2022年中考数学第二轮复习专题讲解几何计算题选讲.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载八几何运算题选讲几何运算题历年来是中考的热点问题；几何运算是以推理为基础的几何量的运算,主要有线段 与弧的长度运算、角和弧的度数运算、三角函数值的运算、线段比值的运算以及面积、体积的运算,从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关运算；解几何运算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等；一、三种常用解题方法举例例1如图, 在矩形 ABCD中,以边 AB为直径的半圆O恰与对边 CD相切于 T,与对角线AC交于 P,PEAB于 E,AB=10,求 PE的长 . 解法一 ：（几何法）连结OT,就 OTCD,且 OT=1 AB

2、5 2. BC=OT=5 ,AC=10025=55DTCBC是 O切线, BC 2 =CP CA. PPC= 5 , AP=CA-CP= 45. PE BC PEAP,PE=45 5=4. AOEBBCAC55说明：几何法即依据几何推理,由几何关系式进行求解的方法,推理时特殊要留意图形中的隐含条件解法二 ：（代数法）PE BC,PEAE. PECB1. CBABAEAB2设： PE=x,就 AE=2 x ,EB=10 2 x . 连结 PB. AB是直径, APB=90 0. 在 Rt APB中, PEAB, PBE APE . EB PE 1 . EP=2EB,即 x=2（10 2x）. E

3、P AE 2解得 x=4. PE=4. 说明：代数法即为设未知数列方程求解,关键在于找出可供列方程的相等关系,例如：相像三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式,以及其他的相等关系 . 解法三：（三角法）连结 PB,就 BPAC.设 PAB=在 Rt APB中, AP=10COS ,在 Rt APE中, PE=APsin , PE=10sin COS . 在 Rt ABC中, BC=5,AC=55. sin =555, 55COS =10255. PE=105255=4. 555说明：在几何运算中,必需留意以下几点：（1）留意“ 数形结合”,多角度,全方位观

4、看图形,挖掘隐含条件,查找数量关系和相等关系. （2）留意推理和运算相结合,先推理后运算,或边推理边运算,力求解题过程规范化. （3）留意几何法、代数法、三角法的敏捷运用和综合运用. 二. 其他题型举例例 2. 如图,ABCD是边长为 2 a 的正方形, AB为半圆 O的直径,DCCE切 O于 E,与 BA的延长线交于F,求 EF的长 . 以及正方形有关性质.分析：此题考察切线的性质、切割线定理、相像三角形性质、E名师归纳总结 FAOB第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载此题可用代数法求解 . 解：连结 OE, C

5、E切 O于 E, OECF EFO BFC,OE FE,又 OE= 1 AB= 1 BC, EF= 1 FB BC FB 2 2 2设 EF=x,就 FB=2x,FA=2x 2a FE 切 O于 E FE 2=FAFB, x 2=（ 2x 2a） 2x解得 x= 4 a,EF= 4 a. 3 3例 3已知：如图,O1 与 O2 相交于点 A、B,且点 O1 在 O2上,连心线 O1O2交 O1于点 C、D,交 O2 于点 E,过点 C作 CFCE,交 EA的延长线于点 F,如 DE=2,AE= 2 5（1）求证： EF是 O1的切线；F（2）求线段 CF的长；（3）求 tan DAE的值 .

6、分析：（1）连结 O1A,O1E 是 O2的直径, O1AEF,从而知EF 是 O1 的切线 . CO 1ADE和割线,运用切割线定（2）由已知条件DE=2,AE= 25,且 EA、EDC分别是 O1的切线O 2从而FC=FA.在 Rt 理 EA 2=ED EC,可求得 EC=10.由 CFCE,可得 CF是 O1 的切线,BEFC中,设 CF= x ,就 FE= x + 2 5 . 又 CE=10,由勾股定理可得：（x+ 2 5）2= x 2+10 2,解得 x = 4 5 . 即 CF= 4 5 . （3）要求 tan DAE的值,通常有两种方法：构造含DAE的直角三角形；把求 tan D

7、AE的值转化为求某始终角三角形一锐角的正切（等角转化）. 在求正切值时,又有两种方法可供挑选：分别求出两线段（对边和邻边）的值；整体求出两线段（对边和邻边）的比值 . 解：（1）连结 O1A,O1E 是 O2的直径, O1A EF EF 是 O1 的切线 . （2） DE=2, AE= 25,且 EA、EDC分别是 O1的切线和割线25. 又 CE=10,由勾股定EA 2=EDEC, EC=10 由 CFCE,可得 CF是 O1 的切线,从而FC=FA.在 Rt EFC中,设 CF= x ,就 FE= x +理可得：（x+25）2= x2+10 2,解得 x =45. 即 CF= 45. （3

8、）解法一：（构造含 DAE的直角三角形）作 DGAE于 G,求 AG和 DG的值 . 分析已知条件, 在 Rt A O1E中,三边长都已知或可求（O1A=4,O1E=6）,又 DE=2,且 DG A O1（由于 DGAE）,运用平行分线段成比例可求得 DG= 4 AG 4 5 , 从而 tan DAE= 5 . 3 3 5解法二：（等角转化）连结 AC,由 EA是 O1 的切线知 DAE= ACD.只需求 tan ACD.易得 CAD=90 0,所以只需求 AD 的值即可 . 观看AC和分析图形,可得ADE CAE,AD AE 2 5 5 . 从而 tan ACD= AD 5,即 tan DA

9、E= 5 . AC CE 10 5 AC 5 5说明：（1）从已知条件动身快速地找到基本图形,得到基本结论,在解综合题时更显出它的基础性和重要性 . 如此题（ 2）求 CF的长时,要能很快地运用切割线定理,先求出 CE的长 . 名师归纳总结 第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）方程思想是几何运算中一种常用的、重要的方法,要娴熟地把握 . 例 4. 如图, 已知矩形 ABCD,以 A为圆心, AD为半径的圆交AC、AB于 M、E,CE的延长线交 A 于 F,CM=2,AB=4. （1）求 A 的半径；F（2）求

10、 CF的长和AFC的面积 . G解：（ 1）四边形 ABCD是矩形, CD=AB=4,在 Rt ACD中,B E A AC 2=CD 2+AD,2（2+AD）2=4 2+AD 2,解得 AD=3. M（2）A 作 AG EF 于 G. BG=3, BE=AB AE=1 , C DCE= BC 2BE 2 3 2 1 2 102 2由 CE CF=CD 2,得 CF= CD 4 8 10 . 又 B=AGE=90 0,BEC=GEA, BCE GAE.BC CE,CE 10 5 AG AE即 3 10 , SAFC= 1 CFAG= 36 . AG 3 2 5例 5. 如图,ABC内接于 O,B

11、C=4,SABC= 6 3, B 为锐角,且关于 x 的方程 x 2 4xcosB+1=0 有两个相等的实数根 .D 是劣弧 AC上的任一点（点D不与点 A、C重合）, DE平分 ADC,交 O于点 E,交 AC于点 F. （1）求 B 的度数；OAFD质,解题时应留意（2）求 CE的长 . 分析：此题是一道综合了代数学问的几何运算题,考察了圆的有关性线段的转化 . E解：（1）关于 x 的方程 x 2 4xcosB+1=0 有两个相等的实数根,B H C =（-4cosB ）2-4=0. cosB= 1 ,或 cosB=-1 （舍去） . 2 2又 B为锐角, B=60 0. （2）点 A

12、作 AHBC,垂足为 H. S ABC= 1 BCAH= 1 BCABsin60 0= 6 3,解得 AB=6 2 2在 Rt ABH中, BH=ABcos60 0=61 =3,AH=ABsin60 0=63 3 3, CH=BC-BH=4-3=1. 在 Rt ACH中,2 2AC 2+CH 2=27+1=28. AC= 2 7（负值舍去） . AC= 2 7 . 连结 AE,在圆内接四边形 ABCD中, B+ADC=180 0, ADC=120 0. 又 DE平分 ADC, EDC=60 0=EAC. 又 AEC=B=60 0, AEC=EAC, CE=AC= 2 7 . 例 6. 已知：如

13、图,O的半径为 r ,CE切 O于点 C,且与弦 AB的延长线交于点 E,CDAB于 D.假如 CE=2BE,且 AC、BC的长是关于 x 的方程 x 2 3（r 2）x+ r 2 4=0 的两个实数根 . 求（ 1）AC、 BC的长；（2）CD的长 . 分析：（1）图中明显存在切割线定理的基本图形,从而可得ECB EAC,AC=2BC.又 AC、 BC是方程的两根,由根与系数关系可列出关于 AC、BC的方程组求解 . （2） CD是 Rt CDB的一边,所以考虑构造直角三角形与之对应 . 如过 C作直径 CF,连结 AF,就 Rt CDBRt CAF,据此可列式运算 . 解：（1） CE切

14、O于 C, ECB=A.又 E是公共角,C ECBEAC,BC BE 1, AC=2BC.由 AC、BC的长是关于 x 的方程 x 2 AD B E 3（r 2）x+ r 2AC CE 2 4=0 的两个实数根, AC+BC=3（r-2 ）；AC BC=r 2-4 ,解得 r=6 ,OBC=4,AC=8. （2）CO 并延长交 O 于 F,连结 AF,就 CAF=90 0, CFA=CBD. CDB=90 0=CAF, CAF CDB,AC CF. FCD BC名师归纳总结 第 3 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载CD

15、= AC BC 8 4 8 . CF 12 3说明：（1）这是一道代数、几何的综合题,关键是查找相像三角形,建立线段之间的比例关系,再依据根与系数关系列等式运算； （2）构造与相像的直角三角形的方法有很多种,同学们不妨试一试 . 例 7. 如图,ABC内接于 O,AB是 O的直径, PA是过 A 点的直线, PAC=B. （1）求证： PA是 O的切线；（2）假如弦 CD交 AB于 E,CD的延长线交PA于 F,AC=CEEB=65,AEEB=23,求 AB的长和 FCB的正切值. P解：（1） AB 是 O 的直径, ACB=90 0. CAB+B=90 0,又C PAC= B , CAB+

16、 PAC=90 0. 即 PA AB, PA是 O的切线 . （2）设 CE=6a ,AE=2x, 就 ED=5a,EB=3 x. A O B由相交弦定理,得 2x 3x=5a 6a x= 5 a. 连结 AD.由 BCEDAE,得F DBC EB 3 5 . 连结 BD.由 BED CEA,得 BD BE 5 . AD ED 5 AC AE 2BD= 4 5 . 由勾股定理得 BC= AB 8,AD= AB 4 5 2 . 2 22 2AB 8 3 5 . 两边平方,整理得 AB 2 100,AB 10（负值舍去） . AB 2 4 5 2 5AD= 2 5 . FCB=BAD, tan FCB= tan BAD= BD 4 5 2 . AD 2 5解几何运算题要求我们必需把握扎实的几何基础学问,较强的规律推理才能,分析问题时应留意分析法与综合法的同时运用,仍特殊要留意图形中的隐含条件,在平常的学习中要善于总结归纳,只有这样才能把握好几何运算题的解法 .名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页