2022年“类比推理”课堂实录与评析.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -“ 类比推理” 课堂实录与评析“ 类比推理” 是高中课程标准教科书的新增内容（见人民训练出版社选修数学 2-2 （A版）其次章）,笔者在执教这部分内容时, 收成良多,曾获北京市青年老师优质课评比一等奖,第五届“ 卡西欧” 杯全国高中青年数学老师优质课观摩与评比一等奖鉴于此,笔者特将本节课的教学实录与评析整理如下,供各位同仁参考1. 教学过程简录1.1 创设情境,引入新课师： 请同学们看一组图片 . 展现正在热映的 2022 年美国科幻巨作阿凡达海报图片 生：阿凡达！师：阿凡达是以外星生命为题材的科幻电影, 目

2、前为止全球票房收入超过 26 亿美元以外星生命为题材的科幻片仍有很多,比如长江七号、火星珍宝等这些影片的票房收入都很高,它们都是以外星生命为题材的科幻电影,由此得出结论：以外星生命为题材的科 幻电影票房收入都很高这是怎样的推理方法？说明它的的含义 . 生 1：归纳推理它是由一类对象的部分具有的特点估计这类对象的全体所具备的特点师： 为什么以外星生命为题材的科幻电影票房收入都很高？为什么人们爱看呢？生（笑）：奇怪！没见过师： 到底存在外星人吗？外星生命是艺术家的凭空幻想仍是有依据的推理呢？同学众说纷纭生 2：我认为有,宇宙那么大,地球上有生命存在,别的星球上也许也会有！师（追问）：为什么地球上有

3、生命存在,别的星球就也许也会有？生 2: （稍作摸索）由于宇宙那么大,完全可能存在一些跟地球类似的星球地球上有生 命存在,那么这些星球上也可能有生命存在！1.2 探究新知,形成概念 师： 想法很好！我想也是基于这样的摸索,艺术家们才绽开了这么多关于外星生命的猜 想！请同学们摸索,这种推理方法是归纳推理吗？为了争论清晰这个问题,我们举例说明：宇宙那么大,可能存在一些星球跟地球类似,你情愿用哪个星球？生： 火星！师：平常咱们看到某个同学很怪异,会说“ 你是从火星来的吧！” 不仅如此,我们仍能发 现,在众多的以外星生命为题材的电影中,关于火星的电影最多你知道这是为什么吗？细心整理归纳 精选学习资料

4、- - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -生（三言两语）：由于人们比较明白火星；由于火星和地球有很多相像的地方 师： 有哪些相像的地方？生（三言两语）：有水！有大气层、有季节变化、有类似的地貌,比如有山、有合适的气 温 师： 通过人们的争论,发觉火星和地球有很多类似特点依据地球上有生命存在,有理 由估计：火星上也有生命存在数学学习中也常常用到这样的推理方法,比如对不等式的性 质的争论常常依靠于对等式的性质的明白：如如ab,就accb

5、cd如如a,b ,就accbcdadadb ,c,就abbc,就ab这样的推理方法生活中也很多,比如：奥地利医生奥恩布鲁格观看到父亲常常用手指敲 击盛酒的木桶,依据声音估计桶内的酒仍剩多少,联想到胸腔和酒桶有类似之处,从而创造 了叩诊法通过叩击人体胸腔的方法判定其中有无积水或积水的多少 . 请同学们想一想,这样的推理方法是一种什么样的模式？是在怎样进行推理？生 3：两个事物先找共同点,已知一个事物的特点,可以估计另一类也有这种特点 . . 师： 这样的推理方式就是今日咱们要学习的类比推理（板书课题及定义）类比推理： 由两类对象具有某些类似特点,和其中一类对象的某些已知特点,推出另一 类对象也具

6、有这些特点的推理成为类比推理简言之,类比推理是由特殊到一般的推理师： 你能举出日常学习和生活中类比推理的例子吗？同学争论 . 生 4：比如争论欧拉公式的过程中,发觉三角形符合欧拉公式,估计四边形也符合欧拉 公式. 生 5：比如化学中同一种族的元素具备类似的特点钠遇到水有剧烈的反应,可估计钾 遇到水也会有剧烈的反应1.3 初步应用,完善熟悉 师： 老师这里也有一些例子,请大家一起看看：练习 1：类比|x|cc0 ccxxc,可得到|fx|cc0 第 2 页,共 8 页 c c0 fc. 生 6：|fx|细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - -

7、 - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -练习 2：（1）类比以点（ a, b）为圆心, r 为半径的圆的方程：xa2yb2r2,可得到以点（ a, b, c）为球心, r 为半径的球的方程应为（2）类比“ 与圆心距离相等的弦长度相等” 可得到球的什么性质？师： 回答疑题之前,我想先请同学摸索：为什么圆和球可以进行类比？生 7：由于它们有类似的概念！都是到定点距离等于定长的点的集合师： 很好！它供应了这两类对象可以进行类比的前提！请你说说相关的结论！生 8：（1）类比以点（ a, b）为圆心, r 为半径的圆的方程：x2

8、a2zy2b22r2,可得到以点（ a, b, c）为球心, r 为半径的球的方程应为xa2yb cr（2）类比“ 与圆心距离相等的弦长度相等” 可得到“ 与球心距离相等的截面圆的面积 相等” 练习 3：2004 年北京高考题中显现了一个新的名词等和数列,你会怎样给“ 等和数 列” 下定义？生 9：从其次项起,每一项与前一项的和是同一个常数,这样的数列叫等和数列师： 你是怎样想到这样定义的？生 9：由于等差数列和等比数列有类似的定义师： 从这个过程咱们不难发觉,在实际生活和创造制造中,往往需要咱们从已有的学问入手,通过联想查找到合适的类比对象在此基础上进行类比,探寻你所要争论对象的性质（板书）

9、类比推理的步骤： （1）查找合适的类比对象； （2）由一类对象的已知特点估计 另一类对象也具备这些特点,得出一个猜想师： 接下来,请大家查找一个合适的类比对象,告知我：类比“ 平面内,平行于同一条直线的两条直线相互平行”,你能得到什么结论？（PPT 展现练习 4）生 10：空间内,平行于同一平面的两个平面相互平行生 11：空间内,平行于同始终线的两条直线相互平行生 12：空间内,平行于同一平面的两条直线相互平行生 13：平面内,垂直于同始终线的两条直线相互平行生 14：这个不对！仍有上面那个也不对！师： 你指的什么不对？不是类比推理吗？生 14：是类比推理,不过结论不对！师： 哦,我们发觉其中

10、有两个由类比推理获得的结论是错误的,这说明什么问题呢？生： 类比推理和归纳推理一样,结论有可能是错误的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1.4 应用学问 , 巩固提高 师： 通过练习 4,我们发觉平面内的直线可以类比为空间中的直线和平面,而从维度升 高的角度,直线就应当类比为平面点呢？平面图形呢？平面 空间点 线 直线 平面 平面图形 立体图形生： 点可类比为线,平面图形应当类比为立体图形师： 平

11、面图形应当类比为立体图形,比如圆可以类比为球正方形呢？生： 正方体！师： 为什么？它们有什么类似特点呢？生 15：由于正方体每个面都是正方形师： 我想这应当是正方体和正方形之间的联系,它们之间有什么相像特点呢？生 15：正方形全部边长相等,正方体全部棱长相等师： 从维度上升的角度正方体仍有什么类似特点吗？生 15：正方体全部面的面积相等师： 除此以外仍有吗？正方形除了边相等仍有什么特点？生 16：邻边相互垂直！师： 正方体有类似的特点吗？生 16：正方体相邻的面相互垂直！师： 全部从这些类似特点作为基础,正方形可以类比为正方体那么长方形、平行四边 形在立体几何中的类比对象是什么呢？生 17：长

12、方体和平行六面体师： 平面内的最简洁封闭图形三角形呢？生 17：四周体师： 为什么？生 17：由于四周体的每个面都是三角形师： 这是联系仍是类似特点呢？怎么样懂得“ 类似特点” ？同学摸索细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -师（启示）：为什么老师刚才会说,三角形是平面里最简洁的封闭图形？生 18：平面里要围成封闭图形至少需要三条线段而空间内要未成封闭几何体至少需要 四个面,全部三角形可以类比为四周体

13、师：很好,从构成图形的基本元素的数目的角度想到了四周体其实从图形的构成来看,三角形可以懂得为连接直线上两点和直线外一点的封闭图形,由此从维度上升的角度：连接 平面外一点和平面内几个点,可以得到什么呢？生： 棱锥 . 师： 所以从这个角度来看,三角形仍可以类比为任意椎体通过这个过程,咱们能够发 现对相像性构成的懂得不同,可以有不同的类比对象而在咱们争论问题时,最关键的是根 据当前问题的需要,挑选恰当的类比对象请同学们看下面的例题：例： 类比平面内直角三角形的勾股定理a2b2c2师： 请大家摸索,尝试解决, 试给出空间中四周体性质的猜想同学自主探究,就探究结果与四周同学沟通请一位同学将自己的图形画

14、到黑板上,并 请他表述该四周体与直角三角形的类似特点在此基础上,将平面内线段的测度（长度）类 比为空间平面图形的测度（面积）得出相应四周体性质的猜想,从而解决例题提出的问题师： 这个结论正确吗？生： 证一证就知道！师： 怎样证明？生： 师： 立体几何里的很多问题的解决都依靠于对相关平面几何问题的明白要证明这个命 题,不妨看看勾股定理的证明方法勾股定理证明的方法特别多,其中之一是：过 C 点作斜边 AB 的垂线,之后利用相像比或射影定理证明（以上猜想,可以构造什么样的帮助图形？同学摸索师（启示）：从维度上升角度,点可类比线 生： 面面交线两个“ 直角面” 的交线！PPT 展现）类比这个方法,你觉

15、得要证明. C 点是线线交点,它该类比什么呢？生 19：可以过 PD、DE、DF 中任意一条做斜面PEF 的垂面 第 5 页,共 8 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -师： 很好！有了这样的思路,后面该怎么证明请同学们课下争论！通过这一层次的类比使同学熟悉到,合理的类比推理不仅能够帮忙我们分析问题提出创 造性的猜想,仍能供应解决问题的思路和方法,感受类比推理在数学发觉和争论中的价值1.5 梳理学问,布置作业（1）课堂

16、小结：学问小结： 类比推理的含义、特点、步骤和作用,并将之与归纳推理对比,指出合情推 理的含义,完成对合情推理内容的学习方法小结： 体会类比推理是一种建立在相像性基础上的思维方法需要通过相像性把两 类不同的事物联系起来,用一类对象的特点估计另一类对象也具备这种特点,从而达到发觉 或解决问题、制造创造的目的（2）布置作业：必做作业：作业练习手册第 4748 页选做作业：（课堂例题的延长）平面直角三角形的勾股定理 a 2 b 2 c 2 两边同除以 c 22 2 可得到 a 2 b 2 1,即 cos 2 A cos 2 B 1 , 类比这个结论给出空间中四周体性质的猜想并类 c c比结论 cos

17、 2 A cos 2 B 1 得出的过程,利用例题的结论 s 1 2 s 2 2 s 3 2 s 2 证明你的猜想2. 点评“ 推理与证明”是数学的基本思维过程, 也是人们日常学习和生活中常用的思维方式类比推理是在归纳推理基础上对合情推理学习的连续,是合情推理常用的思维方法课标教材 中单独提出合情推理这一内容,把过去渗透在详细数学问题中的思维方法,以集中、显性的 形式出现出来是由于合情推理具有发觉的作用,是一种制造性思维活动,所以它的学习是新 课标教材的一个亮点本课通过对类比推理的教学完成高中阶段对合情推理内容的学习,为 之后学习演绎推理并体会合情推理与演绎推理的联系与差异打下了基础2.1 恰

18、到好处地创设问题情境,激发同学的学习爱好 由于归纳推理和类比推理是两种完全不同的推理形式,所以,在过去的教学中,很少有人在同一个问题情境中,建立起两者之间的联系. 而高老师通过美国3D 科幻大片阿凡达等涉及外星生命的科幻电影的热映, 准时归纳出与外星人有关的电影票房收入都很高的结论,这不仅重温了归纳推理的概念、特点,又自然引出“ 是否存在外星人” 的争论,通过争论,使同学初步感受到类比的思维,激发了同学的学习爱好和探究欲望 . 2.2 在引导同学探究中建构学问细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 8 页 - - - - - -

19、- - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -课程标准的核心理念是强调为同学供应更开阔的思维空间和进展空间,这就要求我们在教同学时赐予同学适度的摸索时间和表现自己思维过程和思维内容的机会本节课的内容看似简洁,操作起来却困难很大. 同学要明白类比推理的含义、特点,仍要求同学能利用类比进行简洁的推理,做出猜想（这正是本节课的教学难点）在教学中要让同学逐步渗透类比的思想方法,体会类比推理在数学发觉中的作用,点引导同学进行了探究：增强同学的创新意识 . 高老师通过以下几个关键（1）对外星生命的猜想、 奥恩布鲁格的叩诊法及不等式性质的探究三个例子所反映

20、出的 思维过程的分析,引导同学提炼、概括类比推理的含义、特点,使同学对类比推理形成肯定的理性熟悉,并为同学规范的应用类比解决问题做出示范（2）细心设计 . 通过四个练习,分别从结构、概念、表述方式和维度上升的角度进行类 比,使同学对类比推理有较为完善的熟悉,并实现了初步应用,既突出了本节课的重点,也 为突破难点打下坚实的基础 . 特殊是问题 4,让同学充分进行摸索,探究,极好地训练了同学 的发散思维 . （3）应用类比推理的难点就是找到恰当的类比对象,得到相应的类比猜想 . 请同学从相似性动身,查找平面图形（圆、正方形、长方形、平行四边形）在立体几何中的类比对象,引导同学分析两类对象的类似特点

21、,培育其理性思维习惯,使同学明确确定类比对象的基本 原就,进而应用类比推懂得决实际问题 . （4）细心布置课后作业 . 依据同学的不同程度,分层布置作业,照料到了各类同学,使 同学在原有的基础上各有进展 . 2.3 用教材教,而不是教教材教材中有例题： 类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四周体性质的猜想高老师依据她的同学学习基础较好的实际情形,进行了适当的修改,从三个层次进行了探究：（1）类比图形构成,查找合适的类比对象；（2）类比勾股定理代数结构,得到四周体性质的猜想；（3）类比勾股定理证明方法之一,探求以上猜想的证明途径这样设计,使同学体验了数学探究活动从详细问题动身,观看分析

22、、提出猜想、证明猜想的完整过程,这也是用类比思想进行争论问题的基本流程它不仅大大提高了同学的思维量,同时也增强了对同学创新意识的培育. 通过对三个层次类比推理思维过程的剖析,渗透类比的方法,突破本课难点,适度提出了方法类比的问题,拓宽了同学的视野,加深同学思维 的深度,真正表达了“ 用教材教,而不是教教材”. 总之,高老师这节课真正表达了以同学为主体,老师为主导的新课程理念,勉励同学在细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习过程中独立摸索、积极探究. 以问题为导向,启示和引导同学摸索问题,猎取新知通过同学的探究活动,让同学体验数学发觉和制造的历程,进展他们的创新意识 . 在教学过程中,能够让同学的思维开放,同时老师又能收放自如,的确是一节新课程理念下的优质课,值得学习. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - -