2022年二次函数经典例题及知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第 16 课时 二次函数一、中考导航图顶点1. 二次函数的意义;2. 二次函数的图象;3. 二次函数的性质对称轴开口方向增减性4. 二次函数待定系数法确定函数解析式顶点式： y=ax-h2+ka 0 一般式： y=ax2+bx+ca 0 两根式： y=ax-x1x-x2a 0 5. 二次函数与一元二次方程的关系；6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a、 b、c 之间的关系；三、中考学问梳理 1. 二次函数的图象在 画二 次函数 y=ax 2+bx+ca 0 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=ax+ b 2+

2、2a4ac-b 2的形式 , 先确定顶点 -b , 4ac-b 2, 然后对称找点列表并画图 , 或直接代用顶点4a 2a 4a公式来求得顶点坐标 . 2. 懂得二次函数的性质抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 ;2在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 ; 简记左减右增 , 这时当 x=-b 时,y 最小值= 4ac-b;2a 4a反之当 a0时 , 抛物线开口向上 ; 当 a0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c0. cb00bc0 时, 图象过一、三象限 ; 当 a0时, 直线交 y 轴于正半轴 ; 当 c0 时,

3、 二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上 , 而一次函数 y=.ax+c应过一、三象限 , 故排除 C;当 a0 即可 . 2 依据二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根 . 由根与系数的关系 , 求出 k 的值 , 可确定抛物线解析式 ;. 由 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n1=n 2,由 n1=m 1 2+m 1,n2=m 2 2+m2 得 m1 2+m 1=m2 2+m 2,即 m1-m 2m 1+m2+1=0 可求得 m1+m 2=-1. 解: 1 证明 : =2k+12- 4- k2+k 名师归纳总结 =4k2+4k+1+4k2- 4k=8k2+1.

4、. 第 4 页,共 14 页8k2+10, 即 0,抛物线与x 轴总有两个不同的交点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2由题意得学习必备欢迎下载x 1+x 2=- 2k+1, x 1 x2=-k2+k. x 1 2+x 2 2=-2k2+2k+1, x 1+x 2 2- 2x1x2=-2k 2+2k+1, 即2k+1 2- 2- k 2+k= - 2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2- 2k=-2k 2+2k+1. 8k 2=0,k=0, 抛物线的解析式是 y=x 2+x. 点 P、Q 关于此抛物线的对称轴对称 , n1=n2. 又 n1=

5、m 1 2+m1,n2=m2 2+m 2. m1 2+m1=m2 2+m 2, 即m1-m2m1+m2+1=0. P、Q 是抛物上不同的点 , m1 m2,即 m1- m2 0.m1+m 2+1=0 即 m1+m2=-1. 点评 : 此题考查二次函数的图象 即抛物线 与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系 . 二次函数常常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点 . 基础达标验收卷一、挑选题 : 1.2003 大连 抛物线 y=x-2 2+3 的对称轴是 . A. 直线 x=-3 B. 直线 x=3 C. 直线 x=-2 D. 直线 x=2 2.2004 重庆 二次函数 y=ax

6、2+bx+c 的图象如图 , 就点 Mb,c 在 . a A. 第一象限 ; B. 其次象限 ; C. 第三象限 ; D. 第四象限 3.2004 天津 已知二次函数 y=ax 2+bx+c, 且 a0, 就肯定有 . A. b 2-4ac0 B.b 2-4ac=0 C.b 2-4ac4,那么 AB的长是 . A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 二、填空题 1.2004 河北 如将二次函数 y=x 2-2x+3 配方为 y=x-h 2+k 的形式 , 就y=_. 2.2003 新疆 请你写出函数 y=x+1 2 与 y=x 2+1 具有的一个共同性质 _. 3.2003 天津 已知

7、抛物线 y=ax 2+bx+c 的对称轴为 x=2, 且经过点 1,4 和点 5,0, 就该抛物线的解析式为 _. 4.2004 武汉 已知二次函数的图象开口向下 , 且与 y 轴的正半轴相交 , 请你写出一个满足条件的二次函数的解析式 :_. 5.2003 黑龙江 已知抛物线 y=ax 2+x+c 与 x 轴交点的横坐标为-1, 就 a+c=_. 6.2002 北京东城 有一个二次函数的图象 , 三位同学分别说出了它的一些特点 : 甲: 对称轴是直线 x=4; 乙: 与 x 轴两个交点的横坐标都是整数 ; 丙: 与 y 轴交点的纵坐标也是整数 , 且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请

8、你写出满意上述全部特点的一个二次函数解析式 : 三、解答题 1. 已知函数 y=x 2+bx-1 的图象经过点 3,2. 1 求这个函数的解析式 ; 2 画出它的图象 , 并指出图象的顶点坐标 ; 3 当 x0 时 , 求使 y2 的 x 取值范畴 . 2. 已知抛物线y=- 1 2x2+6- 2 m x+m-3 与 x 轴有 A、B 两个交点 , 且 A、B 两点关于 y 轴对称 . 1 求 m的值 ; 2 写出抛物线解析式及顶点坐标 ; 3 依据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来 . 一、学科内综合题名师归纳总结 1. 如图 , 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象

9、与 x 轴交于 B、C两点 ,. 与 y 轴交于 A 点. . 第 6 页,共 14 页 1依据图象确定a、 b、c 的符号 , 并说明理由 ; 2 假如点 A 的坐标为 0,-3,ABC=45 , ACB=60 ,. 求这个二次函数的解析式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、实际应用题3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品 , 年初上市后 ,. 公司经受了从亏损到盈利的过程 .下面的二次函数图象 部分 . 刻画了该公司年初以来累积利润 s 万元 与销售时间 t 月 之间的关系 即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系 .

10、 依据图象 图 供应的信息 , 解答以下问题 : 1 由已知图象上的三点坐标 , 求累积利润 s 万元 与时间 t 月 之间的函数关系式 ; 2 求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元 ; 3 求第 8 个月公司所获利润是多少万元 . 4. 如图 , 有一座抛物线形拱桥 , 在正常水位时水面 AB.的宽为 20m,假如水位上升 3m时, 水面CD的宽是 10m. 1 建立如下列图的直角坐标系 , 求此抛物线的解析式 ; 2 现有一辆载有救援物资的货车从甲地动身需经过此桥开往乙地 , 已知甲地距此桥280km桥长忽视不计 . 货车正以每小时 40km的速度开往乙地 , 当行驶 1 小时时

11、,. 突然接到紧急通知 : 前方连降暴雨 , 造成水位以每小时 0.25m 的速度连续上涨 货车接到通知时水位在 CD处, 当水位达到桥拱最高点O时, 禁止车辆通行 , 试问 : 假如货车按原先速度行名师归纳总结 驶, 能否完全通过此桥.如能 , 请说明理由 ; 如不能 ,. 要使货车安全通过此桥, 速度应超过第 7 页,共 14 页每小时多少千米. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载6.2004 重庆 如图 , 在直角坐标系中, 正方形 ABCD的边长为 a,O 为原点 ,. 点 B 在 x 轴的负半轴上 , 点 D在 y 轴的正半

12、轴上 . 直线 OE的解析式为 y=2x, 直线 CF过 x 轴上一点 C-3 a,05a且与 OE平行 . 现正方形以每秒 的速度匀速沿 x 轴正方向平行移动 ,. 设运动时间为 t 秒 ,10正方形被夹在直线 OE和 CF间的部分的面积为 S. 1 当 0t0 时, 使 y2 的 x 的取值范畴是 x3. 2.1 设 Ax 1,0 Bx 2,0. A、B 两点关于 y 轴对称 . x 1x 20.0,26m2 m0,x x 2230.解得 m=6. 2求得 y=-1 2x2+3. 顶点坐标是 0,3 或两根之和为零等. 3方程 -1 2x2+6-2 mx+m-3=0 的两根互为相反数3.

13、解:1 符合条件的抛物线仍有5 条, 分别如下 : 抛物线 AEC; 抛物线CBE; 抛物线 DEB; 抛物线 DEC; 抛物线 DBC. 名师归纳总结 2在1 中存在抛物线DBC,它与直线 AE不相交 . 4 a2 bc9,第 9 页,共 14 页设抛物线 DBC的解析式为y=ax2+bx+c. 2将 D-2, 9,B1,0,C4,0三点坐标分别代入, 得abc0,216 a4 bc.解这个方程组 , 得 a=1 4,b=-5 4 ,c=1. 抛物线DBC的解析式为y=1 4x2-5 4x+1. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【另法 : 设抛物线

14、为学习必备欢迎下载9, 得 a=1 4也可 . 】y=ax-1x-4,代入 D-2, 2又将直线 AE的解析式为y=mx+n. , 得n2 mn0,将 A-2,0,E0,-6两点坐标分别代入6.解这个方程组 , 得 m=-3,n=-6. 直线 AE的解析式为 y=-3x-6. 才能提高练习一、1. 解:1 抛物线开口向上 , a0. 又对称轴在 y 轴的左侧 , b-0. 2 a又抛物线交于 y 轴的负半轴 . c0. 2 如图 , 连结 AB、AC. 在 Rt AOB中, ABO=45 , OAB=45 . OB=OA.B-3,0. 又在 Rt ACO中, ACO=60 , OC=OAcot

15、60 =3 , C3 ,0. 设二次函数的解析式为名师归纳总结 y=ax2+bx+ca 0. 第 10 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9 a3 bc0,学习必备欢迎下载a3 , 3由题意3 a3 bc0,y=b331,3 -1x-3. c3.c3.所求二次函数的解析式为x2+ 33. 解:1 设 s 与 t 的函数关系式为s=at2+bt+c abc1.5,abcc1.5,解得a1 , 2由题意得4a2 bc2,或4a2b2,b2,25a5bc2.5;c0.c0.s=1 2t2-2t. t2-2t. 2把 s=30 代入 s=1 2

16、t2-2t, 得 30=1 2解得 t1=0,t2=-6 舍. 30 万元 . 答: 截止到 10 月末公司累积利润可达到 3把 t=7 代入 , 得 s=1 2 72-2 7=21 2=10.5; 把 t=8 代入 , 得 s=1 2 82-2 8=16. 16-10.5=5.5. 答: 第 8 个月公司获利润5.5 万元 . O到水面 CD的距离为 hm, 4. 解:1 设抛物线的解析式为y=ax2, 桥拱最高点就 D5,-h,B10,-h-3. 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 25 ah ,3.解得a学习

17、必备欢迎下载1 , 25100 ahh1.抛物线的解析式为 y=-1 x 2. 25 2 水位由 CD处涨到点 O的时间为 :1 0.25=4 小时 . 货车按原先速度行驶的路程为:40 1+40 4=200280, 货车按原先速度行驶不能安全通过此桥 . 设货车速度提高到 xkm/h. 当 4x+40 1=280 时,x=60. 要使货车完全通过此桥, 货车的速度应超过60km/h. 5. 略6. 解:1 当 0t4 时 , 如图 1, 由图可知 OM= a t, 设经过 t 秒后 , 正方形移动到10ABMN, 当 t=4 时,BB1=OM= a 4= 210 5a, 点 B1在 C点左侧

18、 . 夹在两平行线间的部分是多边形 COQNG, 其面积为 : 名师归纳总结 平行四边形COPG- NPQ的面积 . a ,a, DP= 2a . 2第 12 页,共 14 页CO= 3 5a,OD=a, 四边形 COPQ面积 =3 5a2. 又点 P 的纵坐标为a, 代入 y=2x 得 P- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载aat2NP=a -2a t. 10由 y=2x 知,NQ=2NP, NPQ面积 =1NP NQ22102. S=3 5a 2-aat2= 3 5a 2-a25-t2=a260-5-t210100100 2当 4t

19、5 时 , 如图 , 这时正方形移动到 ABMN, 当 4t 5 时, 2 aBB1a , 当 B 在 C、 O点之间 . 5 2夹在两平行线间的部分是 B1OQNGR,即平行四边形 COPG.被切掉了两个小三角形NPQ和 CB1R,其面积为 : 平行四边形COPG- NPQ的面积 - CB1R的面积 . 名师归纳总结 与1 同理 ,OM=a t,NP= 2aat, SNPQ=aat2 , 第 13 页,共 14 页210210CO=3 5a,CM=3 5a+a t,B 10iM=a, CB1=CM-B1M=3 5a+a t-a= 10a t- 2 10 5a. S CB1R=1 2CB1B1R=CB1 2=a t- 2 10 5a2. S=3 5a 2-a -2a t 102 -a t- 2 10 5a2=3 5a2-a25-t2+t-42 100- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =3 5a2-a22t2-18t+41 学习必备欢迎下载100名师归纳总结 =3 5a2-a22 t-92+1 2. a-a21=119 200a 2. 第 14 页,共 14 页1002当 t=9 2时,S 有最大值 ,S最大=3 51002- - - - - - -