2022年中考压轴题之因动点产生的相似三角形问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 因动点产生的相像三角形问题例 1 20XX 年上海市中考第24 题A如图 1,在平面直角坐标系xOy 中,顶点为M 的抛物线yax2bx（a0）经过点和 x 轴正半轴上的点B,AOBO2, AOB120 （1）求这条抛物线的表达式；（2）连结 OM,求 AOM 的大小；（3）假如点 C 在 x 轴上,且ABC 与 AOM 相像,求点C 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板“ 13 上海 24” ,拖动点 C 在 x 轴上运动,可以体验到,点 C 在点 B 的右侧,有两种情形,ABC 与 AOM 相像请打开超级画板文件名“13 上海 24” ,拖

2、动点 C 在 x 轴上运动,可以体验到,点 C 在点 B 的右侧,有两种情形,精确位置；思路点拨ABC 与 AOM 相像点击按钮的左部和中部,可到达相像的1第（ 2）题把求 AOM 的大小,转化为求BOM 的大小2由于 BOM ABO30 ,因此点 C 在点 B 的右侧时,恰好有ABC AOM 3依据夹角相等对应边成比例,分两种情形争论满分解答ABC 与 AOM 相像（1）如图 2,过点 A 作 AHy 轴,垂足为 H在 Rt AOH 中, AO2, AOH 30 ,名师归纳总结 所以 AH 1,OH 3 所以 A 1, 3 入x2点33A 1, 3,可得第 1 页,共 14 页由于抛物线与x

3、 轴交于 O、B2,0两点,设yaxx2,代a332x 图 2 3所以抛物线的表达式为y3x x233- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）由y32 x2 3x3x2 13,3333得抛物线的顶点M 的坐标为1,3所以tanBOM333所以 BOM 30 所以 AOM150 得（3）由 A 1, 3 、B2,0、M1,3,3tanABO3,AB23,OM2 3 33所以 ABO30 ,OA3OM因此当点 C 在点 B 右侧时, ABC AOM 150 ABC 与 AOM 相像,存在两种情形：如图 3,当BAOA3时,BCBA2 32此时 C4,0BC

4、OM33如图 4,当BCOA3时,BC3BA32 36此时 C8,0BAOM图 3 图 4 考点舒展在此题情境下,假如ABC 与 BOM 相像,求点 C 的坐标如图 5,由于BOM 是 30 底角的等腰三角形,ABO 30 ,因此ABC 也是底角为 30 的等腰三角形,AB AC,依据对称性,点 C 的坐标为 4,0图 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 20XX 年苏州市中考第 29 题如图 1,已知抛物线y12 x1 b41xb（b 是实数且 b 2）与 x 轴的正半轴分别交44于点 A、B（点 A

5、位于点 B 是左侧）,与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为 _,点 C 的坐标为 _（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探究在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB 的面积等于2b,且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？假如存在,求出点 明理由；P 的坐标；假如不存在,请说（3）请你进一步探究在第一象限内是否存在点 Q,使得QCO、 QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相像（全等可看作相像的特别情形）？假如存在,求出点 Q 的坐标；假如不存在,请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板“ 12 苏州 29” ,拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动,可以体验到

6、,点 P到两坐标轴的距离相等,存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻 双击按钮 “ 第（ 3）题” ,拖动点 B,可以体验到,存在OQA B 的时刻,也存在OQA B 的时刻思路点拨1第（ 2）题中,等腰直角三角形PBC 示意了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP,把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b 的式子表示3第（ 3）题要探究三个三角形两两相像,第始终觉这三个三角形是直角三角形,点 Q最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为 b, 0,点 C 的坐标为 0, b 4（2）如图 2,过点 P 作 PDx 轴,PE y 轴,

7、垂足分别为 因此 PDPE设点 P 的坐标为 x, x 如图 3,联结 OPD、E,那么 PDB PEC名师归纳总结 所以 S 四边形 PCOBS PCOS PBO1 2b x 41b x5bx2b第 3 页,共 14 页28- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得x16所以点 P 的坐标为 16 16 ,5 55图 2 图 3 （3）由 y 1 x 2 1 b 1 x b 1 x 1 x b,得 A1, 0,OA14 4 4 4如图 4,以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC,那么OQC QOA当BA QA,即 QA 2BA OA 时, BQA QO

8、AQA OA所以 b 2b 1解得 b 8 4 3所以符合题意的点 Q 为 1,2 3 4如图 5,以 OC 为直径的圆与直线 因此 OCQ QOAx1 交于点 Q,那么 OQC90 ；当BA QAQA时, BQA QOA此时 OQB90 4此时 Q1,4OA所以 C、Q、B 三点共线因此BOQA,即bQA解得QACOOAb14图 4 图 5 考点舒展第（ 3）题的思路是,A、C、O 三点是确定的,B 是 x 轴正半轴上待定的点,而QOA与 QOC 是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情形这样, 先依据QOA 与 QOC 相像把点 Q 的位置确定下来,再依据两直角边对应成比例确

9、定点 B 的位置名师归纳总结 如图中,圆与直线x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？第 4 页,共 14 页假如符合题意的话,那么点B 的位置距离点A 很近,这与OB4OC 冲突- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 20XX 年黄冈市中考模拟第 25 题如图 1,已知抛物线的方程C1：y1 mx2xm m 0与 x 轴交于点 B、 C,与y 轴交于点 E,且点 B 在点 C 的左侧（1）如抛物线C1 过点 M2, 2 ,求实数 m 的值；H,使得 BHEH 最小,求出点H（2）在（ 1）的条件下,求BCE 的面积；（3）在（ 1）的条件下,

10、在抛物线的对称轴上找一点的坐标；（4）在第四象限内,抛物线C1 上是否存在点F,使得以点B、C、F 为顶点的三角形与 BCE 相像？如存在,求动感体验m 的值；如不存在,请说明理由图 1 请打开几何画板“ 12 黄冈 25”,拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动,观看左图,可以体验到, EC 与 BF 保持平行,但是BFC 在无限远处也不等于 45 观看右图,可以体验到,CBF 保持 45 ,存在 BFC BCE 的时刻思路点拨1第（ 3）题是典型的“ 牛喝水” 问题,当H 落在线段 EC 上时, BH EH 最小2第（ 4）题的解题策略是：先分两种情形画直线 BF ,作 CBF EBC45 ,

11、或者作 BF/EC再用含 m 的式子表示点 于 m 的方程满分解答F 的坐标然后依据夹角相等,两边对应成比例列关（1）将 M2, 2代入y1 mx2xm ,得211242m 解得 m4m（2）当 m4 时,y1x2x41 4x2x所以 C4, 0, E0, 242所以 S BCE1 2BC OE1 2626（3）如图 2,抛物线的对称轴是直线x1,当 H 落在线段 EC 上时, BHEH 最小名师归纳总结 设对称轴与x 轴的交点为P,那么HP CPEO第 5 页,共 14 页CO- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此HP2解得HP3所以点 H 的坐标为

12、1, 32342（4）如图 3,过点 B 作 EC 的平行线交抛物线于F,过点 F 作 FF x 轴于 F由于 BCE FBC,所以当CE CBBC,即BC2CE BF 时,BCE FBCBF设点 F 的坐标为 ,1x2xm ,由FFEO,得1 mx2xm 2mBFCOx2m解得 xm2所以 Fm2, 0由COBF,得m42m4所以BFm42 m4CEBFm2BFm由BC2CE BF ,得 m22 m4m42 m4m整理,得 016此方程无解图 2 图 3 图 4 如图 4,作 CBF 45 交抛物线于F,过点 F 作 FF x 轴于 F,由于 EBC CBF,所以BE BC,即 BC 2BE

13、 BF 时, BCE BFCBC BF在 Rt BFF中,由 FF BF,得1 x 2 x m x 2m解得 x2m所以 F 2 m ,0所以 BF 2m 2,BF 22 m 2由 BC 2BE BF ,得 m 2 22 2 22 m 2解得 m 2 2 2综合、,符合题意的 m 为 2 2 2 考点舒展第（ 4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F、F 的坐标后,依据两点间的距离公式求 BF 的长名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4 20XX 年义乌市中考第 24 题如图 1,已知梯形OABC,抛物线分别过点

14、O（0,0）、A（2,0）、B（6, 3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线OA、CB 以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点 O1、A1、C1、B1,得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S,A1、 B1 的坐标分别为 x1,y1、x2,y2用含 S 的代数式表示 x2 x1,并求出当 S=36时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中,设点 D 的坐标为 1,3,动点 P 从点 B 动身,以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动,动点 Q 从点 D 动身,以与点 P 相同的

15、速度沿着线段 DM 运动 P、Q 两点同时动身,当点 Q 到达点 M 时,P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t,是否存在某一时刻 t,使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线 PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相像？如存在,恳求出t 的值；如不存在,请说明理由图 1 图 2 动感体验请打开几何画板“ 10 义乌 24”,拖动点I 上下运动,观看图形和图象,可以体验到,x2x1随 S 的增大而减小双击按钮“ 第（3）题” ,拖动点 Q 在 DM 上运动,可以体验到,假如 GAF GQE,那么GAF 与 GQE 相像思路点拨1第（ 2）题用含S的代数式表示

16、x2x1,我们反其道而行之,用x1,x2 表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图,在没有运算结果的情形下,无法画出精确的位置关系,因此此题的策略是先假设,再说理运算,后验证3第（ 3）题的示意图,不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变,直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率,因此假设直线 PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方,或者假设交点 G 在 x 轴的上方满分解答名师归纳总结 （1）抛物线的对称轴为直线x1,解析式为y12 x1x ,顶点为 M（1,1）第 7 页,共 14 页84

17、8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 1（ 2 ）梯 形O1A1B1C1 的 面 积S2x 11x 21x 23x 1x 26, 由 此 得 到2x 2s 32由于y 2y 13,所以y 2y 11 82 x 211 82 x 11x 13整理,得44 x 2 x 1 1 x 2 x 1 13因此得到 x 2 x 1 728 4 Sx 2 x 1 14, x 1 6,当 S=36 时,解得 此时点 A1 的坐标为（ 6,3）x 2 x 1 2. x 2 8.（3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G,直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E,直线 PQ

18、与 x轴交于点 F,那么要探求相像的GAF 与 GQE,有一个公共角G在 GEQ 中, GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角,为定值在 GAF 中, GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角,也为定值,而且GEQ GAF因此只存在 GQE GAF 的可能, GQE GAF这时 GAF GQE PQD 由于tanGAF3 4, tanPQDDQ5tt,所以3 45tt解得t20QP7图 3 图 4 考点舒展名师归纳总结 第（ 3）题是否存在点G 在 x 轴上方的情形？如图4,假如存在,说理过程相同,求得3第 8 页,共 14 页的 t 的值也是相同的 事实上, 图 3 和图 4 都是假设存在

19、的示意图,实际的图形更接近图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 5 20XX 年临沂市中考第 26 题如图 1,抛物线经过点A4,0、B（1, 0、 C（ 0, 2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点,过 P 作 PM x 轴,垂足为 M,是否存在点 P,使得以A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相像？如存在,恳求出符合条件的 点 P 的坐标；如不存在,请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点D,使得DCA 的面积最大, 求出点 D 的坐标,图 1 动感体验请打开几何画板“ 09 临沂 26” ,拖动点 P 在抛

20、物线上运动,可以体验到,PAM 的形状在变化,分别双击按钮“P 在 B 左侧” 、“P 在 x 轴上方” 和“P 在 A 右侧” ,可以显示PAM 与 OAC 相像的三个情形双击按钮“ 第 3题” , 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动,观看DCA 的外形和面积随 D 变化的图象,可以体验到,E 是 AC 的中点时,DCA 的面积最大思路点拨1已知抛物线与 x 轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便2数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长3依据两条直角边对应成比例,分两种情形列方程4把 DCA 可以分割为共底的两个三角形,高的和等于 OA满分解答名师

21、归纳总结 y（ 1）由于抛物线与x 轴交于A4 , 0 、 B （ 1 , 0 两点,设抛物线的解析式为第 9 页,共 14 页a x1 x4,代入点 C 的 坐标（ 0, 2）,解得a1所以抛物线的解析式为2y1x1 x4 1x25x2222（2）设点 P 的坐标为x ,1x1 x4 2如图 2,当点 P 在 x 轴上方时, 1x4,PM1x1 x4 ,AM4x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 假如AMAO2,那么1x1 x42解得x5不合题意2PMCO4x假如AMAO1,那么1x1 x4 1解得x22PMCO24x2此时点 P 的坐标为（ 2,1

22、）如图 3,当点 P 在点 A 的右侧时, x 4,PM1x1 x4 ,AMx42解方程1x1 x4 2,得x5此时点 P 的坐标为5 ,22x4解方程1x1 x4 1,得x2不合题意2x424x如图 4,当点 P 在点 B 的左侧时, x 1,PM1x1 x4 ,AM2解方程1x1 x4 2,得x3此时点 P 的坐标为3 ,1424x解方程1x1 x4 1,得x0此时点 P 与点 O 重合,不合题意24x2综上所述,符合条件的点 P 的坐标为（ 2,1）或,314或5 ,2 图 2 图 3 图 4 名师归纳总结 （3）如图 5,过点 D 作 x 轴的垂线交AC 于 E直线 AC 的解析式为y

23、1 x 22第 10 页,共 14 页设点 D 的横坐标为m1m4,那么点 D 的坐标为 m ,1m25 2m,点 E 的2 2坐标为m ,1m2 所以DE12 m5m2 1m2 12mm222222因此S DAC11m22 m 4m24mm22422- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当m2时, DCA 的面积最大,此时点D 的坐标为（ 2,1）图 5 图 6 考点舒展第（ 3）题也可以这样解：如图 6,过 D 点构造矩形OAMN ,那么DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去 CDN 和 ADM 的面积名师归纳总结 设点 D 的横坐标为（ m,

24、n）1m4 ,那么m m2 n4第 11 页,共 14 页S1 2 n2 41m n2 1n 4222由于n1m25m2,所以Sm24m22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6 20XX 年苏州市中考第 29 题图 1 动感体验请打开几何画板“ 08 苏州 29” ,拖动表示 a 的点在 y 轴上运动,可以体验到,当抛物线经过点 E1 和 E3 时,直线 NE1、NE3 和直线 AB 交于同一个点 G,此时POB PGN当抛物线经过点 E2 和 E4 时,直线 NE2、 NE4 和直线 AB 交于同一个点 G,可以体验到,这个点 G 在点 N 右侧

25、较远处思路点拨1求等腰直角三角形OAB 斜边上的高OH ,解直角三角形POH 求 k、b 的值2以 DN 为边画正方形及对角线,可以体验到,正方形的顶点和对角线的交点中,有符合题意的点 E,写出点 E 的坐标,代入抛物线的解析式就可以求出 a3当 E 在 x 轴上方时,GNP 45 ,POB PGN ,把 PB PG 转化为PO PN 144当 E 在 x 轴下方时,通过估算得到 PB PG 大于 10 2 满分解答 （1）OH 1,k 3,b 2 33 3（2）由抛物线的解析式 y a x 1 x 5,得点 M 的坐标为 1,0 ,点 N 的坐标为 5,0 名师归纳总结 - - - - -

26、- -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 因此 MN 的中点 D 的坐标为（ 2,0）,DN3由于 AOB 是等腰直角三角形,三角形假如 DNE 与 AOB 相像, 那么 DNE 也是等腰直角如图 2,假如 DN 为直角边,那么点 E 的坐标为 E1（2,3）或 E2（2, 3）将 E1（2,3）代入 y a x 1 x 5,求得 a 13此时抛物线的解析式为 y 1 x 1 x 5 1 x 2 4 x 53 3 3 3将 E2（2, 3）代入 y a x 1 x 5,求得 a 13此时抛物线的解析式为 y 1 x 1 x 5 1x 2 4x 53 3

27、3 3假如 DN 为斜边,那么点 E 的坐标为 E3 3 1,1 1 或 E4 3 1, 1 12 2 2 2将 E3 3 1 ,1 1 代入 y a x 1 x 5,求得 a 22 2 9此时抛物线的解析式为 y 2 x 1 x 5 2 x 2 8 x 109 9 9 9将 E4 3 1 , 1 1 代入 y a x 1 x 5,求得 a 22 2 9此时抛物线的解析式为 y 2 x 1 x 5 2 x 2 8 x 109 9 9 9图 2 图 3 对于点 E 为 E1（2,3）和 E3 3 1 ,1 1,直线 NE 是相同的, ENP 45 2 2又 OBP45 , P P,所以POB P

28、GN因此 PB PG PO PN 2 7 14 10 2对于点 E 为 E2（2, 3）和 E4 3 1 , 1 1 ,直线 NE 是相同的2 2此时点 G 在直线 x 5 的右侧,PG 14 33又 PB 4 3,所以 PB PG 14 3 4 3 14 4 10 23 3 3 3考点舒展名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在此题情形下,怎样运算 PB 的长？名师归纳总结 如图 3,作 AFAB 交 OP 于 F,那么 OBC OAF,OFOC2 33,PF223,第 14 页,共 14 页3PA3PF322331,所以PB31223- - - - - - -