图,长方体ABCD A1B1C1D1 中,AB=BC=2,A1C 与底面 ABCD所 第 9页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室成的角为 60,（1）求四棱锥 A1 ABCD的体积；（2）求异面直线 A1B 与 B1D1所成角的大小【解答】 解：（1）长方体 A

21、BCD A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1平面 ABCD,AC=2, A1CA是 A1C与底面 ABCD所成的角,A1C与底面 ABCD所成的角为 60, A1CA=60, AA1=AC.tan60 =2 .=2,S正方形 ABCD=AB BC=2 2=4,四棱锥 A1 ABCD的体积：V=（2） BD B1D1, A1BD是异面直线 A1B 与 B1D1所成角（或所成角的补角） BD=,A1D=A1B=2,cosA1BD= A1BD=arccos异面直线 A1B 与 B1D1 所成角是 arccos第10页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

22、 - - - - - - 第 10 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室18（14 分）已知 f（x）=2 sinxcosx+2cos2x 1（1）求 f（x）的最大值及该函数取得最大值时 x 的值；（2）在 ABC 中, a,b,c 分别是角 A,B,C所对的边,如 a=,b=,且f（）=,求边 c 的值【解答】 解：f（x）=2 sinxcosx+2cos2x 1= sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当 2x+ = 时,即 x=（kZ）,f（x）取得最

23、大值为 2；（2）由 f（）=,即 2sin（A+）=可得 sin（A+）=0AAA = 或A= 或当 A= 时, cosA= =a=,b=,解得： c=4当 A=时, cosA=0a=,b=,解得： c=2第11页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室19（14 分）2022 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅行项目 规划从 2022 年起,在今后

24、的如干年内,每年连续投资 2 千万元用于此项目 .2022 年该项目的净收入为 5 百万元,并猜测在相当长的年份里,每年的净收入均为上一年的基础上增长 50%记 2022 年为第 1 年,f （n）为第 1 年至此后第 n （nN* ）年的累计利润（注：含第n 年,累计利润 =累计净收入 累计投入,单位：千万元）,且当 f （n）为正值时,认为该项目赢利（1）试求 f （n）的表达式；（2）依据猜测,该项目将从哪一年开头并连续赢利？请说明理由【解答】 解：（1）由题意知,第 1 年至此后第 n（nN*）年的累计投入为 8+2（n 1）=2n+6（千万元）,第 1 年至此后第 n（nN*）年的累

25、计净收入为+ +=（千万元）f（n）= （ 2n+6）= 2n 7（千万元）（2）方法一： f（n+1） f（n） = 2（n+1） 7 2n7 = 4 ,当 n3 时, f（n+1） f（n）0,故当 n4 时, f（n）递减；当 n4 时, f（n+1） f（n） 0,故当 n4 时,f（n）递增又 f（1）=0,f（7）=5 21=0,f（8）=2325 23=20该项目将从第 8 年开头并连续赢利答：该项目将从 2023 年开头并连续赢利；方法二：设 f（x）= 2x 7（x1）,就 f （x）=,令 f（x）=0,得=5, x4第12页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - -

26、 - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室从而当 x 1,4）时, f（x）0,f（x）递减；当 x（4,+）时, f（x） 0,f（x）递增又 f（1）=0,f（7）=5 21=0,f（8）=2325 23=20该项目将从第 8 年开头并连续赢利答：该项目将从 2023 年开头并连续赢利20（16 分）在平面直角坐标系中,已知椭圆C：+y2=1 （a0,a 1）的两个焦点分别是 F1,F2,直线 l：y=kx+

27、m（k,mR）与椭圆交于 A,B 两点（1）如 M 为椭圆短轴上的一个顶点,且MF1F2是直角三角形,求a 的值；（2）如 k=1,且 OAB是以 O 为直角顶点的直角三角形, 求 a 与 m 满意的关系；（3）如 a=2,且 kOA.kOB=,求证： OAB的面积为定值【解答】 解：（1）M 为椭圆短轴上的一个顶点,且MF1F2是直角三角形, MF1F2为等腰直角三角形,OF1=OM,当 a1 时,=1,解得 a=,当 0a1 时,=a,解得 a=（2）当 k=1 时, y=x+m,设 A（x1,y1）,（x2,y2）,由,即（ 1+a2）x2+2a2mx+a2m2 a2=0,x1+x2=,

28、x1x2=,y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=, OAB是以 O 为直角顶点的直角三角形,.=0,第13页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室x1x2+y1y2=0,+=0,a2m2 a2+m2 a2=0m2（a2+1）=2a2,（3）证明：当 a=2 时,x2+4y2=4,设 A（x1,y1）,（x2,y2）,kOA.kO

29、B=,. =,x1x2= 4y1y2,由,整理得,（1+4k2）x2+8kmx+4m2 4=0x1+x2=,x1x2=,y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=+m2=,= 4,2m2 4k2=1,| AB| =.=.=2O 到直线 y=kx+m 的距离 d=.=,=1S OAB=| AB| d=第14页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公

30、众号：安逸数学工作室21（18 分）如存在常数 k（k0）,使得对定义域 D 内的任意 x1,x2（x1 x2）,都有 | f（x1） f（x2）| k| x1 x2| 成立,就称函数 f（x）在其定义域D 上是 “ k 利普希兹条件函数 ”（1）如函数 f（x）=,（1x4）是 “ k 利普希兹条件函数 ”,求常数 k 的最 小值；（2）判定函数 f（x）=log2x 是否是 “ 2 利普希兹条件函数 ”,如是,请证明,如 不是,请说明理由；（3）如 y=f（x）（xR ）是周期为 2 的“ 1 利普希兹条件函数 ”,证明：对任意 的实数 x1,x2,都有 | f（x1） f（x2）| 1【

31、解答】 解：（1）如函数 f（x）=,（1x4）是“ k 利普希兹条件函数 ”,就对于定义域 1,4 上任意两个 x1,x2（x1 x2）,均有 | f（x1） f（x2）| k| x1x2| 成立,不妨设 x1x2,就 k=,恒成立1x2x14,k 的最小值为（2）f（x）=log2x 的定义域为（ 0,+）,令 x1=,x2=,就 f（） f（）=log2 log2= 1 （ 2）=1,而 2| x1 x2| =, f（x1） f（x2）2| x1 x2| ,函数 f（x）=log2x 不是 “ 2 利普希兹条件函数 ”证明：（3）设 f（x）的最大值为 =M,f（b）=m,M,最小值为

32、m,在一个周期 0,2 内 f（a）就| f（x1） f（x2）| M m=f（a） f（b） | a b| 如| a b| 1,明显有 | f（x1） f（x2）| | a b| 1如| a b| 1,不妨设 ab,就 0b+2 a1,第15页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公众号：安逸数学工作室| f（x1） f（x2）| M m=f（a） f（b+2） | a b 2| 1综上, | f（x1） f（x2）| 1第16页（共 16页）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 16 页 - - - - - - - - -