2022年中考数学冲刺复习资料二次函数压轴题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2022 年中考数学冲刺复习资料 面积类:二次函数压轴题1如图,已知抛物线经过点A（1,0）、 B（3,0）、C（0,3）三点（1）求抛物线的解析式（2）点 M 是线段 BC 上的点（不与B,C 重合）,过 M 作 MN y 轴交抛物线于N,如点 M 的横坐标为m,请用 m 的代数式表示 MN 的长（3）在（ 2）的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使 BNC 的面积最大？如存在,求m 的值；如不存在,说明理由解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x 3）,就： a（0+1）（0 3）=3,a= 1；抛物线的解析

2、式：y= （ x+1）（x 3） = x2+2x+3（2）设直线 BC 的解析式为： y=kx+b,就有：,解得；故直线 BC 的解析式： y= x+3已知点 M 的横坐标为 m,MN y,就 M（m, m+3）、N（m, m 2+2m+3）；故 MN= m2+2m+3 （m+3）= m 2+3m（0m3）（3）如图； S BNC=S MNC+S MNB=MN（ OD+DB）=MN .OB, S BNC=（m 2+3m）.3= （ m ）2+（0 m 3）；当 m=时, BNC 的面积最大,最大值为2如图,抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,已知 B 点坐标为（

3、 4, 0）（1）求抛物线的解析式；（2）摸索究ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标；M 点的坐标第 1 页,共 10 页（3）如点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求MBC 的面积的最大值,并求出此时名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载解：（1）将 B（4, 0）代入抛物线的解析式中抛物线的解析式为：y=x 2 x 2（2）由（ 1）的函数解析式可求得：A（ 1,0）、C（0, 2）； OA=1, OC=2,OB=4,即： OC2=OA.OB,又： OCAB, OAC OCB,得： OCA=OBC； ACB

4、=OCA+OCB=OBC+OCB=90 , ABC 为直角三角形,AB 为 ABC 外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB 的中点,且坐标为： （, 0）（3）已求得： B（4,0）、C（0, 2）,可得直线BC 的解析式为： y=x 2；设直线 l BC,就该直线的解析式可表示为：y=x+b,当直线 l 与抛物线只有一个交点时,可列方程：x+b=x 2 x 2,即：x2 2x 2 b=0,且 =0； 4 4（ 2 b）=0,即 b= 4；直线 l：y=x 4所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯独交点,有：,解得：即 M（2, 3）过 M 点作 MN x 轴于 N,S BMC=S梯形 OCMN

5、 +S MNB S OCB=2（2+3）+23 24=4周长类6如图, Rt ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上, O 为坐标原点, A、B 两点的坐标分别为（3,0）、（ 0,4）,抛物线 y=x 2+bx+c 经过点 B,且顶点在直线 x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）如把 ABO 沿 x 轴向右平移得到DCE,点 A、B、O 的对应点分别是D、C、E,当四边形 ABCD 是菱形时,试判定点C 和点 D 是否在该抛物线上,并说明理由；（3）在（ 2）的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P 使得 PBD 的周长最小,求出P 点的坐标；第

6、2 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（4）在（ 2）、（3）的条件下,如点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重合）,过点 M 作 BD 交 x 轴于点 N,连接 PM、PN,设 OM 的长为 t, PMN 的面积为 S,求 S和 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范畴, S 是否存在最大值？如存在,求出最大值和此时 M 点的坐标；如不存在,说明理由解：（1）抛物线 y= 经过点 B（0,4） c=4,顶点在直线 x=上,=, b=；所求函数关系式为；（2）在 Rt AB

7、O 中, OA=3,OB=4, AB=,四边形ABCD 是菱形, BC=CD =DA=AB=5,C、D 两点的坐标分别是（5,4）、（ 2,0）,当 x=5 时,y=,当 x=2 时,y=点 C 和点 D 都在所求抛物线上；（3）设 CD 与对称轴交于点P,就 P 为所求的点,设直线CD 对应的函数关系式为y=kx+b,就,解得：,当 x=时, y=, P（）,（4） MN BD, OMN OBD,即得 ON=,2+,第 3 页,共 10 页设对称轴交x 于点 F,就（PF +OM ）.OF=（+t）,S PNF= NF.PF=（ t）=,S=（）=（0t4）,）a= 0抛物线开口向下,S 存

8、在最大值由SPMN= t 2+t= （ t当 t=时, S 取最大值是,此时,点M 的坐标为（ 0,）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8在平面直角坐标系中,学习好资料欢迎下载且点 A（0,2）,点 C（1,0）,现将一块等腰直角三角板ABC 放在其次象限, 斜靠在两坐标轴上,如下列图：抛物线y=ax2+ax 2 经过点 B（1）求点 B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否仍存在点P（点 B 除外）,使 ACP 仍旧是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？如存在,求全部点P 的坐标；如不存在,请说明理由解：（1）过点 B

9、作 BDx 轴,垂足为 D, BCD +ACO=90 , ACO+CAO=90 , BCD =CAO,（1 分）又 BDC = COA=90 ,CB=AC, BCD CAO,（2 分） BD=OC=1,CD =OA=2,（3 分）点 B 的坐标为（3,1）；（4 分）（2）抛物线 y=ax 2+ax 2 经过点 B（3,1）,就得到 1=9a 3a 2,（ 5 分）所以抛物线的解析式为 y=x 2+x 2；（7 分）（3）假设存在点 P,使得ACP 仍旧是以 AC 为直角边的等腰直角三角形：如以点 C 为直角顶点；就延长 BC 至点 P1,使得 P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP 1,（8

10、 分）过点 P1作 P1Mx 轴,CP1=BC, MCP 1=BCD, P1MC=BDC=90, MP 1C DBC （10 分）CM=CD=2, P1M=BD=1,可求得点 P1（1, 1）；（11 分）如以点 A 为直角顶点；就过点 A 作 AP 2CA,且使得 AP2=AC,得到等腰直角三角形ACP2,（12 分）第 4 页,共 10 页过点 P2 作 P2Ny 轴,同理可证AP2N CAO,（13 分）NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2（2,1）,（14 分）经检验,点P1（1, 1）与点 P2（2,1）都在抛物线y=x2+x 2 上（16 分）名师归纳总结 - - - -

11、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载综合类10如图,已知抛物线y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为B（5, 0）,另一个交点为A,且与 y 轴交于点 C（0,5）（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）如点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MN y 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大值；（3）在（ 2）的条件下, MN 取得最大值时,如点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点,以 BC 为边作平行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1, ABN 的面积为 S2,且 S1=6S2

12、,求点 P 的坐标解：（1）设直线 BC 的解析式为 y=mx+n,将 B（5,0）,C（0,5）两点的坐标代入,得,解得,所以直线BC 的解析式为 y= x+5；将 B（5,0）,C（0,5）两点的坐标代入 y=x 2+bx+c,得,解得,所以抛物线的解析式为 y=x 2 6x+5；（2）设 M（x,x 2 6x+5）（1x 5）,就 N（x, x+5）, MN=（ x+5） （ x 2 6x+5）= x 2+5x= （ x ）2+,当 x=时, MN 有最大值；（3） MN 取得最大值时,x=2.5,x+5= 2.5+5=2.5,即 N（2.5,2.5）解方程 x 2 6x+5=0,得 x

13、=1 或 5,A（1,0）,B（5, 0）, AB=5 1=4, ABN 的面积 S2=42.5=5,平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD,就 BCBD BC=5, BC.BD=30, BD=3过点 D 作直线 BC 的平行线,交抛物线与点 P,交 x 轴于点 E,在直线 DE 上截取 PQ=BC,就四边形 CBPQ 为平行四边形BCBD, OBC=45 , EBD=45 ,EBD 为等腰直角三角形,BE= BD=6, B（5, 0）, E（ 1,0）,设直线 PQ 的解析式为 y= x+t,将 E（ 1,0）代入,得 1+t=0,

14、解得 t= 1 名师归纳总结 第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载直线 PQ 的解析式为 y= x 1解方程组,得,点 P 的坐标为 P1（2,3）（与点 D 重合）或 P2（3, 4）11如图,抛物线 y=ax 2+bx+c（a 0）的图象过点 C（0,1）,顶点为 Q（ 2,3）,点 D 在 x 轴正半轴上,且 OD=OC（1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E,求证：CEQ CDO ；PCF 的（4）在（ 3）的条

15、件下,如点P 是线段 QE 上的动点,点F 是线段 OD 上的动点,问：在P 点和 F 点移动过程中,周长是否存在最小值？如存在,求出这个最小值；如不存在,请说明理由解：（1） C（0,1）,OD=OC, D 点坐标为（ 1,0）设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（k 0）,将 C（0,1）,D（1,0）代入得：,解得： b=1,k= 1,直线 CD 的解析式为： y= x+1（2）设抛物线的解析式为y=a（x 2）2+3,第 6 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载将 C（0,1）代入得： 1=a（

16、 2）2+3,解得 a=y=（x 2）2+3= x 2+2x+1（3）证明：由题意可知,ECD =45 ,OC=OD ,且 OCOD , OCD 为等腰直角三角形,ODC=45 , ECD =ODC , CE x 轴,就点 C、E 关于对称轴（直线 x=2）对称,点 E 的坐标为（ 4,1）如答图所示,设对称轴（直线 x=2）与 CE 交于点 M,就 M（2, 1）,ME=CM =QM=2, QME 与 QMC 均为等腰直角三角形,又 OCD 为等腰直角三角形,ODC=OCD =45 , QEC =QCE = ODC=OCD=45 , CEQ CDO （4）存在QEC=QCE=45 如答图所示

17、,作点 C 关于直线 QE 的对称点 C,作点 C 关于 x 轴的对称点 C,连接 CC,交 OD 于点 F,交 QE 于点 P,就 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,PCF 的周长等于线段 CC的长度（证明如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F,在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 P,连接 FC,FP,PC由轴对称的性质可知,PCF的周长 =FC +FP +PC；而 FC +FP +PC是点 C, C之间的折线段,由两点之间线段最短可知：FC +FP +PCCC,即 PCF 的周长大于PCE 的周长）如答图所示,连接 CE,C,C关于直线 QE 对

18、称,QCE 为等腰直角三角形, QCE 为等腰直角三角形, CEC 为等腰直角三角形,点 C的坐标为（ 4,5）；C,C关于 x 轴对称,点C的坐标为（ 0,1）第 7 页,共 10 页过点 C作 CNy 轴于点 N,就 NC=4,NC =4+1+1=6,在 Rt CNC中,由勾股定理得：CC =综上所述,在P 点和 F 点移动过程中,PCF 的周长存在最小值,最小值为名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12如图,抛物线与学习好资料欢迎下载Dx 轴交于 A（1,0）、B（ 3,0）两点,与y 轴交于点 C（0,3）,设抛物线的顶点为（1）求

19、该抛物线的解析式与顶点D 的坐标BCD 相像？如存在,请直接写出点P 的坐标；如不（2）试判定BCD 的外形,并说明理由（3）探究坐标轴上是否存在点P,使得以 P、A、C 为顶点的三角形与存在,请说明理由解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与 y 轴交于点 C（ 0,3）,可知 c=3即抛物线的解析式为 y=ax 2+bx+3把点 A（1,0）、点 B（ 3, 0）代入,得 解得 a= 1,b= 2 抛物线的解析式为 y= x 2 2x+3 y= x 2 2x+3= （ x+1）2+4顶点 D 的坐标为（1,4）；（2） BCD 是直角三角形理由如下：解法一：过点 D 分别

20、作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分别为 E、F在 Rt BOC 中, OB=3, OC=3,BC 2=OB 2+OC 2=18,在 Rt CDF 中, DF=1,CF =OF OC=4 3=1, CD 2=DF 2+CF 2=2 在 Rt BDE 中, DE=4,BE=OB OE=3 1=2, BD 2=DE 2+BE 2=20BC 2+CD 2=BD 2 BCD 为直角三角形（3） BCD 的三边,= =,又 =,故当 P 是原点 O 时, ACP DBC ；当 AC 是直角边时,如 AC 与 CD 是对应边,设 P 的坐标是（ 0,a）,就 PC=3 a,=,即 =,解得： a= 9,就

21、P 的坐标是（ 0, 9）,三角形 ACP 不是直角三角形,就ACP CBD 不成立；名师归纳总结 第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载当 AC 是直角边,如 AC 与 BC 是对应边时,设 P 的坐标是（ 0,b）,就 PC=3 b,就 =,即 =,解得： b= ,故 P 是（ 0, ）时,就ACP CBD 肯定成立；当 P 在 x 轴上时, AC 是直角边, P 肯定在 B 的左侧,设 P 的坐标是（ d,0）就 AP=1 d,当 AC 与 CD 是对应边时,=,即 =,解得： d=1 3,此时,两个三角形

22、不相像；当 P 在 x 轴上时, AC 是直角边, P 肯定在 B 的左侧,设 P 的坐标是（ e,0）就 AP=1 e,当 AC 与 DC 是对应边时,=,即 =,解得： e= 9,符合条件总之,符合条件的点 P 的坐标为：15如图,在坐标系 xOy 中, ABC 是等腰直角三角形,BAC=90,A（1,0）,B（0,2）,抛物线 y=x 2+bx 2 的图象过 C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当 l 移动到何处时,恰好将ABC 的面积分为相等的两部分？解答：解：（1）如答图 1 所示,过点 C 作 CDx 轴于点 D,就 CAD +ACD =90 OBA +

23、OAB=90 , OAB+CAD=90 , OAB =ACD , OBA=CAD在 AOB 与 CDA 中,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 AOB CDA （ASA）CD=OA=1,AD=OB=2,OD=OA+AD=3,C（3,1）点 C（ 3,1）在抛物线y=x2+bx 2 上,1= 9+3b 2,解得： b= 抛物线的解析式为：y=x 2 x 2AB=（2）在 Rt AOB 中, OA=1,OB=2,由勾股定理得：S ABC=AB 2=设直线 BC 的解析式为 y=kx+b, B（0,2）,C（3,1）,解得 k= , b=2,y= x+2同理求得直线 AC 的解析式为： y=x 如答图 1 所示,设直线 l 与 BC、AC 分别交于点E、F,就 EF=（x+2） （ x ） = x CEF 中, EF 边上的高 h=OD x=3 x由题意得： S CEF=S ABC,即： EF.h=S ABC,（x）.（ 3 x）= ,第 10 页,共 10 页整理得：（3 x）2=3,解得 x=3或 x=3+（不合题意,舍去） ,当直线 l 解析式为 x=3时,恰好将ABC 的面积分为相等的两部分名师归纳总结 - - - - - - -