2022年研究生《数值分析》试卷.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 级讨论生数值分析试卷名师归纳总结 一.6分 已知描述某实际问题的数学模型为ux,y 3x2yy2,其中,x,y 由统计方法第 1 页,共 6 页x得到,分别为x2 y4, 统计方法的误差限为0.01, 试求出 u 的误差限u 和相对误差限ru . 解：uu x ,yx ux ,yy6xyy2x3x22yy xyx2x484 0. 01 124 0 . 010 .44.016.06ru3 x2uy2.060.010714y56x二 .6分 已知函数fx3x31运算函数fx的 2 阶均差f,0,12 , 和 4 阶均差f0 ,12 ,34

2、. 解：f0 ,1f1 f0 411,3f,12f2 f 12542110211f0 ,12 f,12 f,012139202f0 ,12 ,34 f40.4三.6 分 试确定求积公式 : 1fx dx1f 0 f1 1f 0f 1 的代数精度 . 0212解：记I1fx dxI n1f0 f1 1f0 f 1 0212fx 1时：I1 0dx1nI121001212fx x时：I1 0xdx1nI111 12111222fx x2时：I1x2dx1nI111021032123fx x3时：I1x3dx1nI11103 1042124- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

3、- - - - fx x4时：I1x4dx1nI11104 1052126求积公式 0 1f x dx 12 f 0 f 1 12 1 f 0 f 1 具有 3 次代数精度 . 四 .12 分 已 知 函 数 f x 2 x 3x 2 2 x 1 定 义 在 区 间 -1,1 上 , 在 空 间2 x Span ,1 x , x 上求函数 f x 的正确平方靠近多项式 . 其中, 权函数 x 1 , f x , 0 x 4 , f x , 1 x 32 , f x , 2 x 4 . 3 15 151 1解： 0 x , 0 x 1 1 dx 2 0 x , 1 x 1 x , 0 x 1 x

4、 dx 0 0 x , 2 x 2 x , 0 x 1 x , 1 x 11 x 2dx 231 3 1 x , 2 x 2 x , 1 x 1 x dx 0 2 x , 2 x 11 x 4dx 252 0 2 43 a 0 3 a 0 1解方程组 0 2 0 a 1 32 得 a 1 163 15 52 0 2 a 2 4 a 2 13 5 15就 f x 的正确平方靠近多项式为：p x x 2 16 x 15五.16 分 设函数 f x 满意表中条件 : k 0 1 2 kx 0 1 2 f kx 1 0 1 f kx -2 0 1 填写均差运算表 标有 *号处不填 : 名师归纳总结 k

5、L2kxkffkxN2xfx k,xk1kfxk,x k1,xk20 0 1 k* ,0 ,12* 1 1 0 -1 * 2 2 1 1 1 2 分别求出满意条件xxk,fxk的 2 次 Lagrange 和第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Newton差值多项式 . 3 求出一个四次插值多项式H4x, 使其满意表中全部条件 . 并用多项式降幂形式表示. 解：L 2x x1 x2 x0 x1x22x101 0220 212N2x11 x0 1 x0x1 x22x1令H4x x22x1axbxx1 x2 就H4x2x2ax x1 x

6、2axb x1 x2 axbxxaxb x x1 由H4 122ab 121 20abb21H42 422 ab 2 22 a1解得a,3b5因此H4xx22x13x5 x x1 x23x414x320 x28x六.16 分 名师归纳总结 1. 用 Romberg方法运算3xdx, 将运算结果填入下表 * 号处不填 . kx 与系数第 3 页,共 6 页1kT2kS 2k1C2k2R 2k30 2.73205 * * * 1 2.78024 2.79630 * * 2 2.79306 2.79734 2.79740 * 3 2.79634 2.79743 2.79744 2.79744 2.

7、试确定三点 Gauss-Legender 求积公式1fx dxk20A kfxk的 Gauss 点1A , 并用三点 Gauss-Legender 求积公式运算积分 : 3xdx. 1解：过点（ 1,-1 ）和点（ 3,1）作直线得xty所以积分3xdx1t2dt11由三次 Legendre多项式p 3x15 x33x得得Gauss点：2x 015,x 1,0x 215,55- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 0A 1A 21 1 1 dt2再由代数精度得315A 05,15 5A 21 1 x dt053 5A 22A 01 1 x2dt53A 0

8、A 1A 22即A 0A 20A 0A 210/9解得A 05,A 18,A 2999所以三点 Gauss-Legendre 求积公式为：1fx dx15f2dx158f05 9f215215.27974619595因此It521585195995七.14 分 名师归纳总结 1 证明方程xln x20在区间 1, 有一个单根 . 并大致估量单根的取值范畴. 第 4 页,共 6 页2 写出 Newton 迭代公式 , 并运算此单根的近似值 . 要求精度满意 : |xk1x k|105. 解：令fxxlnx2fx110 ,x,1 即fx 在区间 ,1单调增x又f 2 ln20 ,fe2e240所以

9、xln x20在区间,1有一单根x 0,12 eNewton 迭代公式为xk1x kx k1lnxk2xkxxklnxk1k1x k令0x2运算得0x2 |xk1xk|1x3.386294 1.386294 2x3.149938 0.236356 3x3.146194 0.003744 4x3.146193 0.000001 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 八. 12 分 用追逐法求解方程组 : 2111x 1113x2211x 3221x40的解. 名师归纳总结 解： 由运算公式1b 11,i,c 11i1i1i3,2,n2 ,2c22第 5 页,

10、共 6 页a ii,b ii1得12,c iii2,n,1,141 2,111235b 21c212122222252323b 31311237133c 33c355533b 41257434413322即ALU215521132因此131511151213 12令Lyb解25371得y 11 23 57 323y 112y 22y 21y 32y 35y 40y 423- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令Uxy解1125x 11 23 5732得x 1021x 2x 215x 3x 311x 4x 423 1九. 12分 设求解初值问题yfx ,y

11、的运算格式为 : xn1yn1, 试 确 定 参 数yx 0y 0yn1y nh afxn,ynbfxn1,yn1, 假 设yx nyn,ya,b的值, 使该运算格式的局部截断误差为二阶, 即截断部分为 : o h3.（注：原题中o h2错误）名师归纳总结 解：y n1ynh afx n,y nbfxn1,y n1第 6 页,共 6 页对比yyxnh ay xnby xn1nhayx nhb yxnhyxn1h2yx ny x2yxnhaby xnh2by x n1h3 byx n2x n1yx nhy xn1h2yxn1h3yx n26得ab1, 即ab1/2时该运算格式具有二阶精度. b1/2- - - - - - -